SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...
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5.2 Extremwertaufgaben Lösung: (a) b = L 2 −x =⇒ h = b2 −x2 L = 2 −x 2 −x2 L2 = 4 −Lx A(x) = 1 √ √ L L L ·2x·h = x (L−4x) = x2 (L−4x) = Lx 2 4 2 2 2 −4x3 (b) A(x) ist maximal, wenn der Radikand f(x) = Lx 2 −4x 3 maximal ist. (c) f ′ (x) = 2Lx−12x 2 = 2x(L−6x) f ′ (x) = 0 =⇒ x1 = 0 oder x2 = L 6 f ′′ (x) = 2L−24x =⇒ f ′′ (x1) = 2L > 0 (Minimum), f ′′ (x2) = 2L− 24L 6 Also: x0 = L 6 . Aus x = x0 folgt b = L 2 − L 6 = L 3 = −2L < 0 (Maximum) L und 2x = , d.h. das Dreieck ist gleichseitig. 3 √ L A(x0) = Lx 2 2 0 −4x30 = √ L x 2 2 0 (L−4x0) = √ L L = 2 2 62 L− 4L √ L L L = · 6 2 6 3 L2 = 12 √ 3 = √ 3 36 L2 33. Für den Bauherrn einer kleinen Fabrikhalle stellt sich die Frage nach der Wirtschaftlichkeit einer Wärmedämmung. Die gesamte zu isolierende Außenfläche ist A = 500m 2 , der Quadratmeterpreis einer Dämmplatte der Dicke 1cm wird mit α = 0,8 € m 2 ·cm angegeben, das Verlegen von einem Quadratmeter kostet 50 €. Weil der Gesamtpreis für die Dämmung über einen Kredit finanziert wird, muss dieser Preis noch mit 1,5 Multipliziert werden um die gesamten anfallenden Kosten für die Dämmung zu erhalten. Wenn die ganze Fläche A mit einer Dämmung der Dicke d = xcm versehen ist, beträgt der Energieverlust pro m 2 Außenfläche und pro Jahr ∆W A·∆t = β 1 3 + x 2 mit β = 100 kWh m 2 ·a Die Halle soll ∆t = 20a lang genutzt und mit Öl beheizt werden. Ein Liter Heizöl liefert die Energie 10kWh und soll 1,20 € kosten (Mittelwert für die nächsten 20 Jahre). Mit k(x) bezeichnen wir den Term für die gesamten Energiekosten in den zwanzig Jahren (Wärmedämmung plus Heizkosten). 190
5.3 Wachstums- und Zerfallsprozesse (a) Beweise mit begründeten Ansätzen: k(x) = p+qx+ r 1 3 + x 2 mit p = 37500 €, q = 600 €, r = 120000 € (b) Berechne die Dicke x0 der Dämmung, für die k(x) minimal wird. Rechne bis zum Ergebnis mit den allgemeinen Größen p, q und r. (c) Die Dämmplatten gibt es nur in geradzahligen Werten von x. Ermittle die günstigste existierende Dämmstärke x1. Um wieviel Prozent ist k(x1) kleiner als die Gesamtkosten k(0) ohne Dämmung? Lösung: (a) Preis für die Dämmung: k1(x) = 50 € m 2 ·A·1,5+α·x·A·1,5 = 37500€+600€·x Ölmenge in Litern: m = ∆W βA∆t = 10kWh 10kWh · Ölpreis: k2(x) = m·1,2 € l = 120000€ 1 3 + x 2 =⇒ 1 1 x 3 + 2 = 105 l 1 3 + x 2 k(x) = k1(x)+k2(x) = 37500€+600€·x+ 120000€ (b) Umformen von k: k(x) = p+qx+ 6r 2+3x =⇒ k ′ (x) = q − 6r ·3 (2+3x) 2 = 0 =⇒ x = x0 = − 2 3 x0 = − 2 3 + 2·120000€ 600€ + (−) 1 3 1 18r 3 q = − 2 +20 = 191 3 3 (c) k(18) = 61157,14€, k(20) = 61112,90€, k(0) = 397500,00€ k(20) k(0) + x 2 = 0,154 = 15,4% =⇒ um 84,6% kleiner 5.3 Wachstums- und Zerfallsprozesse = −2 3 + 2r q 1. Die Anzahl der Bakterien in einer Population wird in Abhängigkeit von der Zeit t (in Stunden) näherungsweise durch n(t) = 30+t 2 ·e 5−t ; 0 ≤ t ≤ 8, beschrieben. Lösung: (a) tA = 2 (a) Berechnen Sie den Wert tA für den n(t) maximal ist. (b) Berechnen Sie den Wert tB für den die Zuwachsrate von n(t) maximal ist. (b) tB = 2± √ 2 191
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5.3 Wachstums- und Zerfallsprozesse<br />
(a) Beweise <strong>mit</strong> begründeten Ansätzen:<br />
k(x) = p+qx+ r<br />
1<br />
3<br />
+ x<br />
2<br />
<strong>mit</strong> p = 37500 €, q = 600 €, r = 120000 €<br />
(b) Berechne die Dicke x0 der Dämmung, für die k(x) minimal wird. Rechne bis<br />
zum Ergebnis <strong>mit</strong> den allgemeinen Größen p, q und r.<br />
(c) Die Dämmplatten gibt es nur in geradzahligen Werten von x. Er<strong>mit</strong>tle die<br />
günstigste existierende Dämmstärke x1. Um wieviel Prozent ist k(x1) kleiner<br />
<strong>als</strong> die Gesamtkosten k(0) ohne Dämmung?<br />
Lösung: (a) Preis für die Dämmung: k1(x) = 50 € m 2 ·A·1,5+α·x·A·1,5 = 37500€+600€·x<br />
Ölmenge in Litern: m = ∆W βA∆t<br />
=<br />
10kWh 10kWh ·<br />
Ölpreis: k2(x) = m·1,2 €<br />
l<br />
= 120000€<br />
1<br />
3<br />
+ x<br />
2<br />
=⇒<br />
1<br />
1 x<br />
3 + 2<br />
= 105 l<br />
1<br />
3<br />
+ x<br />
2<br />
k(x) = k1(x)+k2(x) = 37500€+600€·x+ 120000€<br />
(b) Umformen von k: k(x) = p+qx+ 6r<br />
2+3x =⇒<br />
k ′ (x) = q −<br />
6r ·3<br />
(2+3x) 2 = 0 =⇒ x = x0 = − 2<br />
3<br />
x0 = − 2<br />
3 +<br />
2·120000€<br />
600€<br />
+<br />
(−)<br />
1<br />
3<br />
<br />
1 18r<br />
3 q<br />
= − 2<br />
+20 = 191<br />
3 3<br />
(c) k(18) = 61157,14€, k(20) = 61112,90€, k(0) = 397500,00€<br />
k(20)<br />
k(0)<br />
+ x<br />
2<br />
= 0,154 = 15,4% =⇒ um 84,6% kleiner<br />
5.3 Wachstums- und Zerfallsprozesse<br />
= −2<br />
3 +<br />
<br />
2r<br />
q<br />
1. Die Anzahl der Bakterien in einer Population wird in Abhängigkeit von der Zeit t<br />
(in Stunden) näherungsweise durch n(t) = 30+t 2 ·e 5−t ; 0 ≤ t ≤ 8, beschrieben.<br />
Lösung: (a) tA = 2<br />
(a) Berechnen Sie den Wert tA für den n(t) maximal ist.<br />
(b) Berechnen Sie den Wert tB für den die Zuwachsrate von n(t) maximal ist.<br />
(b) tB = 2± √ 2<br />
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