SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

5.2 Extremwertaufgaben
Lösung: V(x) = x·(8−2x)·(5−2x) = 4x3 −26x2 +40x ⇒
V ′ (x) = 12x2 −52x+40 = 0 für x1 = 31 3 ,x2 = 1
V ′′ (31 3 ) > 0, also Minimum bei x1 = 31 3
V ′′ (1) < 0, also Maximum bei x2 = 1
20. In welchem Rechteck mit gegebenem Flächeninhalt A hat die Diagonale minimale
Länge?
Lösung: Seitenlängen des Rechtecks: a, b =⇒ A = ab =⇒ d 2 (a) = a 2 + A2
a 2
Lösung:
Minimum von d 2 bei ( √ A,2A) =⇒ Minimum für a = b = √ A, d.h. Quadrat
21. Welcher Punkt des Graphen der Funktion f(x) =
minimalen Abstand?
d(x) =
3− 1+ 1
2 x2
2
1+ 1
2 x2 hat vom Punkt P(0|3)
+(0−x) 2
gibt den Abstand eines Punktes A(x|f(x)) von P an. d(x) 2 und damit auch d(x) (da
d(x) ≥ 0) hat nur ein Minimum bei P(0|1).
22. Beweisen Sie, dass von allen Rechtecken mit gegebener Fläche A das Quadrat den
kleinsten Umfang hat.
Lösung: U(x) = 2x+ 2A
x , U′ (x) = 2− 2A
x2 = 0 =⇒ x = y = √ A
23. Wie muss ein kegelförmiges Sektglas gestaltet werden, damit bei gegebenem Volumen
V möglichst wenig Material benötigt wird?
Lösung: Mantelfläche: A(r) = rsπ = r4π2 9V 2
+
r2 A(r) minimal ⇐⇒ g(r) = r 4 π 2 9V 2
+ minimal
r2 g ′ (r) = 4π 2 r 3 18V 2
−
r3 = 0 =⇒ r = r0 = 3
3V
π √ 2
g ′′ (r) = 12π 2 r 2 54V 2
+
r4 > 0 =⇒ A hat bei r0 ein Minimum.
h0 = 3V
r2 √
= r0 2
0π 184