SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...
SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ... SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...
5.2 Extremwertaufgaben Mit t1 = 50s folgt v(t1) = 69,3 m s und x(t1) = 1,53km. Ohne Sandverlust: v(t) = F t = 1 m0 m F ·t und x(t) = t s2 2m0 2 = 0,5 m s2 ·t2 . v(t1) = 50 m s , x(t1) = 1,25km. v · s m 60 50 40 30 20 10 0 0 10 5.2 Extremwertaufgaben 20 30 40 50 t s x m 1200 1000 800 600 400 200 0 0 10 20 30 40 50 t s 1. Der letzte Weg des Bären Bruno wird durch die Funktion f mit der Gleichung f(x) = 1 x 2 und Df = R + beschrieben. (a) Zeichnen Sie den Grafen von f mit der Einheit 5cm im x-Intervall [0,8;2]. (b) Der Bär wandert gemächlich von links nach rechts auf dem Grafen von f. Im Ursprung O des Koordinatensystems sitzt ein feiger Jaga, der Bruno genau dann erlegt, wenn er von ihm die kleinste Entfernung hat. Drücken Sie die Entfernung s zwischen dem Bären und dem Schützen durch die x-Koordinate des Bären aus und berechnen Sie die Koordinaten von Brunos Schicksalsort B(x0 y0). Nachweis nicht vergessen, dass es sich tatsächlich um ein Minimum handelt! (c) Wie lang ist die tatsächliche Schussweite s0 = OB, wenn der in (a) gezeichnete Weg einer Karte im Maßstab 1:2000 entspricht? 176
Lösung: (a) y 1 O so yo 5.2 Extremwertaufgaben B x 1 o 2 x (b) s(x) = x 2 +f(x) 2 = s ′ (x) = 2x− 4 x 5 2 x 2 +f(x) 2 x 2 + 1 x 4 s ′ (x0) = 0 =⇒ x0 = 2 1 6 ≈ 1,122 y0 = f(x0) = 2 −1 3 ≈ 0,7937 lim = +∞ und lim s(x) = +∞ x→0 +s(x) x→+∞ und nur eine Nullstelle von s ′ =⇒ relatives Minimum bei B(x0 y0) (c) s0 = x2 0 +y2 0 = √ 2 3·2 3 ≈ 1,375 2 In der Zeichnung hat s0 die Länge 5 · 1,375cm = 6,875cm, in der Wirklichkeit also 2000·6,875cm = 137,5m. 2. Die Lichtgeschwindigkeit für verschiedene Medien beträgt c n , wobei c = 3,0·108m s die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum und n die Brechungszahl des Mediums ist. Zeigen Sie, dass die Aussage ” das Licht nimmt den Weg mit der minimalen Laufzeit“ äquivalent zu folgenden Gesetzen der geometrischen Optik ist: (a) y1 . . x1 s1 . α1 α2 s2 x2 . . y2 . (a) Bei der Reflexion von Licht ist der Einfallswinkel gleich dem Reflexionswinkel. (b) Bei der Brechung von Licht an Grenzflächen gilt Lösung: (a) t = s1 +s2 c 0 = dt dx1 (b) t = s1n1 c = x 2 1 +y 2 1 + (l −x1) 2 +y 2 2 = x1 − cs1 x2 cs2 + s2n2 c c = sinα1 −sinα2 ⇒ α1 = α2 c n1 x2 1 +y = 2 1 + c n2 (l −x1) 2 +y2 2 c 177 (b) y1 . sinα1 sinα2 x1 s1 α1 . = n2 . n1 α2 s2 x2 . y2 .
- Seite 125 und 126: (f) 1−q n − 3.3 Binomialkoeffiz
- Seite 127 und 128: (b) p1 = p2 = (c) p3 = 70 k=0 500 k
- Seite 129 und 130: 4 Geometrie: Geraden und Ebenen im
- Seite 131 und 132: 4.1 Lineare Abhängigkeit von Vekto
- Seite 133 und 134: 4. Berechne die Lösungsmenge: 4.1
- Seite 135 und 136: 4.2 Geraden und Ebenen 4.2 Geraden
- Seite 137 und 138: ⎛ (c) h : −→ X = ⎝ -0,5 -2,
- Seite 139 und 140: 4.3 Gegenseitige Lage von Geraden u
- Seite 141 und 142: 4.3 Gegenseitige Lage von Geraden u
- Seite 143 und 144: 4.3 Gegenseitige Lage von Geraden u
- Seite 145 und 146: 4.3 Gegenseitige Lage von Geraden u
- Seite 147 und 148: 4.3 Gegenseitige Lage von Geraden u
- Seite 149 und 150: Lösung: (a) E1 : 4.3 Gegenseitige
- Seite 151 und 152: 4.3 Gegenseitige Lage von Geraden u
- Seite 153 und 154: 4.4 Abstand- und Winkelbestimmung P
- Seite 155 und 156: 4.4 Abstand- und Winkelbestimmung (
- Seite 157 und 158: 4.4 Abstand- und Winkelbestimmung (
- Seite 159 und 160: (d) Ph 4.4 Abstand- und Winkelbesti
- Seite 161 und 162: 4.4 Abstand- und Winkelbestimmung (
- Seite 163 und 164: 4.4 Abstand- und Winkelbestimmung (
- Seite 165 und 166: 4.5 Anwendungen Lösung: (a) −→
- Seite 167 und 168: Lösung: (a) Fall 1 (a ⊥ b): 4.5
- Seite 169 und 170: 4.5 Anwendungen (b) cosϕ = vAvK |
- Seite 171 und 172: 4.5 Anwendungen (c) Die kürzeste V
- Seite 173 und 174: 5 Anwendungen der Differential- und
- Seite 175: Lösung: (a) v(t) = v(t0)+ t0 (b)
- Seite 179 und 180: 5.2 Extremwertaufgaben (b) V ′ (x
- Seite 181 und 182: 5.2 Extremwertaufgaben (c) A ′ (
- Seite 183 und 184: 5.2 Extremwertaufgaben 16. (a) Wann
- Seite 185 und 186: 5.2 Extremwertaufgaben 24. Zwei Kan
- Seite 187 und 188: 5.2 Extremwertaufgaben (a) Drücken
- Seite 189 und 190: 5.2 Extremwertaufgaben 30. Skizzier
- Seite 191 und 192: 5.3 Wachstums- und Zerfallsprozesse
- Seite 193 und 194: 5.6 Anwendungen der Kurvendiskussio
- Seite 195 und 196: 5.6 Anwendungen der Kurvendiskussio
- Seite 197 und 198: 5.6 Anwendungen der Kurvendiskussio
- Seite 199 und 200: 5.8 Aus der Physik 3. Ein Zug beweg
- Seite 201 und 202: 600 500 400 300 200 125 100 . . . .
- Seite 203 und 204: 5.8 Aus der Physik (a) Berechnen Si
- Seite 205 und 206: 5.8 Aus der Physik ist und sich pro
5.2 Extremwertaufgaben<br />
Mit t1 = 50s folgt v(t1) = 69,3 m<br />
s und x(t1) = 1,53km.<br />
Ohne Sandverlust: v(t) = F<br />
t = 1<br />
m0<br />
m F<br />
·t und x(t) = t<br />
s2 2m0<br />
2 = 0,5 m<br />
s2 ·t2 .<br />
v(t1) = 50 m<br />
s , x(t1) = 1,25km.<br />
v · s<br />
m<br />
60<br />
50<br />
40<br />
30<br />
20<br />
10<br />
0 0<br />
10<br />
5.2 Extremwertaufgaben<br />
20<br />
30<br />
40<br />
50 t<br />
s<br />
x<br />
m<br />
1200<br />
1000<br />
800<br />
600<br />
400<br />
200<br />
0<br />
0 10 20 30 40 50 t<br />
s<br />
1. Der letzte Weg des Bären Bruno wird durch die Funktion f <strong>mit</strong> der Gleichung f(x) =<br />
1<br />
x 2 und Df = R + beschrieben.<br />
(a) Zeichnen Sie den Grafen von f <strong>mit</strong> der Einheit 5cm im x-Intervall [0,8;2].<br />
(b) Der Bär wandert gemächlich von links nach rechts auf dem Grafen von f. Im<br />
Ursprung O des Koordinatensystems sitzt ein feiger Jaga, der Bruno genau<br />
dann erlegt, wenn er von ihm die kleinste Entfernung hat. Drücken Sie die<br />
Entfernung s zwischen dem Bären und dem Schützen durch die x-Koordinate<br />
des Bären aus und berechnen Sie die Koordinaten von Brunos Schicks<strong>als</strong>ort<br />
B(x0 y0). Nachweis nicht vergessen, dass es sich tatsächlich um ein Minimum<br />
handelt!<br />
(c) Wie lang ist die tatsächliche Schussweite s0 = OB, wenn der in (a) gezeichnete<br />
Weg einer Karte im Maßstab 1:2000 entspricht?<br />
176
Change language