SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...
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5.1 Integrale in der Physik in die Entfernung r vom Erdmittelpunkt zu befördern. Wie groß ist W(r) für r → ∞? Mit welcher Mindestgeschwindigkeit v0 müsste man einen Körper an der Erdoberfläche senkrecht nach oben abschießen (keine Luftreibung), damit er die Erde endgültig verlassen kann? Lösung: (a) F(x) = Dx =⇒ ∆W = D (b) (c) W(x) = = x 0 F(˜x)d˜x = x1 x 0 D 2 ˜x2 + C 21 ˜x21 x2 x = 25 N m ·x2 +5 N m xdx = D 2 2 x2 −x 2 1 (D˜x+C˜x 20 )d˜x = = 0 D 2 x2 + C 21 x21 = 20 ·x21 W(1m) = 30J, W(1,2m) = 260J W(r) = F 100 r r GMm F(x)dx = x R R 2 r dx = GMm R = GMm − 1 r 1 1 = GMm − x R R r m 2 v2 GMm 0 = R GMm lim W(r) = r→∞ R =⇒ v0 = 2GM R 0 1 dx = x2 = 11,2 km s 2. x(t) ist der Ort eines Körpers zur Zeit t. Seine Geschwindigkeit ist definiert durch v(t) = ˙x(t) = dx dt und seine Beschleunigung durch a(t) = ˙v(t) = dv dt . (a) Die Beschleunigung a ist eine bekannte Funktion von t. Drücke v(t) und x(t) durch Integralfunktionen mit der unteren Grenze t0 aus. (b) a ist jetzt konstant. Drücke v(t) und x(t) durch die Anfangswerte v0 = v(t0) und x0 = x(t0) aus. (c) Die Masse eines Lastwagens, der stetig Sand verliert, ist m(t) = m0 − αt für 0 ≦ t ≦ t1 mit m(t1) = m0 2 . Für 0 ≦ t ≦ t1 wirkt die konstante Antriebskraft F auf den LKW. Berechne v(t) und x(t). Zeichne für F = 10 4 N, α = 100 kg s , v(0) = 0, x(0) = 0 und m0 = 10 4 kg die Grafen von v und x im Intervall 0 ≦ t ≦ t1. Zeichne zum Vergleich die Grafen der Geschwindigkeit und des Ortes eines gleichartigen LKWs, der keinen Sand verliert. 174 x
Lösung: (a) v(t) = v(t0)+ t0 (b) v(t) = v(t0)+ t0 t t 5.1 Integrale in der Physik a(τ)dτ, x(t) = x(t0)+ adτ = v0 +a(t−t0) x(t) = x(t0)+ t0 t t0 t v(τ)dτ [v0 +a(t−t0)] dτ = x0 + v0τ + a 2 (τ −t0) 2 t = t0 = x0 +v0(t−t0)+ a 2 (t−t0) 2 (c) Aus m0 −αt1 = m0 2 folgt t1 = m0 2α . v(t) = v0 + 0 = v0 +F t ˙v(t) = a(t) = F m(t) = a(τ)dτ = v0 +F t 1 −α (ln|m0 t −ατ|) 0 F m0 −αt dτ m0 −ατ = = v0 − F α ln m0 −αt = v0 + m0 F m0 ln α m0 −αt x(t) = x0 + 0 t v(τ)dτ = x0 + 0 t 0 = v0 − F α (ln(m0 −αt)−lnm0) = v0 + F m0 ln α m0 −ατ dτ = = x0 +v0t− F t ln 1− α 0 α τ dτ = m0 = x0 +v0t− F − α m0 α 1− α τ · ln 1− m0 α t τ −1 = m0 0 = x0 +v0t+ Fm0 α2 1− α t · ln 1− m0 α t −1 +1 = m0 = x0 +v0t+ Fm0 α2 1− αt ·ln 1− m0 αt + m0 αt m0 Für die speziellen Zahlenwerte gilt: v(t) = −100 m s ln 1− t 100s und x(t) = 10 4 m 1− t ln 1− 100s t + 100s t 100s 175
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Lösung: (a) v(t) = v(t0)+<br />
t0<br />
<br />
(b) v(t) = v(t0)+<br />
t0<br />
t<br />
t<br />
5.1 Integrale in der Physik<br />
<br />
a(τ)dτ, x(t) = x(t0)+<br />
adτ = v0 +a(t−t0)<br />
<br />
x(t) = x(t0)+<br />
t0<br />
t<br />
t0<br />
t<br />
v(τ)dτ<br />
<br />
[v0 +a(t−t0)] dτ = x0 + v0τ + a<br />
2 (τ −t0) 2 t<br />
=<br />
t0<br />
= x0 +v0(t−t0)+ a 2<br />
(t−t0)<br />
2<br />
(c) Aus m0 −αt1 = m0<br />
2 folgt t1 = m0<br />
2α .<br />
<br />
v(t) = v0 +<br />
0<br />
= v0 +F<br />
t<br />
˙v(t) = a(t) = F<br />
m(t) =<br />
a(τ)dτ = v0 +F<br />
t<br />
<br />
1<br />
−α (ln|m0<br />
t −ατ|)<br />
0<br />
F<br />
m0 −αt<br />
dτ<br />
m0 −ατ =<br />
= v0 − F<br />
α ln m0 −αt<br />
= v0 +<br />
m0<br />
F m0<br />
ln<br />
α m0 −αt<br />
<br />
x(t) = x0 +<br />
0<br />
t<br />
<br />
v(τ)dτ = x0 +<br />
0<br />
t<br />
<br />
0<br />
= v0 − F<br />
α (ln(m0 −αt)−lnm0) =<br />
v0 + F m0<br />
ln<br />
α m0 −ατ<br />
<br />
dτ =<br />
= x0 +v0t− F<br />
t<br />
<br />
ln 1−<br />
α<br />
0<br />
α<br />
<br />
τ dτ =<br />
m0<br />
= x0 +v0t− F<br />
<br />
−<br />
α<br />
m0<br />
<br />
α<br />
<br />
1− α<br />
<br />
τ · ln 1−<br />
m0<br />
α<br />
t τ −1 =<br />
m0 0<br />
= x0 +v0t+ Fm0<br />
α2 <br />
1− α<br />
<br />
t · ln 1−<br />
m0<br />
α<br />
<br />
t −1 +1 =<br />
m0<br />
= x0 +v0t+ Fm0<br />
α2 <br />
1− αt<br />
<br />
·ln 1−<br />
m0<br />
αt<br />
<br />
+<br />
m0<br />
αt<br />
<br />
m0<br />
Für die speziellen Zahlenwerte gilt:<br />
v(t) = −100 m<br />
s ln<br />
<br />
1− t<br />
<br />
100s<br />
und<br />
x(t) = 10 4 <br />
m 1− t<br />
<br />
ln 1−<br />
100s<br />
t<br />
<br />
+<br />
100s<br />
t<br />
<br />
100s<br />
175
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