SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...
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4.5 Anwendungen s(t) ist minimal, wenn f(t) minimal ist: f ′ (t) = 45000t−2916000 = 0 =⇒ t = 64,8 s(64,8) = 22500·64,8 2 −2916000·64,8+94766400 = √ 288000 ≈ 537 Die minimale Entfernung zur Zeit 64,8s ist also 537m. 4. Eine straff gespannte Überlandleitung führt von A(120 40 20) nach B(40 100 30), das ebenfalls (idealisierterweise) als geradlinig verlau- T fende Seil einer Bergbahn von der Talstation T(78 −5 14) zur Spitze A S(78 135 s) des ersten Mastens. AlleKoordinatenverstehen sich inMetern. (a) Stelle die Gleichungen der Geraden g = AB und h = TS auf. (b) Für welches s = s1 schneiden sich g und h? (c) Stelle den Abstand d der Geraden g und h als Funktion von s dar. (d) Eine Vorschrift besagt, dass d mindestens 15m betragen muss. Für welches s = s2 ist d genau 15m? (e) Es gilt jetzt s = s2. Für welches P ∈ g und Q ∈ h gilt PQ = d? (f) Stelle den ganzen Sachverhalt in einem Schrägbild dar. Lösung: (a) g : x = −→ A +λ ′−→ ⎛ ⎞ 120 AB = ⎝ 40⎠+λ 20 ′ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −80 120 −8 ⎝ 60⎠ = ⎝ 40⎠+λ ⎝ 6⎠ 10 20 1 h : x = −→ T +µ −→ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 78 0 TS = ⎝−5⎠+µ ⎝ 140 ⎠ 14 s−14 (b) Gleichsetzen von g und h: −8λ = −42 (1) 6λ−140µ = −45 (2) λ−(s−14)µ = −6 (3) (1) =⇒ λ = 21 4 (4) und (2) : µ = 153 (4) und (5) in (3) : 21 4 280 B (4) (5) 153 −(s−14)· = −6 (6) 280 s = s1 = 588 ≈ 34,6 17 170 S
4.5 Anwendungen (c) Die kürzeste Verbindung zwischen g und h steht senkrecht auf beiden Geraden: ⎛ 0 ⎞ ⎛ ⎞ −8 ⎛ ⎞ 224−6s n = ⎝ 140 ⎠× ⎝ 6⎠ = ⎝112−8s⎠ s−14 1 1120 Die Ebene E enthält g uns steht senkrecht auf n: E : n(x− −→ A) = 0 Der Abstand der Geraden ist der Abstand von T zu E: d(s) = n(−→ T − −→ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 224−6s −42 ⎝112−8s⎠· ⎝−45⎠ A) 1120 −6 = = |n| (224−6s) 2 +(112−8s) 2 +1120 = 612s−21168 (224−6s) 2 +(112−8s) 2 +1120 = 15 (612s−21168) 2 = 15 2 ·[(224−6s) 2 +(112−8s) 2 +1120] 374544s 2 −25909632s +448084224 = 22500s 2 −1008000s +296352000 352044s 2 −24901632s = −151732224 s 2 −2· 49408 = −602112 1397 1397 s− 49408 2 = 1397 494082 −602112·1397 13972 = 400002 13972 s = 49408 + 40000 (−) 1397 1397 s = s2 = 64, s3 = 9408 ≈ 6,73 1397 (d) s = 64 =⇒ h : x = −→ T +µ −→ ⎛ ⎞ 78 TS = ⎝−5⎠+µ 14 ′ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 0 78 0 ⎝140⎠ = ⎝−5⎠+µ ⎝14⎠ 50 14 5 ⎛ ⎞ −2 Weiter folgt aus s = 64: n = ⎝−5⎠ mit |n| = 15. Da n nach oben zeigt und h über g 14 verläuft, folgt mit −→ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 120 −8 P = ⎝ 40⎠+λ ⎝ 6⎠ und 20 1 −→ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 78 0 Q = ⎝−5⎠+µ ⎝14⎠: 14 5 −→ PQ = d· n |n| und damit ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −42 0 −8 ⎝−45⎠+µ ⎝14⎠−λ ⎝ 6⎠ = −6 5 1 15 15 · ⎛ ⎞ −2 ⎝−5⎠ 14 Daraus folgt λ = µ = 5 und damit P(80 70 25) und Q(78 65 39). 171
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4.5 Anwendungen<br />
(c) Die kürzeste Verbindung zwischen g und h steht senkrecht auf beiden Geraden:<br />
⎛<br />
0<br />
⎞ ⎛ ⎞<br />
−8<br />
⎛ ⎞<br />
224−6s<br />
n = ⎝ 140 ⎠× ⎝ 6⎠<br />
= ⎝112−8s⎠<br />
s−14 1 1120<br />
Die Ebene E enthält g uns steht senkrecht auf n:<br />
E : n(x− −→ A) = 0<br />
Der Abstand der Geraden ist der Abstand von T zu E:<br />
d(s) = n(−→ T − −→ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
224−6s −42<br />
⎝112−8s⎠·<br />
⎝−45⎠<br />
A) 1120 −6<br />
= =<br />
|n| (224−6s) 2 +(112−8s) 2 +1120<br />
=<br />
612s−21168<br />
(224−6s) 2 +(112−8s) 2 +1120 = 15<br />
(612s−21168) 2 = 15 2 ·[(224−6s) 2 +(112−8s) 2 +1120]<br />
374544s 2 −25909632s +448084224 = 22500s 2 −1008000s +296352000<br />
352044s 2 −24901632s = −151732224<br />
s 2 −2· 49408<br />
= −602112<br />
1397 1397<br />
<br />
s− 49408<br />
2 =<br />
1397<br />
494082 −602112·1397<br />
13972 = 400002<br />
13972 s = 49408 + 40000<br />
(−)<br />
1397 1397<br />
<br />
s = s2 = 64, s3 = 9408<br />
<br />
≈ 6,73<br />
1397<br />
(d) s = 64 =⇒ h : x = −→ T +µ −→ ⎛ ⎞<br />
78<br />
TS = ⎝−5⎠+µ<br />
14<br />
′<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
0 78 0<br />
⎝140⎠<br />
= ⎝−5⎠+µ<br />
⎝14⎠<br />
50 14 5<br />
⎛ ⎞<br />
−2<br />
Weiter folgt aus s = 64: n = ⎝−5⎠<br />
<strong>mit</strong> |n| = 15. Da n nach oben zeigt und h über g<br />
14<br />
verläuft, folgt <strong>mit</strong> −→ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
120 −8<br />
P = ⎝ 40⎠+λ<br />
⎝ 6⎠<br />
und<br />
20 1<br />
−→ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
78 0<br />
Q = ⎝−5⎠+µ<br />
⎝14⎠:<br />
14 5<br />
−→<br />
PQ = d· n<br />
|n|<br />
und da<strong>mit</strong> ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
−42 0 −8<br />
⎝−45⎠+µ<br />
⎝14⎠−λ<br />
⎝ 6⎠<br />
=<br />
−6 5 1<br />
15<br />
15 ·<br />
⎛ ⎞<br />
−2<br />
⎝−5⎠<br />
14<br />
Daraus folgt λ = µ = 5 und da<strong>mit</strong> P(80 70 25) und Q(78 65 39).<br />
171
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