SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

4.5 Anwendungen
s(t) ist minimal, wenn f(t) minimal ist:
f ′ (t) = 45000t−2916000 = 0 =⇒ t = 64,8
s(64,8) = 22500·64,8 2 −2916000·64,8+94766400 = √ 288000 ≈ 537
Die minimale Entfernung zur Zeit 64,8s ist also 537m.
4. Eine straff gespannte Überlandleitung
führt von A(120 40 20) nach
B(40 100 30), das ebenfalls (idealisierterweise)
als geradlinig verlau- T
fende Seil einer Bergbahn von der
Talstation T(78 −5 14) zur Spitze
A
S(78 135 s) des ersten Mastens. AlleKoordinatenverstehen
sich inMetern.
(a) Stelle die Gleichungen der Geraden g = AB und h = TS auf.
(b) Für welches s = s1 schneiden sich g und h?
(c) Stelle den Abstand d der Geraden g und h als Funktion von s dar.
(d) Eine Vorschrift besagt, dass d mindestens 15m betragen muss. Für welches
s = s2 ist d genau 15m?
(e) Es gilt jetzt s = s2. Für welches P ∈ g und Q ∈ h gilt PQ = d?
(f) Stelle den ganzen Sachverhalt in einem Schrägbild dar.
Lösung: (a) g : x = −→ A +λ ′−→
⎛ ⎞
120
AB = ⎝ 40⎠+λ
20
′
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
−80 120 −8
⎝ 60⎠
= ⎝ 40⎠+λ
⎝ 6⎠
10 20 1
h : x = −→ T +µ −→ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
78 0
TS = ⎝−5⎠+µ
⎝ 140 ⎠
14 s−14
(b) Gleichsetzen von g und h:
−8λ = −42 (1)
6λ−140µ = −45 (2)
λ−(s−14)µ = −6 (3)
(1) =⇒ λ = 21
4
(4) und (2) : µ = 153
(4) und (5) in (3) :
21
4
280
B
(4)
(5)
153
−(s−14)· = −6 (6)
280
s = s1 = 588
≈ 34,6
17
170
S