SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

(e)
4.4 Abstand- und Winkelbestimmung
λ = 16
25 =⇒ F =
⎛ ⎞
0
⎝0⎠+
9
2
16
25 ·
⎛
6
⎝ 10
−9 ⎞ ⎛
⎠ = ⎝
2
d(S,g) = | −→ ⎛
−
FS| = ⎝
96⎞
25
18⎠
5 = 6
72
25
96
25
32
5
81
50
n1
d(B,E1) =
|n1|
·( B −
S)
=
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
24 −6
1
⎝
40⎠·
⎝ ⎠
50
−18
10 9
2
⎞ ⎛ ⎞
3,84
⎠ = ⎝6,40⎠
1,62
= 175
50
= 3,5
(f) Jeder Punkt (0|x2|0) erfüllt die Gleichung von E2, d.h. die x2-Achse ist in E2 enthalten.
Weiter erfüllt jeder Punkt (6|x2|4,5) die Gleichung von E2, d.h. die Gerade
h = QR ist auch in E2 enthalten. E2 ist also Diagonalebene in unserem Quader.
(g) E1 ∩a =⇒ x1 = x3 = 0 in E1 =⇒ x2 = 319
40
E1 ∩h =⇒ x1 = 6 und x3 = 9
2 in E1 =⇒ x2 = 32
319
40
0
40
9
2
=⇒ A2(0 7,975 0)
⎛ ⎞
0
⎛
6
=⇒ T(6 6,4 4,5)
5
(h) s = A2T =⇒ s : x = ⎝ ⎠+λ ⎝−63
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
0 80
⎠ = ⎝7,975⎠+µ
⎝−21⎠
0 60
8. Das Quadrat ABCD mit A(0 0 0), B(76 0 0), C(76 76 0) und D(0 76 0) ist die
Grundfläche einer geraden Pyramide mit der Spitze S(38 38 56) (die Zahlenwerte
verstehen sich in Metern). Weiter sind folgende Punkte gegeben:
M1 : Mittelpunkt von [AC]
M2 : Mittelpunkt von [CD]
M3 : Mittelpunkt von [DS]
M4 : Mittelpunkt von [M2S]
(a) Zeige durch Rechnung: M3(19 57 28) und M4(38 57 28).
(b) Entlang der Geraden g = M1M3 und h = BM4 verlaufen zwei Gänge durch die
Pyramide. Stelle die Gleichungen von g und h auf und erstelle ein Schrägbild
der Pyramide mit den Gängen (Einheit: 10m =1cm).
(c) Die Ebene E1 enthält den Punkt S und steht senkrecht auf h. Stelle in nachvollziehbarer
Weise eine Gleichung von E1 in der (vektorfreien) Normalenform auf,
deren Koeffizienten möglichst kleine ganze Zahlen sind.
[Zur Kontrolle: E1 : −38x1 +57x2 +28x3 −2290 = 0]
(d) Eine Grabkammer G befindet an der Stelle im Gang h, die von der Spitze S die
kleinste Entfernung hat. Berechne diese kleinste Entfernung d und die Koordinaten
von G. Zeichne G in das Schrägbild ein.
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