SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...
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4.4 Abstand- und Winkelbestimmung d(P,g) = | −→ AP|sinϕ = | −→ AP| 1−cos 2ϕ = √ 35· 1− 24 35 = √ 11 (b) Da cosϕ > 0, folgt −→ AF = |−→ AF| ·v = |v| |−→ AP|cosϕ ·v = |v| 2√ ⎛ ⎞ −2 6 √6 v = 2v = ⎝ 4⎠ 2 F = A+ −→ ⎛ ⎞ 3 AF = ⎝2⎠ oder F(3 2 3) 3 (c) (d) ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2 1 4 −→ ′ −→ −→ P = P +2PF = ⎝3⎠+2 ⎝−1⎠ = ⎝1⎠ oder P 0 3 6 ′ (4 1 6) A x1 v 5 P ′ x3 7. VomQuaderABCDPQRSkenntmanA(0 0 0),B(6 0 0),C(6 10 0)undS(0 10 4,5). (a) Wie lauten die Koordinaten der anderen Punkte des Quaders? (b) Gib eine Gleichung für die Gerade g = PC in der Parameterform an. Zeichne ein Schrägbild des Quaders und zeichne g ein. (c) Die Ebene E1 enthält den Punkt S und steht senkrecht auf g. Stelle in nachvollziehbarer Weise eine Gleichung von E1 in der (vektorfreien) Normalenform auf, deren Koeffizienten möglichst kleine ganze Zahlen sind. [Zur Kontrolle: E1 : 24x1 +40x2 −18x3 −319 = 0] 160 4 F P g 5 x2
4.4 Abstand- und Winkelbestimmung (d) Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes F von E1 mit g und berechne damit den Abstand d(S,g) des Punktes S von der Geraden g. Zeichne F in das Schrägbild ein. (e) Berechne den Abstand d(B,E1) des Punktes B von der Ebene E1. (f) In welcher Beziehung steht die Ebene zu unserem Quader? E2 : −3x1 +4x3 = 0 (g) Wir betrachten die Geraden a = AD (x2-Achse) und h = QR. Berechne die Koordinaten der Punkte A2 und T mit {A2} = E1∩a und {T} = E1∩h. Weiter gilt {Y} = E1 ∩ BC mit Y 6 35 8 0 (Beweis nicht erforderlich). Veranschauliche die Ebenen E1 und E2, indem du die Schnittmengen dieser Ebenen mit unserem Quader (Parallelogramme) mit verschiedenen Farben in das Schrägbild einzeichnest. (h) Stelle eine Gleichung der Schnittgeraden s = E1 ∩E2 mit möglichst einfachen Zahlenwerten auf. Zeichne s in das Schrägbild ein. Lösung: (a) D(0 10 0), P(0 0 4,5), Q(6 0 4,5), R(6 10 4,5) (b) g : x = P + −→ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 0 6 PC = ⎝ 0⎠+λ ⎝ 10⎠ 4,5 −4,5 (c) n ′ 1 (d) g in E1: x1 Q 6 B x3 5 P A h E2 Y g T F ⎛ ⎞ 12 = 2·−→ PC = ⎝ 20⎠ ist Normalenvektor von E1. n −9 ′ 1 · ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 12 0 S = ⎝ 20⎠· ⎝ 10⎠ = 159,5. −9 4,5 n1 = 2n ′ 1 =⇒ E1 : n1(x− S) = 24x1 +40x2 −18x3 −319 = 0 9 9 24·6λ+40·10λ−18· − 2 2 λ −319 = 0 =⇒ 625λ = 400 161 s E1 R C A2 10 S D x2
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4.4 Abstand- und Winkelbestimmung<br />
d(P,g) = | −→<br />
AP|sinϕ = | −→<br />
AP| 1−cos 2ϕ = √ <br />
35· 1− 24<br />
35 = √ 11<br />
(b) Da cosϕ > 0, folgt<br />
−→<br />
AF = |−→ AF|<br />
·v =<br />
|v|<br />
|−→ AP|cosϕ<br />
·v =<br />
|v|<br />
2√ ⎛ ⎞<br />
−2<br />
6<br />
√6 v = 2v = ⎝ 4⎠<br />
2<br />
F = A+ −→<br />
⎛ ⎞<br />
3<br />
AF = ⎝2⎠<br />
oder F(3 2 3)<br />
3<br />
(c)<br />
(d)<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
2 1 4<br />
−→ ′ −→ −→<br />
P = P +2PF = ⎝3⎠+2<br />
⎝−1⎠<br />
= ⎝1⎠<br />
oder P<br />
0 3 6<br />
′ (4 1 6)<br />
A<br />
x1<br />
v<br />
5<br />
P ′<br />
x3<br />
7. VomQuaderABCDPQRSkenntmanA(0 0 0),B(6 0 0),C(6 10 0)undS(0 10 4,5).<br />
(a) Wie lauten die Koordinaten der anderen Punkte des Quaders?<br />
(b) Gib eine Gleichung für die Gerade g = PC in der Parameterform an.<br />
Zeichne ein Schrägbild des Quaders und zeichne g ein.<br />
(c) Die Ebene E1 enthält den Punkt S und steht senkrecht auf g. Stelle in nachvollziehbarer<br />
Weise eine Gleichung von E1 in der (vektorfreien) Normalenform auf,<br />
deren Koeffizienten möglichst kleine ganze Zahlen sind.<br />
[Zur Kontrolle: E1 : 24x1 +40x2 −18x3 −319 = 0]<br />
160<br />
4<br />
F<br />
P<br />
g<br />
5<br />
x2
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