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4.4 Abstand- und Winkelbestimmung (c) Wie lauten die Koordinaten der Fußpunkte Fg und Fh der Lote von P auf g und h? (d) Spiegelt man P einmal an g und einmal an h, erhält man Pg und Ph . Berechne die Koordinaten dieser Spiegelpunkte. Schrägbild! Lösung: (a) gh, A ist Aufpunkt von g, B Aufpunkt von h: u = −→ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 12 0 AB = ⎝−4⎠, v = ⎝1⎠ 2 1 ϕ ist der Winkel zwischen u und v: cosϕ = u·v |u|·|v| = sinϕ = 1−cos 2 ϕ = −2 2 √ 41· √ 2 = 1− 1 82 = −1 √ 41· √ 2 9 √ 41· √ 2 d(g,h) = ABsinϕ = 9·2√ 41 √ 41· √ 2 = 9 √ 2 (b) w = −→ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 10 0 AP = ⎝ 1⎠, v = ⎝1⎠, α ist der Winkel zwischen w und v: −3 1 (c) cosα = w·v |w|·|v| = −2 √ √ = 110· 2 −1 √ 55 sinα = 1−cos 2 α = 1− 1 55 = √ 54 √ 55 √ √ 110· 54 d(P,g) = APsinα = √ = 6 55 √ 3 r = −→ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −2 0 BP = ⎝ 5⎠, v = ⎝1⎠, β ist der Winkel zwischen r und v: −5 1 cosβ = r ·v = 0 =⇒ β = 90◦ |r|·|v| d(P,h) = BP = √ 54 = 3 √ 6 Fg = A+APcosα· v |v| = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −5 √ 0 −5 ⎝ 3⎠− 110 √ √ ⎝1⎠ = ⎝ 2⎠ 0 55 2 1 −1 Fh = ⎛ ⎞ 7 B = ⎝−1⎠ 2 158
(d) Ph 4.4 Abstand- und Winkelbestimmung Pg = Fg + −−→ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −5 −10 −15 PFg = ⎝ 2⎠+ ⎝ −2⎠ = ⎝ 0⎠ −1 2 1 Ph = Fh + −−→ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 7 2 9 PFh = ⎝−1⎠+ ⎝−5⎠ = ⎝−6⎠ 2 5 7 h x1 B 8 x3 ⎛ ⎞ −1 6. Gegeben sind die Punkte A(5 −2 1) und P(2 3 0), der Vektor v = ⎝ 2⎠ und die 1 Gerade g : x = A+λv, λ ∈ R (a) Berechne den Abstand d(P,g) des Punktes P von der Geraden g. (b) Berechne die Koordinaten des Fußpunktes F des Lotes von P auf g. 7 2 (c) Spiegelt man P an g, dann erhält man den Spiegelpunkt P ′ . Berechne seine Koordinaten. (d) Stelle den ganzen Sachverhalt in einem Schrägbild dar. Lösung: (a) ϕ =
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(d)<br />
Ph<br />
4.4 Abstand- und Winkelbestimmung<br />
Pg = Fg + −−→<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
−5 −10 −15<br />
PFg = ⎝ 2⎠+<br />
⎝ −2⎠<br />
= ⎝ 0⎠<br />
−1 2 1<br />
Ph = Fh + −−→<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
7 2 9<br />
PFh = ⎝−1⎠+<br />
⎝−5⎠<br />
= ⎝−6⎠<br />
2 5 7<br />
h<br />
x1<br />
B<br />
8<br />
x3<br />
⎛ ⎞<br />
−1<br />
6. Gegeben sind die Punkte A(5 −2 1) und P(2 3 0), der Vektor v = ⎝ 2⎠<br />
und die<br />
1<br />
Gerade<br />
g : x = A+λv, λ ∈ R<br />
(a) Berechne den Abstand d(P,g) des Punktes P von der Geraden g.<br />
(b) Berechne die Koordinaten des Fußpunktes F des Lotes von P auf g.<br />
7<br />
2<br />
(c) Spiegelt man P an g, dann erhält man den Spiegelpunkt P ′ . Berechne seine<br />
Koordinaten.<br />
(d) Stelle den ganzen Sachverhalt in einem Schrägbild dar.<br />
Lösung: (a) ϕ =
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