SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...
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4.4 Abstand- und Winkelbestimmung (c) Wie lauten die Koordinaten der Fußpunkte Fg und Fh der Lote von P auf g und h? (d) Spiegelt man P einmal an g und einmal an h, erhält man Pg und Ph . Berechne die Koordinaten dieser Spiegelpunkte. Schrägbild! Lösung: (a) gh, A ist Aufpunkt von g, B Aufpunkt von h: u = −→ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 12 0 AB = ⎝−4⎠, v = ⎝1⎠ 2 1 ϕ ist der Winkel zwischen u und v: cosϕ = u·v |u|·|v| = sinϕ = 1−cos 2 ϕ = −2 2 √ 41· √ 2 = 1− 1 82 = −1 √ 41· √ 2 9 √ 41· √ 2 d(g,h) = ABsinϕ = 9·2√ 41 √ 41· √ 2 = 9 √ 2 (b) w = −→ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 10 0 AP = ⎝ 1⎠, v = ⎝1⎠, α ist der Winkel zwischen w und v: −3 1 (c) cosα = w·v |w|·|v| = −2 √ √ = 110· 2 −1 √ 55 sinα = 1−cos 2 α = 1− 1 55 = √ 54 √ 55 √ √ 110· 54 d(P,g) = APsinα = √ = 6 55 √ 3 r = −→ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −2 0 BP = ⎝ 5⎠, v = ⎝1⎠, β ist der Winkel zwischen r und v: −5 1 cosβ = r ·v = 0 =⇒ β = 90◦ |r|·|v| d(P,h) = BP = √ 54 = 3 √ 6 Fg = A+APcosα· v |v| = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −5 √ 0 −5 ⎝ 3⎠− 110 √ √ ⎝1⎠ = ⎝ 2⎠ 0 55 2 1 −1 Fh = ⎛ ⎞ 7 B = ⎝−1⎠ 2 158
(d) Ph 4.4 Abstand- und Winkelbestimmung Pg = Fg + −−→ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −5 −10 −15 PFg = ⎝ 2⎠+ ⎝ −2⎠ = ⎝ 0⎠ −1 2 1 Ph = Fh + −−→ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 7 2 9 PFh = ⎝−1⎠+ ⎝−5⎠ = ⎝−6⎠ 2 5 7 h x1 B 8 x3 ⎛ ⎞ −1 6. Gegeben sind die Punkte A(5 −2 1) und P(2 3 0), der Vektor v = ⎝ 2⎠ und die 1 Gerade g : x = A+λv, λ ∈ R (a) Berechne den Abstand d(P,g) des Punktes P von der Geraden g. (b) Berechne die Koordinaten des Fußpunktes F des Lotes von P auf g. 7 2 (c) Spiegelt man P an g, dann erhält man den Spiegelpunkt P ′ . Berechne seine Koordinaten. (d) Stelle den ganzen Sachverhalt in einem Schrägbild dar. Lösung: (a) ϕ =
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4.4 Abstand- und Winkelbestimmung<br />
(c) Wie lauten die Koordinaten der Fußpunkte Fg und Fh der Lote von P auf g und<br />
h?<br />
(d) Spiegelt man P einmal an g und einmal an h, erhält man Pg und Ph . Berechne<br />
die Koordinaten dieser Spiegelpunkte. Schrägbild!<br />
Lösung: (a) gh, A ist Aufpunkt von g, B Aufpunkt von h: u = −→<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
12 0<br />
AB = ⎝−4⎠,<br />
v = ⎝1⎠<br />
2 1<br />
ϕ ist der Winkel zwischen u und v:<br />
cosϕ = u·v<br />
|u|·|v| =<br />
sinϕ = 1−cos 2 ϕ =<br />
−2<br />
2 √ 41· √ 2 =<br />
<br />
1− 1<br />
82 =<br />
−1<br />
√ 41· √ 2<br />
9<br />
√ 41· √ 2<br />
d(g,h) = ABsinϕ = 9·2√ 41<br />
√ 41· √ 2 = 9 √ 2<br />
(b) w = −→<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
10 0<br />
AP = ⎝ 1⎠,<br />
v = ⎝1⎠,<br />
α ist der Winkel zwischen w und v:<br />
−3 1<br />
(c)<br />
cosα = w·v<br />
|w|·|v| =<br />
−2<br />
√ √ =<br />
110· 2 −1<br />
√<br />
55<br />
sinα = 1−cos 2 <br />
α = 1− 1<br />
55 =<br />
√<br />
54<br />
√<br />
55<br />
√ √<br />
110· 54<br />
d(P,g) = APsinα = √ = 6<br />
55<br />
√ 3<br />
r = −→<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
−2 0<br />
BP = ⎝ 5⎠,<br />
v = ⎝1⎠,<br />
β ist der Winkel zwischen r und v:<br />
−5 1<br />
cosβ =<br />
r ·v<br />
= 0 =⇒ β = 90◦<br />
|r|·|v|<br />
d(P,h) = BP = √ 54 = 3 √ 6<br />
Fg = A+APcosα· v<br />
|v| =<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
−5 √ 0 −5<br />
⎝ 3⎠−<br />
110<br />
√ √ ⎝1⎠<br />
= ⎝ 2⎠<br />
0<br />
55 2<br />
1 −1<br />
Fh = ⎛ ⎞<br />
7<br />
B = ⎝−1⎠<br />
2<br />
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