SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

4.4 Abstand- und Winkelbestimmung
(c) Ein Normalenvektor zu den beiden Richtungsvektoren ist
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
2 −4 3
n = ⎝ 0⎠×
⎝ 3⎠
= ⎝2⎠,
n0 =
−1 1 6
n
|n|
d = |n0( ⎛ ⎞ ⎡⎛
⎞ ⎛ ⎞⎤
3 2 13
b−a)| =
1
⎝
2⎠·
⎣⎝
8⎠−
⎝ 0⎠⎦
7
6 10 −1
⎛ ⎞
3
1
= ⎝2⎠
7
6
= −33+16+66
7
(d) Mit −→
PQ = dn0, P =a+λu, Q = b+µv und −→ Q = −→ P + −→
PQ folgt
13−4λ+3 = 2+2µ (1)
3λ+2 = 8 (2)
−1+λ+6 = 10−µ (3)
(1) und (2) =⇒ λ = 2, µ = 3 (4)
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
13 −4 5
−→
P = ⎝ 0⎠+2
⎝ 3⎠
= ⎝6⎠
=⇒ P(5 6 1)
−1 1 1
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
2 2 8
−→
Q = ⎝ 8⎠+3
⎝ 0⎠
= ⎝8⎠
=⇒ Q(8 8 7)
10 −1 7
(e) S ′ ∈ g ′ =⇒ 3λ = 8 =⇒ λ = 8
3 . Der Punkt S ∈ g, der senkrecht über S′ liegt,
hat die Koordinaten S
7 5
3 8 3 .
S ′ ∈ h ′ =⇒ 2+2µ = 7 1
3 =⇒ µ = 6 . Der Punkt T ∈ h, der senkrecht über S′
liegt, hat die Koordinaten T
7 59
3 8 6 . Das Seil darf maximal die Länge
haben.
s = 59
6
5 49
− = = 8,16
3 6
5. Gegeben sind die beiden Geraden
⎛ ⎞
−5
⎛ ⎞
0
⎛ ⎞
7
⎛ ⎞
0
g : x = ⎝ 3⎠+λ
⎝1⎠
und h : x = ⎝−1⎠+λ
⎝1⎠
0 1 2 1
und der Punkt P(5 4 −3).
(a) Berechne den Abstand d(g,h) der beiden Geraden.
(b) Berechne die Abstände d(P,g) und d(P,h).
157
= 7