SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

4.4 Abstand- und Winkelbestimmung
3. Die Ebene E1 enthält die Punkte A(3 6 1), B(−3 6 5) und C(−3 −3 3).
(a) Stelle die Gleichung von E1 in der vektorfreien Normalenform mit möglichst
kleinen ganzen Zahlen auf.
(b) Eine weitere Ebene E2 ist durch die Gleichung
E2 : 6x1 +6x2 +7x3 +15 = 0
gegeben. Berechne den (spitzen) Schnittwinkel der Ebenen E1 und E2.
(c) Untersuche, ob C ∈ E2 gilt.
(d) s1 und s2 sind die Spurgeraden von E1 und E2 in der x1x2-Ebene. Schreibe die
Gleichungenvons1 unds2 inderFormx2 = f(x1)undberechnedieKoordinaten
des Schnittpunktes S der beiden Spurgeraden.
(e) ZeichneallebishergegebenenundberechnetenGrößenineinSchrägbild.Zeichne
auch die noch fehlenden Spurgeraden von E2 ein.
(f) Zeichne die Schnittmenge E1 ∩ E2 in das Schrägbild ein. Gib eine kurze Be-
gründung deines Vorgehens.
Lösung: (a) −→
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
−6 −3
AB = ⎝ 0⎠
= 2⎝
0⎠,
4 2
−→
⎛ ⎞
−6
AC = ⎝−9⎠,
n
2
′ −→
1 = AB× −→
⎛ ⎞
36
AC = ⎝−12⎠
54
n ′ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
6
6
1 = 6⎝−2⎠,
wir wählen n1 = ⎝−2⎠
9
9
Mit a = −→
⎛ ⎞
3
OA = ⎝6⎠
folgt n1a = 6·3−2·6+9·1 = 15 und damit
1
n1(x−a) = 0 =⇒ E1 : 6x1 −2x2 +9x3 −15 = 0
⎛ ⎞
6
(b) n2 = ⎝6⎠,
|n1| =
7
62 +22 +92 = √ 121 = 11, |n2| = 62 +62 +72 = √ 121 = 11
cosϕ = n1n2 87
=
|n1|·|n2| 121
=⇒ ϕ = 44,03◦
(c) C in E2: 6·(−3)+6·(−3)+7·3+15 = 0 =⇒ C ∈ E2
(d) x3 = 0 in E1: 6x1 −2x2 = 15 =⇒ s1 : x2 = 3x1 −7,5
x3 = 0 in E2: 6x1 +6x2 = −15 =⇒ s2 : x2 = −x1 −2,5
x2 = 15
4
s1 ∩ss : 3x1 −7,5 = −x1 −2,5 =⇒ x1 = 5
− 15
2
= −15
4
5
=⇒ S
4
154
4
15
−
4 0
= S(1,25 −3,75 0)