SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

4.4 Abstand- und Winkelbestimmung
P ′ = ⎛ ⎞
−24
P −2·d(P,E)·n0 = ⎝ −2⎠
−9
(c) Richtungsvektoren von E:
⎛ ⎞
0
v = ⎝1⎠,
u =
1
1
⎛ ⎞
6
−→
AB = ⎝−2⎠,
n
2
1
′ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1 1
= u×v = −3⎝
2⎠,
n = ⎝ 2⎠
−2 −2
HNF von E:
x1 +2x2 −2x3 −1
3
= 0
d(P,E) = 1·5+2·4−2·(−3)−1
= 6
3
n0 = 1
⎛ ⎞
1
⎝ 2⎠
=⇒
3
−2
F = ⎛ ⎞
3
P −d(P,E)·n0 = ⎝0⎠
1
P ′ = ⎛ ⎞
1
P −2·d(P,E)·n0 = ⎝−4⎠
5
2. Gegeben sind die Punkte A(0|2|3), B(1|−2|6) und C(−4|2|15) und die Geradenschar
⎛
ga : −→ X = ⎝
-1
2
6
⎞
⎛
⎠+λ ⎝
(a) Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E durch die Punkte A, B
und C.
(b) Geben Sie die Schnittpunkte der Ebene E mit den drei Koordinatenachsen und
die Gleichung der Spurgeraden in der x2x3-Ebene an.
(c) Für welchen Wert von a ist die Gerade ga parallel zu E. Prüfen Sie ob diese in
E enthalten ist.
a
1
a-2
(d) Beschreiben Sie die Lage der Geraden aus der Geradenschar.
Lösung: (a) z. B. 6x1 +3x2 +2x3 = 12
(b) S1(2|0|0), S2(0|4|0), S3(0|0|6), −→ X = ⎝
(c) a = 1
8 , g1
8
liegt in E
(d) ebenes Geradenbüschel, ga : −→ X = ⎝
⎛
⎛
-1
2
6
153
0
4
0
⎞
⎞
⎛
⎠+λ ⎝
⎛
⎠+λ ⎝
0
1
-2
0
4
-6
⎞
⎞
⎠
⎞
⎠
⎛
⎠+λa⎝
1
0
1
⎞
⎠