SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...
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4.4 Abstand- und Winkelbestimmung ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −2 −1 E ∩E2 = h : x = ⎝ 4⎠+λ ⎝ 0⎠ 0 1 4.4 Abstand- und Winkelbestimmung 1. F ist der Fußpunkt des Lotes von P auf E, P ′ ist der an E gespiegelte Punkt P. Bestimme die HNF von E und berechne den Abstand d(P,E) und die Koordinaten von F und P ′ . ⎛ ⎞ 4 ⎛ ⎞ 6 ⎛ ⎞ 3 (a) E : x = ⎝−2⎠+λ ⎝−2⎠+µ ⎝−2⎠, P(−4 5 −2) 3 3 2 (b) E : 9x1 +12x2 +20x3 −205 = 0, P(−6 22 31) (c) E enthält die parallelen Geraden ⎛ ⎞ −5 ⎛ ⎞ 0 ⎛ ⎞ 7 ⎛ ⎞ 0 g : x = ⎝ 3⎠+λ ⎝1⎠ und h : x = ⎝−1⎠+λ ⎝1⎠, P(5 4 −3) 0 1 2 1 ⎛ ⎞ 6 ⎛ ⎞ 3 ⎛ ⎞ 2 Lösung: (a) n = ⎝−2⎠× ⎝−2⎠ = ⎝−3⎠, 3 2 −6 (b) HNF von E: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2 4 ⎝−3⎠· ⎝−2⎠ = 8+6−18 = −4 =⇒ −6 3 E : 2x1 −3x2 −6x3 +4 = 0 HNF von E : − 2 7 x1 + 3 7 x2 + 6 7 x3 − 4 = 0 7 d(P,E) = −2·(−4)+3·5+6·(−2)−4 = 1 7 n0 = 1 ⎛ ⎞ −2 ⎝ 3⎠ =⇒ 7 6 F = P −d(P,E)·n0 = 1 ⎛ ⎞ −26 ⎝ 32⎠ 7 −20 P ′ = P −2·d(P,E)·n0 = 1 ⎛ ⎞ −24 ⎝ 29⎠ 7 −26 9x1 +12x2 +20x3 −205 25 = 0 d(P,E) = 9·(−6)+12·22+20·31−205 = 25 25 n0 = 1 ⎛ ⎞ 9 ⎝12⎠ =⇒ 25 20 F = ⎛ ⎞ −15 P −d(P,E)·n0 = ⎝ 10⎠ 11 152
4.4 Abstand- und Winkelbestimmung P ′ = ⎛ ⎞ −24 P −2·d(P,E)·n0 = ⎝ −2⎠ −9 (c) Richtungsvektoren von E: ⎛ ⎞ 0 v = ⎝1⎠, u = 1 1 ⎛ ⎞ 6 −→ AB = ⎝−2⎠, n 2 1 ′ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 1 = u×v = −3⎝ 2⎠, n = ⎝ 2⎠ −2 −2 HNF von E: x1 +2x2 −2x3 −1 3 = 0 d(P,E) = 1·5+2·4−2·(−3)−1 = 6 3 n0 = 1 ⎛ ⎞ 1 ⎝ 2⎠ =⇒ 3 −2 F = ⎛ ⎞ 3 P −d(P,E)·n0 = ⎝0⎠ 1 P ′ = ⎛ ⎞ 1 P −2·d(P,E)·n0 = ⎝−4⎠ 5 2. Gegeben sind die Punkte A(0|2|3), B(1|−2|6) und C(−4|2|15) und die Geradenschar ⎛ ga : −→ X = ⎝ -1 2 6 ⎞ ⎛ ⎠+λ ⎝ (a) Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E durch die Punkte A, B und C. (b) Geben Sie die Schnittpunkte der Ebene E mit den drei Koordinatenachsen und die Gleichung der Spurgeraden in der x2x3-Ebene an. (c) Für welchen Wert von a ist die Gerade ga parallel zu E. Prüfen Sie ob diese in E enthalten ist. a 1 a-2 (d) Beschreiben Sie die Lage der Geraden aus der Geradenschar. Lösung: (a) z. B. 6x1 +3x2 +2x3 = 12 (b) S1(2|0|0), S2(0|4|0), S3(0|0|6), −→ X = ⎝ (c) a = 1 8 , g1 8 liegt in E (d) ebenes Geradenbüschel, ga : −→ X = ⎝ ⎛ ⎛ -1 2 6 153 0 4 0 ⎞ ⎞ ⎛ ⎠+λ ⎝ ⎛ ⎠+λ ⎝ 0 1 -2 0 4 -6 ⎞ ⎞ ⎠ ⎞ ⎠ ⎛ ⎠+λa⎝ 1 0 1 ⎞ ⎠
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4.4 Abstand- und Winkelbestimmung<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
−2 −1<br />
E ∩E2 = h : x = ⎝ 4⎠+λ<br />
⎝ 0⎠<br />
0 1<br />
4.4 Abstand- und Winkelbestimmung<br />
1. F ist der Fußpunkt des Lotes von P auf E, P ′ ist der an E gespiegelte Punkt P.<br />
Bestimme die HNF von E und berechne den Abstand d(P,E) und die Koordinaten<br />
von F und P ′ .<br />
⎛ ⎞<br />
4<br />
⎛ ⎞<br />
6<br />
⎛ ⎞<br />
3<br />
(a) E : x = ⎝−2⎠+λ<br />
⎝−2⎠+µ<br />
⎝−2⎠,<br />
P(−4 5 −2)<br />
3 3 2<br />
(b) E : 9x1 +12x2 +20x3 −205 = 0, P(−6 22 31)<br />
(c) E enthält die parallelen Geraden<br />
⎛ ⎞<br />
−5<br />
⎛ ⎞<br />
0<br />
⎛ ⎞<br />
7<br />
⎛ ⎞<br />
0<br />
g : x = ⎝ 3⎠+λ<br />
⎝1⎠<br />
und h : x = ⎝−1⎠+λ<br />
⎝1⎠,<br />
P(5 4 −3)<br />
0 1 2 1<br />
⎛ ⎞<br />
6<br />
⎛ ⎞<br />
3<br />
⎛ ⎞<br />
2<br />
Lösung: (a) n = ⎝−2⎠×<br />
⎝−2⎠<br />
= ⎝−3⎠,<br />
3 2 −6<br />
(b) HNF von E:<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
2 4<br />
⎝−3⎠·<br />
⎝−2⎠<br />
= 8+6−18 = −4 =⇒<br />
−6 3<br />
E : 2x1 −3x2 −6x3 +4 = 0<br />
HNF von E : − 2<br />
7 x1 + 3<br />
7 x2 + 6<br />
7 x3 − 4<br />
= 0<br />
7<br />
d(P,E) = −2·(−4)+3·5+6·(−2)−4<br />
= 1<br />
7<br />
n0 = 1<br />
⎛ ⎞<br />
−2<br />
⎝ 3⎠<br />
=⇒<br />
7<br />
6<br />
F = P −d(P,E)·n0 = 1<br />
⎛ ⎞<br />
−26<br />
⎝ 32⎠<br />
7<br />
−20<br />
P ′ = P −2·d(P,E)·n0 = 1<br />
⎛ ⎞<br />
−24<br />
⎝ 29⎠<br />
7<br />
−26<br />
9x1 +12x2 +20x3 −205<br />
25<br />
= 0<br />
d(P,E) = 9·(−6)+12·22+20·31−205<br />
= 25<br />
25<br />
n0 = 1<br />
⎛ ⎞<br />
9<br />
⎝12⎠<br />
=⇒<br />
25<br />
20<br />
F = ⎛ ⎞<br />
−15<br />
P −d(P,E)·n0 = ⎝ 10⎠<br />
11<br />
152
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