SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

4.3 Gegenseitige Lage von Geraden und Ebenen
10. Berechne die Schnittmengen der Ebene E : 4x1+7x2+4x3−20 = 0 mit den Ebenen
⎛ ⎞
4
⎛ ⎞
6
⎛ ⎞
3
E1 : x = ⎝−2⎠+λ
⎝−2⎠+µ
⎝−2⎠
und E2 : −x1 +5x2 −x3 −22 = 0
3 3 2
Lösung: Mit Hilfe des Kreuzprodukts berechnet man den Normalenvektor von E1:
⎛ ⎞
2
n1 = ⎝−3⎠
−6
Die Gleichungen der Ebenen in Normalenform:
E : 4x1 +7x2 +4x3 −20 = 0 (1)
E1 : 2x1 −3x2 −6x3 +4 = 0 (2)
E2 : −x1 +5x2 −x3 −22 = 0 (3)
E ∩E1: Zwei Gleichungen mit drei Unbekannten, wir setzen x3 = λ:
E : 4x1 +7x2 +4λ−20 = 0 (4)
E1 : 2x1 −3x2 −6λ+4 = 0 (5)
(4)−2·(5) : 13x2 +16λ = 28 (6)
(7) in (4) : 4x1 + 7·28
13
E ∩E1 = g : x = 1
13
x1 + 49
13
x2 = 28
13
16
− λ (7)
13
7·16
− λ+4λ = 20| : 4 (8)
13
28
− λ+λ = 5 (9)
13
x1 = 16 15
+ λ (10)
13 13
⎛ ⎞
16
⎝28⎠+
0
λ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
15 −8 15
⎝−16⎠
= ⎝12⎠+µ
⎝−16⎠
13
13 −8 13
E ∩E2: Zwei Gleichungen mit drei Unbekannten, wir setzen x3 = λ:
E : 4x1 +7x2 +4λ−20 = 0 (11)
E2 : −x1 +5x2 −λ−22 = 0 (12)
(11)+4·(12) : 27x2 = 108 (13)
x2 = 4 (14)
(14) in (12) : x1 = −2−λ (15)
151