SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

4.3 Gegenseitige Lage von Geraden und Ebenen
9. Gegeben sind die Ebenen
⎛ ⎞
3
⎛ ⎞
2
⎛ ⎞
1
⎛ ⎞
6
⎛ ⎞
0
⎛ ⎞
1
E1 : x = ⎝3⎠+λ
⎝−1⎠+µ
⎝−2⎠,
E2 : x = ⎝0⎠+σ
⎝ 1⎠+τ
⎝0⎠
3
⎛ ⎞
2
1
⎛ ⎞
1
2
⎛ ⎞
1
6
⎛ ⎞
1
−1
⎛ ⎞
1
0
⎛ ⎞
5
E3 : x = ⎝2⎠+r
⎝−1⎠+s
⎝ 1⎠,
E4 : x = ⎝1⎠+t
⎝1⎠+k
⎝−4⎠
2 1 −1 1 0 5
Berechne alle Schnittmengen zwischen jeweils zwei der gegebenen Ebenen.
Lösung: Man verschafft sich zunächst einen Überblick, indem man mit Hilfe des Kreuzprodukts
Normalenvektoren der Ebenen berechnet:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
0 5
n1 = n2 = n3 = ⎝1⎠,
n4 = ⎝−5⎠
1 −9
Die Gleichungen der Ebenen in Normalenform:
E1 : x2 +x3 −6 = 0 (1)
E2 : x2 +x3 −6 = 0 (2)
E3 : x2 +x3 −4 = 0 (3)
E4 : 5x1 −5x2 −9x3 +9 = 0 (4)
E1 ∩E2 = E1 = E2, E1 ∩E3 = E2 ∩E3 = ∅
E1 ∩E4: Zwei Gleichungen mit drei Unbekannten, wir setzen x3 = λ:
(1) =⇒ x2 = 6−λ (5)
(4) =⇒ 5x1 −5x2 = 9λ−9 (6)
(5) in (6) : 5x1 −30+5λ = 9λ−9 (7)
x1 = 4 21
λ+
5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
21 4
5 5 5 4
E1 ∩E4 = E2 ∩E4 = g : x = ⎝6
⎠+λ ⎝−1⎠
= ⎝5⎠+µ
⎝−5⎠
0 1 1 5
E3 ∩E4: Zwei Gleichungen mit drei Unbekannten, wir setzen x3 = λ:
(3) =⇒ x2 = 4−λ (8)
(4) =⇒ 5x1 −5x2 = 9λ−9 (9)
(5) in (6) : 5x1 −20+5λ = 9λ−9
x1 =
(10)
4 11
λ+
5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
11 4
5 5 3 4
E3 ∩E4 = h : x = ⎝4
⎠+λ ⎝−1⎠
= ⎝3⎠+µ
⎝−5⎠
0 1 1 5
150