SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

1.2 Integralfunktion
Um nicht über die Polstelle integrieren zu müssen:
⎧
x
dt
⎪⎨
−
t
−∞ f(x) =
⎪⎩
2 für x < 0
x
dt
−
t2 für x > 0
−1
∞
Mit der Polstelle x0 = 0 im Integrationsintervall wäre das Integral unendlich, z.B.:
1
dt
= lim
t2 ε→0 +
⎡
−ε
1
⎣
dt dt
+
t2 t2 ⎤
⎦ = lim
ε→0 +
− 1
1 1 1
+ − + = lim
−ε −1 1 ε ε→0 +
2
ε −2
= +∞
−1
ε
6. Schreibe die Funktion f mit f(x) = 4
5 −√ 1−x 2 als Integralfunktion:
f(x) =
x
a
g(t)dt (2 Lösungen!)
Zeichne den Grafen der Integrandenfunktion g mit der Einheit 2cm auf beiden Achsen.
Veranschauliche mit Hilfe des Grafen am speziellen Beispiel f(0,8), warum beide
Lösungen gleichwertig sind.
Lösung: (a) g(x) = f ′ (x) = − −2x
2 √ =
1−x 2
f(x) =
x
√ , Nullstellen von f: ±3 = ±0,6 =⇒
1−x 2 5
x
− 3
5
t
√ dt =
1−t 2
15
x
3
5
t
√ 1−t 2 dt