SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

4.3 Gegenseitige Lage von Geraden und Ebenen
(b) Berechne die Koordinaten des Spurpunktes G von g in der x1x2-Ebene. g ′ und
h ′ sind die Projektionen von g und h, parallel zur x3-Achse, in die x1x2-Ebene.
Stelle die Gleichungen von g ′ und h ′ in der Parameterform auf.
(c) z wird so gewählt, dass sich g und h schneiden. Berechne z und die Koordinaten
des Schnittpunktes S.
(d) Erstelle ein Schrägbild mit allen gegebenen und berechneten geometrischen
Größen.
(e) Berechne die Koordinaten des Spurpunktes H von h in der x1x2-Ebene. F ist
der Fußpunkt des Lotes von S auf die x1x2-Ebene. Berechne das Volumen der
Pyramide GHFS.
⎛ ⎞
Lösung: (a) v = −→
AB =
−2
⎝ 6⎠
=⇒
3
⎛ ⎞
3
⎛ ⎞
−2
⎛ ⎞
5
⎛ ⎞
−3
g : x = ⎝−2⎠+λ
⎝ 6⎠,
h : x = ⎝6⎠+µ
⎝ 2⎠
1 3 2 z
(b) x3 = 1+3λ = 0 =⇒ λ = − 1
3
11
=⇒ G
3
−4 0 .
g ′ ⎛ ⎞
3
⎛ ⎞
−2
: x = ⎝−2⎠+λ
⎝ 6⎠,
h
0 0
′ ⎛ ⎞
5
⎛ ⎞
−3
: x = ⎝6⎠+µ
⎝ 2⎠
0 0
(c) g ∩h : 3−2λ = 5−3µ (1)
−2+6λ = 6+2µ (2)
1+3λ = 2+zµ (3)
−2λ+3µ = 2 (4)
6λ−2µ = 8 (5)
3λ−zµ = 1 (6)
3·(4)+(5) : 7µ = 14 =⇒ µ = 2 (7)
(7) in (4) : −2λ+6 = 2 =⇒ λ = 2 (8)
(7),(8) in (6) : 6−2z = 1 =⇒ z = 2,5 (9)
(8) in g =⇒ S(−1 10 7)
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