SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

4.3 Gegenseitige Lage von Geraden und Ebenen
Lösung: (a) E : x = −→ A +λ −→
AB+µ −→
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
3 4 −1
AC = ⎝3⎠+λ
⎝ 3⎠+µ
⎝ 4⎠
3
g : x =
−1 1
−→ G +λ −→
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
13 1
GF = ⎝10⎠+σ
⎝5⎠
4 4
(b) E ∩x3-Achse =⇒ x1 = x2 = 0: 4λ−µ = −3 (1)
3λ+4µ = −3 (2)
4·(1)+(2) : 19λ = −15 (3)
λ = − 15
19
(4)
(4) in (1) : µ = − 3
(4) und (5) in E :
19
A3 0 0
(5)
69
19
Analog zeigt man: A2(−23 0 0), A1 0 69
7 0
(c) g ∩x1x2-Ebene =⇒ x3 = 4+4σ = 0 =⇒ σ = −1 =⇒ S12(12 5 0)
g ∩x1x3-Ebene =⇒ x2 = 10+5σ = 0 =⇒ σ = −2 =⇒ S13(11 0 −4)
g ∩x2x3-Ebene =⇒ x1 = 13+σ = 0 =⇒ σ = −13 =⇒ S23(0 −55 −48)
(d) E ∩g =⇒ xE = xg =⇒ : 4λ−µ−σ = 10 (1)
3λ+4µ−5σ = 7 (2)
−λ+µ−4σ = 1 (3)
(1) : 4λ−µ−σ = 10 (4)
3·(1)−4·(2) : −19µ+17σ = 2 (5)
(1)+4·(3) : 3µ−17σ = 14 (6)
(5)+(6) : −16µ = 16 (7)
=⇒ µ = −1, σ = −1, λ = 2
σ in g =⇒ E ∩g = {S} mit S(12 5 0)
(e) Richtungsvektoren von E ′ : w = −→
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1 0
GF = ⎝5⎠
und y = ⎝1⎠,
da jeder zur Spurgeraden
4 0
parallele Vektor als Richtungsvektor verwendet werden kann.
E ′ : x = −→ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
3 1 0
A +sw+ty = ⎝3⎠+s
⎝5⎠+t
⎝1⎠
3 4 0
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