SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

4.3 Gegenseitige Lage von Geraden und Ebenen
⎛ ⎞
2
⎛ ⎞
5
⎛ ⎞
−4
(c) Mit n = ⎝−4⎠,
a = ⎝3⎠,
v = ⎝ 5⎠
und d = 20 gilt
5 4 4
E : nx−d = 0 und g : x =a+λv =⇒ na+λnv = d
λ = d−na 20−18
= = −1
nv −8 4 =⇒ −→ S =s =a− 1
⎛ ⎞
6
v = ⎝7⎠
4 4
3
2. Gegeben sind die Punkte A(5|−3|−2), B(−3|2|4), C(1|6|2) und D(4|1|4). Durch A,
B und C ist die Ebene E1, durch A, B und D die Ebene E2 festgelegt. Mit Eik wird
die xixk-Ebene bezeichnet.
(a) Stelle die Gleichungen der beiden Ebenen E1 und E2 in Normalenform auf.
(b) Berechne die Achsenpunkte der Ebenen E1 und E2 (Schnittpunkte mit den
Koordinatenachsen).
(c) Die Schnittgeraden der Ebenen E1 und E2 mit der x1x2-Ebene (Spurgeraden)
sind g1 = E1∩E12 und g2 = E2∩E12. Stelle die Gleichungen dieser Geraden in
der Form x2 = f(x1) auf.
(d) F(5|4|f3) ∈ E1 und G(1|g2|3) ∈ E2. Berechne die fehlenden Koordinaten.
(e) Veranschauliche die Lage der Ebenen in einem Schrägbild. Zeichne alle beschriebenen
Punkte ein.
(f) Berechne den (spitzen) Schnittwinkel der Ebenen E1 und E2.
Lösung: (a) −→
⎛ ⎞
−8
AB = ⎝ 5⎠,
6
−→
⎛ ⎞
−4
AC = ⎝ 9⎠,
4
−→
⎛ ⎞
−1
AD = ⎝ 4⎠
6
n1 ′ = −→
AB× −→
e1 e2 e3
AC =
−8 5 6
−4 9 4 =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
−34 −17 −17
⎝ 8 ⎠ = 2⎝
4⎠,
n1 = ⎝ 4⎠
−52 26 26
n2 ′ = −→
AB× −→
e1 e2 e3
AD =
−8 5 −6
−1 4 6 =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
6 2 2
⎝ 42⎠
= 3⎝
14⎠,
n2 = ⎝ 14⎠
−27 −9 −9
Mit a = −→
⎛ ⎞
5
OA = ⎝−3⎠
folgt n1a = −45 und n2a = −14 und damit
−2
n1(x−a) = 0 =⇒ E1 : −17x1 +4x2 −26x3 +45 = 0
n2(x−a) = 0 =⇒ E2 : 2x1 +14x2 −9x3 +14 = 0
45
(b) Achsenpunkte von E1: A11 17 0 0
45 , A12 0 − 4 0
45 , A13 0 0 26
14
Achsenpunkte von E2: A21(−7 0 0), A22(0 −1 0), A23 0 0 9
140