SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

−4
1.2 Integralfunktion
−3
h
g
−2
−1
y
3. (a) WarumsindalleStammfunktionen vonf mitf(x) = x 2 auchIntegralfunktionen
von f?
3
2
1
−1
−2
−3
(b) Welche Stammfunktionen von f mit f(x) = x 3 sind keine Integralfunktionen
von f?
Lösung: (a) F(x) = x3
3 +C hat für alle C ∈ R eine Nullstelle (x0 = sgn(−3C)·(|3C|) 1
3) und ist
damit auch Integralfunktion von f.
(b) F(x) = x4
+ C hat nur für C ≦ 0 eine Nullstelle. Für C > 0 ist F also keine
4
Integralfunktion von f.
4. Schreibe f(x) = 1
−1 als Integralfunktion. Achtung, Fallunterscheidung!
x2 Lösung: Nullstellen von f: x01 = −1, x02 = 1. Wegen der Polstelle Fallunterscheidung:
⎧
x
2
⎪⎨
− dt für x < 0
t3 −1 f(x) = x
2
⎪⎩
− dt für x > 0
t3 5. Schreibe f(x) = 1
als Integralfunktion.
x
x
x dt 1
Lösung: Ia(x) = − = =
t2 t
1 1
− =⇒ f(x) = lim
x a a→±∞ Ia(x)
a
a
1
14
1
2
h
f
3
x