SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

4.2 Geraden und Ebenen
(b) S1(2|0|0), S2(0|4|0), S3(0|0|6), −→ X = ⎝
(c) a = 1
8 , g1
8
liegt in E
(d) ebenes Geradenbüschel, ga : −→ X = ⎝
6. Gegeben ist die Funktion f : x → ln −1
reich D.
⎛
⎛
-1
2
6
1+x
0
4
0
⎞
⎞
⎛
⎠+λ ⎝
⎛
⎠+λ ⎝
0
1
-2
0
4
-6
⎞
⎞
⎠
⎛
⎠+λa⎝
mit dem maximal möglichen Definitionsbe-
(a) Bestimmen Sie D, die Nullstelle von f und das Verhalten von f an den Rändern
von D.
(b) Zeigen Sie, dass f umkehrbar ist.
(c) Berechnen Sie die Ableitung von f −1 an der Stelle x = 0.
Lösung: (a) D =]−∞;−1[, N(−2|0), limx→−∞ = −∞, limx→−1 = ∞
(b) f ′ (x) = − 1
1+x > 0 im Definitionsbereich, also ist f umkehrbar
(c) f−1 (0) = 1
f ′ (−2) = 1
⎛ ⎞
−1
⎛ ⎞
1
⎛ ⎞
2
7. (a) Verwandle in die Normalenform: E : x = ⎝ 3⎠+λ
⎝−3⎠+µ
⎝3⎠
−2 1 1
(b) Verwandle in die Parameterform: E : −2x1 +5x2 +3x3 −20 = 0
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1 2 −6 −6 −1
Lösung: (a) n = ⎝−3⎠×
⎝3⎠
= ⎝ 1⎠,
na = ⎝ 1⎠·
⎝ 3⎠
= −9
1 1 9 9 −2
E : n(x−a) = 0 =⇒ E : −6x1 +x2 +9x3 +9 = 0
20
(b) Die Achsenpunkte von E sind A1(−10 0 0), A2(0 4 0) und A3 0 0 3 . Mögliche
Richtungsvektoren:
u ′ = −−−→
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
10 5
A1A2 = ⎝ 4⎠,
besser u = ⎝2⎠
0 0
v ′ = −−−→
⎛ ⎞
0
A2A3 = ⎝−4⎠,
besser v =
20
3
3
4 v ′ ⎛ ⎞
0
= ⎝−3⎠
5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
0 5 0
Aufpunkt z.B. A2: E : x = ⎝4⎠+λ
⎝2⎠+µ
⎝−3⎠
0 0 5
138
1
0
1
⎞
⎠