SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

⎛
(c) h : −→ X = ⎝
-0,5
-2,5
0,5
⎞
⎠+λ ⎝
4.2 Geraden und Ebenen
⎛
-2,75
-7,75
2,75
⎞
⎠
4. Gegeben sind die Ebenen F : 8x1−4x2+x3−81 = 0 und G : 2x1+2x2−x3+1 = 0.
Darüber hinaus ist für jedes a ∈ R eine Kugel Ka gegeben durch
−81 = 0.
Lösung: (a) 75 ◦
Ka : (x1 −a) 2 +(x2 −2a) 2 +x 2 3
(a) Unter welchem Winkel schneiden sich die Ebenen F und G?
(b) Bestimmen Sie die Gleichung der Schnittgeraden der Ebenen F und G.
(c) Begründen Sie, dass alle Kugeln Ka mit der x1x2-Ebene gleichgroße Schnittkreise
aufweisen und geben Sie deren Radius an. Für welche Punkte von a hat die
Kugel Ka mit der x1x3-Ebene mehr als einen Punkt gemeinsam?
(d) Für welche Werte für a liegt der Punkt D(4|−4|7) auf der Kugel Ka. Bestimmen
Sie die Gleichungen der zugehörigen Tangentialebenen an die Kugel Ka im
Punkt D.
⎛
(b) s : −→ X = ⎝
0
-40
-79
⎞
⎛
⎠+λ ⎝
1
5
12
(c) Mittelpunkt liegen auf Gerade senkrecht zurx1x2-Ebene
(d) 1. Fall: a1 = 0, E1 : 4x1 +4x2 +7x3 +81 = 0
2. Fall: a2 = −1,6, E2 : 5,6x1 −0,8x2 +7x3 −74,6 = 0
⎞
⎠
5. Gegeben sind die Punkte A(0|2|3), B(1|−2|6) und C(−4|2|15) und die Geradenschar
⎛
ga : −→ X = ⎝
-1
2
6
⎞
⎛
⎠+λ ⎝
(a) Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E durch die Punkte A, B
und C.
(b) Geben Sie die Schnittpunkte der Ebene E mit den drei Koordinatenachsen und
die Gleichung der Spurgeraden in der x2x3-Ebene an.
(c) Für welchen Wert von a ist die Gerade ga parallel zu E. Prüfen Sie ob diese in
E enthalten ist.
a
1
a-2
(d) Beschreiben Sie die Lage der Geraden aus der Geradenschar.
Lösung: (a) z. B. 6x1 +3x2 +2x3 = 12
137
⎞
⎠