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4.2 Geraden und Ebenen
4.2 Geraden und Ebenen
Widerspruch =⇒ L = ∅
1. (a) Stelle die Gleichung der Geraden g = AB mit A(7|−1|2) und B(3|4|5) auf.
(b) Bestimme die Koordinaten von drei Punkten R, S und T auf der Geraden g so,
dass R zwischen A und B, S auf der Halbgeraden [AB mit AS > AB und T auf
der Halbgeraden [BA mit BT > AB liegt.
(c) Bestimme die restlichen Koordinaten von C(−3|c2|c3) so, dass C ∈ g gilt.
(d) s1, s2 und s3 sind die senkrechten Projektionen von g auf die x2x3-, x1x3- und
x1x2-Ebene. Stelle die Gleichungen der drei Geraden s1, s2 und s3 in der Parameterform
auf.
(e) Schreibe die Gleichung von s3 in der Form x2 = f(x1).
(f) Veranschauliche alle gegebenen und berechneten Größen in einem Schrägbild.
Lösung: (a) −→
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
−4
7 −4
AB = ⎝ 5⎠
=⇒ g : x = ⎝−1⎠+λ
⎝ 5⎠
3
2 3
(b) −→ ⎛ ⎞
7
R = ⎝−1⎠+
2
1
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
−4 5
⎝ 5⎠
= ⎝1,5⎠
=⇒ R(5 1,5 3,5)
2
3 3,5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
7 −4 −1
−→
S = ⎝−1⎠+2
⎝ 5⎠
= ⎝ 9⎠
=⇒ S(−1 9 8)
2 3 8
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
7 −4 15
−→
T = ⎝−1⎠−2
⎝ 5⎠
= ⎝−11⎠
=⇒ T(15 −11 −4)
2 3 −4
(c) C ∈ g =⇒
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
−3 7 −4
⎝ c2⎠
= ⎝−1⎠+λ
⎝ 5⎠
=⇒ 7−4λ = −3 =⇒ λ =
2 3
5
2
c3
⎛ ⎞
7
−→
C = ⎝−1⎠+
2
5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
−4 −3
⎝ 5⎠
= ⎝11,5⎠
=⇒ C(−3 11,5 9,5)
2
3 9,5
⎛ ⎞
0
⎛ ⎞
0
⎛ ⎞
7
⎛ ⎞
−4
⎛ ⎞
7
⎛ ⎞
−4
(d) s1 : x = ⎝−1⎠+λ
⎝5⎠,
s2 : x = ⎝0⎠+λ
⎝ 0⎠,
s3 : x = ⎝−1⎠+λ
⎝ 5⎠
2 3 2 3 0 0
(e) x1 = 7−4λ =⇒ λ = 7 1
−
4 4 x1, x2 = −1+5λ = 31 5
−
4 4 x1
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