SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

4.1 Lineare Abhängigkeit von Vektoren
(c) 14x1 −21x2 −7x3 = 49
−6x1 +9x2 +3x3 = 21
Lösung: (a) 2x1 −3x2 −x3 = 7 (1)
−4x1 +31x2 +7x3 = −9 (2)
2·(1)+(2) : 25x2 +5x3 = 5 (3)
(3) : 5 : 5x2 +x3 = 1 (4)
wir wählen : x2 = λ (5)
(5) in (4) : x3 = 1−5λ (6)
(5) und (6) in (1) : x1 = 4−λ (6)
⎧ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎫
⎨ 4 −1 ⎬
=⇒ L = x x = ⎝0⎠+λ
⎝ 1⎠,
λ ∈ R
⎩ ⎭
1 −5
(b) 14x1 −21x2 −7x3 = 49 (1)
−6x1 +9x2 +3x3 = −24 (2)
(1) : 7 : 2x1 −3x2 −x3 = 7 (3)
(2) : 3 : −2x1 +3x2 +x3 = −8 (4)
(3)+(4) : 0 = −1 (5)
Widerspruch =⇒ L = ∅
(c) 14x1 −21x2 −7x3 = 49 (1)
−6x1 +9x2 +3x3 = −21 (2)
(1) : 7 : 2x1 −3x2 −x3 = 7 (3)
(2) : (−3) : 2x1 −3x2 −x3 = 7 (4)
(3)+(4) : 0 = 0 (5)
Die beiden Gleichungen (3) und (4) sind identisch, die Lösungsmenge L des Systems
ist also gleich der Lösungsmenge L1 von (1) bzw. (3). Interpretiert man die Elemente
von L als Punkte im R3 ⎛ ⎞
, dann ist L die durch (3) beschriebene Ebene mit dem
2
Normalenvektor n = ⎝−3⎠
und z.B. dem Aufpunkt A(3,5 0 0).
−1
132