SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

4.1 Lineare Abhängigkeit von Vektoren
(c) Da a, b und c linear unabhängig sind, gibt es λ,µ,ν ∈ R mit x = λa+µ b+νc =⇒
4λ−5µ+21ν = −8 (1)
−3λ−2µ−5ν = 1 (2)
λ+3µ−3ν = 2 (3)
(3) : λ+3µ−3ν = 2 (4)
(2)+3·(3) : 7µ−14ν = 7 (5)
(1)−4·(3) −17µ+33ν = −16 (6)
(4) : λ+3µ−3ν = 2 (7)
(5) : 7µ−14ν = 7 (8)
17·(5)+7·(6) : −7ν = 7 (9)
ν = −1 (10)
(10) in (8) : µ = −1 (11)
(10) und (11) in (7) : λ = 2
x = 2a− b−c
Obwohl e, f und g linear abhängig sind, könnte x zu e, f und g komplanar sein. Wir
setzen einfach an: x = λe+µ f +νg:
2λ+µ+9ν = −8 (1)
λ−µ+12ν = 1 (2)
λ+2µ−3ν = 2 (3)
(3) : λ+2µ−3ν = 2 (4)
(2)−(3) : −3µ+15ν = −1 (5)
(1)−2·(3) −3µ+15ν = −12 (6)
(5) und (6) sind nicht gleichzeitig erfüllbar, das Gleichungssystem hat keine Lösung, x
ist nicht als Linearkombination von e, f und g darstellbar.
3. Berechne die Lösungsmenge:
(a) 2x1 −3x2 −x3 = 7
−4x1 +31x2 +7x3 = −9
(b) 14x1 −21x2 −7x3 = 49
−6x1 +9x2 +3x3 = −24
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