SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

4.1 Lineare Abhängigkeit von Vektoren
⎛ ⎞
4
(a) a = ⎝−3⎠,
1
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
−5 21
b = ⎝−2⎠
und c = ⎝−5⎠
3 −3
⎛ ⎞
2
(b) e = ⎝1⎠,
1
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1 9
f = ⎝−1⎠
und g = ⎝ 12⎠
2 −3
⎛ ⎞
−8
(c) Stelle, wenn möglich, x = ⎝ 1⎠
als Linearkombination von a,
2
b und c bzw. e,
f und g dar.
Lösung: (a) Aus λa+µ b+νc =o folgt
4λ−5µ+21ν = 0 (1)
−3λ−2µ−5ν = 0 (2)
λ+3µ−3ν = 0 (3)
(3) : λ+3µ−3ν = 0 (4)
(2)+3·(3) : 7µ−14ν = 0 (5)
(1)−4·(3) −17µ+33ν = 0 (6)
(4) : λ+3µ−3ν = 0 (7)
(5) : 7µ−14ν = 0 (8)
17·(5)+7·(6) : −7ν = 0 (9)
=⇒ λ = µ = ν = 0, also sind a, b und c linear unabhängig.
(b) Aus λe+µ f +νg = o folgt
2λ+µ+9ν = 0 (1)
λ−µ+12ν = 0 (2)
λ+2µ−3ν = 0 (3)
(3) : λ+2µ−3ν = 0 (4)
(2)−(3) : −3µ+15ν = 0 (5)
(1)−2·(3) −3µ+15ν = 0 (6)
(5) bzw. (6) : µ = 5ν (7)
(7) in (1) : λ = −7ν (8)
Z.B. für ν = 1 folgt −7e+5 f +g =o, also sind e, f und g linear abhängig.
130