SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

4 Geometrie: Geraden und Ebenen im
Raum
4.1 Lineare Abhängigkeit von Vektoren
1. Untersuche auf lineare Abhängigkeit:
−1,67
(a) a = und
5
12
b = 5 ,
−2,1
−1,67
(b) e = und
4
f =
−3,6
5
(c) Stelle, wenn möglich, x =
e und f dar.
= −3,6
7
5
8,8
als Linearkombination von a und
−8
b bzw.
Lösung: (a) b = 3
2 a =⇒ a undb sind linear abhängig.
4
(b) = −5 = −
−1,6 2 18
=⇒ e und
7
f sind linear unabhängig.
(c) Da x ∦a b mit a und b nicht möglich.
Da e und f linear unabhängig sind, gibt es λ ∈ R und µ ∈ R mit x = λe+µ f =⇒
−1,6λ+4µ = 8,8 (1)
1,4λ−3,6µ = −8 (2)
0,9·(1)+(2) : −0,04λ = −0,08 (3)
2. Untersuche auf lineare Abhängigkeit:
λ = 2 (4)
(4) in (1) −3,2+4µ = 8,8 (5)
129
µ = 3
x = 2e+3 f