SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

3.3 Binomialkoeffizient, Binomialverteilung
(c) 1−q n ≧ 0,5 =⇒ q n ≦ 0,5 =⇒ n ≧ ln0,5
lnq
= 6769015,09
6. Aus einem Kartenspiel mit 32 Blatt wird mit Zurücklegen immer eine Karte gezogen.
Ein Treffer (mit 1 bezeichnet) liegt vor, wenn die gezogene Karte ein Ass ist, sonst
eine Niete (mit 0 bezeichnet).
(a) Der Versuch wird zehnmal ausgeführt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt das
Ergebnis 0001001001 ein?
(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind beim zehnmaligen Kartenziehen genau drei
Treffer dabei?
(c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist beim zehnmaligen Kartenziehen mindestens
ein Treffer dabei?
(d) Mitwelcher Wahrscheinlichkeit sindbeimzehnmaligenKartenziehenmindestens
drei Treffer dabei?
(e) Wie viele Karten muss man mindestens ziehen, um mit mindestens 90%-iger
Sicherheit mindestens einen Treffer zu landen?
(f) Wie viele Karten muss man mindestens ziehen, um mit mindestens 90%-iger
Sicherheit mindestens zwei Treffer zu landen?
(g) Eine Casino bietet das zehnmalige Kartenziehen mit Zurücklegen als Spiel an.
Der Spieler gewinnt, wenn er ein Trefferpaar (zwei Treffer hintereinander) und
sonst nur Nieten zieht. In diesem Fall erhält der Spieler den zwanzigfachen
Einsatz zurück, sonst ist der Einsatz verloren. Welche Rendite (Gewinn pro
Einsatz) wirft dieses Spiel für die Bank ab?
Lösung: Trefferwahrscheinlichkeit: p = 1 7
, q = 1−p =
8 8
(a) p1 = p 3 q 7 = 7,67·10 −4
(b) p2 = B(10; 1
8 ;3) =
10
3
(c) p3 = 1−B(10; 1
8 ;0) = 1−
p 3 q 7 = 0,0920 = 9,20%
10
p
0
0 q 10 = 1−q 10 = 0,7369 = 73,69%
(d) P( ” mindestens 3 Treffer“) = 1−P( ” höchstens 2 Treffer“ =⇒
p4 = B(10; 1
8
;3)+B(10; 1
8
1 ;4)+ ... +B(10; 8 ;10) =
= 1−B(10; 1 1 1
8 ;0)−B(10; 8 ;1)−B(10; 8 ;2) =
= 1−q 10
10
− p
1
1 q 9
10
− p
2
2 q 8 = 0,1195 = 11,95%
(e) 1−q n ≧ 0,9 =⇒ q n ≦ 0,1 =⇒ n ≧ ln0,1
lnq
124
= 17,24, also mindestens 18-mal.