SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...
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3.3 Binomialkoeffizient, Binomialverteilung 2. Ein Laplace-Würfel wird n-mal geworfen, eine Sechs ist ein Treffer, alles andere eine Niete. (a) Zeichne ein Histogramm von B(n,p,k) für n = 10. (b) Wie oft muss der Würfel mindestens geworfen werden, damit mit mindestens 90%-er Sicherheit mindestens ein Treffer erzielt wird? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für ” mindestens ein Treffer“ dann genau? Lösung: (a) k B(10, 1 6 ,k) 0 16,15% 1 32,30% 2 29,07% 3 15,50% 4 5,43% 5 1,30% 6 0,22% 7 0,025% 8 1,86·10 −3 % 9 8,27·10 −5 % 10 1,65·10 −6 % (b) p = 1 5 , q = 1−p = 6 6 P( mindestens einmal 6“) = 1−P( keine 6“) = 1−q ” ” n ≧ 0,9 q n ≦ 0,1 =⇒ n ≧ ln0,1 ln 5 = 12,6 6 Der Würfel muss mindestens 13-mal geworfen werden. P( ” mindestens einmal 6“) = 1− B 0.3 0.2 0.1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 5 = 90,65% 6 3. Magdalena hat beim Stehendschießen die Trefferwahrscheinlichkeit p = 80%. (a) Magdalena schießt zwanzigmal. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit p1, dass sie folgende Serie schießt: 10011 11011 10111 01111? (b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit p2, dass sie bei zwanzig Schüssen genau 15 Treffer landet? (c) EineSeriebesteht ausfünfSchüssen, eineTopserieausfünfTreffern. Mitwelcher Wahrscheinlichkeit pT schießt Lena eine Topserie? Wie viele Serien muss Magdalena mindestens schießen, damit mit mindestens 95%-iger Wahrscheinlichkeit mindestens eine Topserie dabei ist? Lösung: (a) p = 4 1 = 0,8, q = 1−p = 5 5 = 0,2, p1 = p 15 q 5 = 415 = 1,126·10−5 520 122 k
(b) p2 = 20 p 15 15 q 5 = 3.3 Binomialkoeffizient, Binomialverteilung 20 p 5 15 q 5 = 15504·415 520 = 17,46% 15504 (c) pT = p 5 = 45 1024 = = 0,32768 = 32,768% 55 3125 qT = 1−pT = 2101 = 0,67232 = 67,232% 3125 P( kein Treffer“) = q ” n T, P( mindestens ein Treffer“) = 1−q ” n T 1−q n T ≧ 0,95 =⇒ q n T ≦ 0,05 =⇒ n ≧ ln0,05 = 7,55 lnqT Lena muss mindestens acht Serien schießen. 4. An wie vielen Ziehungen muss man beim Lotto 6 aus 49“ mit jeweils einem Tipp ” mindestens teilnehmen, um mit mindestens 90%-iger Wahrscheinlichkeit mindestens einmal sechs Richtige zu haben? Lösung: p = 1 = 49 6 n ≧ ln0,1 lnq 1 13983816 = 7,151·10−8 , q = 1−p = 13983815 13983816 = 32198925,11, also mindestens 32198926-mal. = 0,9999999285 5. Beim genetischen Fingerabdruck werden mehrere Abschnitte der DNA vervielfältigt und auf ihre Länge hin untersucht. Nehmen wir an, dass zehn Abschnitte untersucht werden und jeder Abschnitt zufällig verteilt fünf verschiedene Längen haben kann (die Realität ist komplizierter). (a) An einem Tatort werden DNA-Spuren des Täters gesichert. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit p, dass der genetische Fingerabdruck einer beliebigen Person mit dem des Täters übereinstimmt? (b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei 10000 Verurteilungen auf Grund des genetischen Fingerabdrucks mindestens ein Unschuldiger dabei ist? (c) Ab wie vielen Verurteilungen auf Grund des genetischen Fingerabdrucks ist mit einer mindestens 50%-igen Wahrscheinlichkeit mindestens ein Unschuldiger ins Gefängnis gewandert? Lösung: (a) Es gibt z = 5 10 = 9765625 verschiedene Möglichkeiten, also ist (b) q = 1−p = 9765624 9 p = 1 9765625 = 1,024·10−7 765625 = 0,9999998976 =⇒ p1 = 1−q 10000 = 1,0235·10 −3 = 0,10235% 123
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- Seite 77 und 78: Lösung: 21. Wir betrachten die Fun
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(b) p2 =<br />
<br />
20<br />
p<br />
15<br />
15 q 5 =<br />
3.3 Binomialkoeffizient, Binomialverteilung<br />
<br />
20<br />
p<br />
5<br />
15 q 5 = 15504·415<br />
520 = 17,46%<br />
<br />
15504<br />
(c) pT = p 5 = 45 1024<br />
= = 0,32768 = 32,768%<br />
55 3125<br />
qT = 1−pT = 2101<br />
= 0,67232 = 67,232%<br />
3125<br />
P( kein Treffer“) = q<br />
” n T, P( mindestens ein Treffer“) = 1−q<br />
” n T<br />
1−q n T ≧ 0,95 =⇒ q n T ≦ 0,05 =⇒ n ≧ ln0,05<br />
= 7,55<br />
lnqT<br />
Lena muss mindestens acht Serien schießen.<br />
4. An wie vielen Ziehungen muss man beim Lotto 6 aus 49“ <strong>mit</strong> jeweils einem Tipp<br />
”<br />
mindestens teilnehmen, um <strong>mit</strong> mindestens 90%-iger Wahrscheinlichkeit mindestens<br />
einmal sechs Richtige zu haben?<br />
Lösung: p = 1<br />
=<br />
49<br />
6<br />
n ≧ ln0,1<br />
lnq<br />
1<br />
13983816 = 7,151·10−8 , q = 1−p = 13983815<br />
13983816<br />
= 32198925,11, <strong>als</strong>o mindestens 32198926-mal.<br />
= 0,9999999285<br />
5. Beim genetischen Fingerabdruck werden mehrere Abschnitte der DNA vervielfältigt<br />
und auf ihre Länge hin untersucht. Nehmen wir an, dass zehn Abschnitte untersucht<br />
werden und jeder Abschnitt zufällig verteilt fünf verschiedene Längen haben kann<br />
(die Realität ist komplizierter).<br />
(a) An einem Tatort werden DNA-Spuren des Täters gesichert. Wie groß ist die<br />
Wahrscheinlichkeit p, dass der genetische Fingerabdruck einer beliebigen Person<br />
<strong>mit</strong> dem des Täters übereinstimmt?<br />
(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei 10000 Verurteilungen auf Grund<br />
des genetischen Fingerabdrucks mindestens ein Unschuldiger dabei ist?<br />
(c) Ab wie vielen Verurteilungen auf Grund des genetischen Fingerabdrucks ist <strong>mit</strong><br />
einer mindestens 50%-igen Wahrscheinlichkeit mindestens ein Unschuldiger ins<br />
Gefängnis gewandert?<br />
Lösung: (a) Es gibt z = 5 10 = 9765625 verschiedene Möglichkeiten, <strong>als</strong>o ist<br />
(b) q = 1−p = 9765624<br />
9<br />
p =<br />
1<br />
9765625<br />
= 1,024·10−7<br />
765625 = 0,9999998976 =⇒<br />
p1 = 1−q 10000 = 1,0235·10 −3 = 0,10235%<br />
123
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