SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

3.3 Binomialkoeffizient, Binomialverteilung
2. Ein Laplace-Würfel wird n-mal geworfen, eine Sechs ist ein Treffer, alles andere eine
Niete.
(a) Zeichne ein Histogramm von B(n,p,k) für n = 10.
(b) Wie oft muss der Würfel mindestens geworfen werden, damit mit mindestens
90%-er Sicherheit mindestens ein Treffer erzielt wird? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
für ” mindestens ein Treffer“ dann genau?
Lösung: (a) k B(10, 1
6 ,k)
0 16,15%
1 32,30%
2 29,07%
3 15,50%
4 5,43%
5 1,30%
6 0,22%
7 0,025%
8 1,86·10 −3 %
9 8,27·10 −5 %
10 1,65·10 −6 %
(b) p = 1 5
, q = 1−p =
6 6
P( mindestens einmal 6“) = 1−P( keine 6“) = 1−q
” ” n ≧ 0,9
q n ≦ 0,1 =⇒ n ≧ ln0,1
ln 5 = 12,6
6
Der Würfel muss mindestens 13-mal geworfen werden.
P( ” mindestens einmal 6“) = 1−
B
0.3
0.2
0.1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
13 5
= 90,65%
6
3. Magdalena hat beim Stehendschießen die Trefferwahrscheinlichkeit p = 80%.
(a) Magdalena schießt zwanzigmal. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit p1, dass sie
folgende Serie schießt: 10011 11011 10111 01111?
(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit p2, dass sie bei zwanzig Schüssen genau 15
Treffer landet?
(c) EineSeriebesteht ausfünfSchüssen, eineTopserieausfünfTreffern. Mitwelcher
Wahrscheinlichkeit pT schießt Lena eine Topserie? Wie viele Serien muss Magdalena
mindestens schießen, damit mit mindestens 95%-iger Wahrscheinlichkeit
mindestens eine Topserie dabei ist?
Lösung: (a) p = 4 1
= 0,8, q = 1−p =
5 5 = 0,2, p1 = p 15 q 5 = 415
= 1,126·10−5
520 122
k