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3.3 Binomialkoeffizient, Binomialverteilung
3.3 Binomialkoeffizient, Binomialverteilung
1. Eine Laplace-Münze wird n-mal geworfen, ” Kopf“ ist ein Treffer, ” Zahl“ eine Niete.
(a) Zeichne ein Histogramm von B(n,p,k) für n = 10. Zeige, dass das Histogramm
für beliebiges n symmetrisch ist.
(b) Wir betrachtendasHistogrammfüreingeradesn. Zeige,dassdieNachbarsäulen
der mittleren Säule weniger hoch sind als die mittlere Säule.
(c) Wie oft muss die Münze mindestens geworfen werden, damit mit mindestens
90%-er Sicherheit mindestens einmal Kopf“ geworfen wird? Wie groß ist die
”
Wahrscheinlichkeit für das mindestens einmal Kopf werfen“ dann genau?
”
Lösung: (a) B(n; 1
n 1 1 n 1
2 ;k) = · =
k 2k 2n−k k 2n B(n; 1
n 1 1 n 1
2 ;n−k) = · =
k 2n−k 2k k 2n B
0.20
0.15
B(n; 1
2
1 ;k) = B(n; 2 ;n−k) =⇒
B(n; 1
n
2 ;k) ist symmetrisch zur Geraden k = 2
(b) Mittlere Säule: B(n; 1
2
Säulen daneben:
B(n; 1 n
2 ; 2
n ; 2 ) =
nn
1 n −1) = B(n; 2 ; 2 +1) =
=
=
n
=
2
· 1
=
2n n
n!
2 n · n
2
n
2 +1
! 2
0.10
0.05
· 1
=
2n 2 n · n
2 +1 · n
2 · n
2 −1 ·...·1· n
2 −1 · n
n
2
2 +1 ·2 n · n
n
2
+1 ·
n!
2 n · n
2
n!
n
2 ·n!
2 · n
2 −1 ·...·1· n
2 · n
! 2
= n
n+2