SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
12. (a)
Lösung: (a)
(b)
(c)
x n−1
3
2
e2
e
π
2
0
π
4
0
2
1
x
2
x n +a
x2 x3 1
dx =
−1 3
dx
xlnx =
1.2 Integralfunktion
1 nxn−1 dx =
n xn
1 (xn +a) ′
dx =
+a n xn 1
dx =
+a n ln|xn +a|+C
e2
e
sinx−cosx
sinx+cosx
sinx−cosx
sinx+cosx
3
2
1
x dx =
lnx
3x2 x3 1
dx =
−1 3
e2
e
π
2
dx = −
(ax+b) 99 dx (b)
0
(lnx) ′
lnx
3
2
(sinx+cosx) ′
sinx+cosx
(x 3 −1) ′
x 3 −1
dx =
dx = [ln|lnx|]e2
e
1
3 ln|x3 3 −1| =
2
1 26
ln
3 7
= ln2
2
dx = −[ln|sinx+cosx|]π 0
4
dx = −[ln|sinx+cosx|]π 0 = −ln√2+ln1 = − 1
2 ln2
2
(ax+b) 99 dx = (ax+b)100
100a
3x2 x3 dx =
+1
dt
t
2
1
= lnx−ln2 = ln x
2
1.2 Integralfunktion
1
3x2 x3 dx (c) Berechne x:
+1
+C
(x3 +1) ′
x3 +1 dx = ln|x 3 +1| 2 = ln9−ln2 ≈ 1,50
1
= 1 =⇒ x = 2e
1. Schreibe folgende Funktionen als Integralfunktion. Achte auch auf die Definitionsmenge!
(a) f(x) = 1
2 x2 −4x+6
x
(b) g(x) = cosx (c) h(x) = tanx
Lösung: Allgemein gilt: f(x) = f ′ (x)dx mit f(a) = 0.
a
(a) f(x) = 0 =⇒ x01 = 2, x02 = 6, also f(x) =
12
x
2
(x−4) dx =
x
2
x
6
= 0
dt
t
= 1
(x−4) dx