SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

3.1 Urnenmodell - Ziehen mit und ohne Zurücklegen
(a) Aus den 26 Buchstaben des Alphabets werden beliebige Wörter der Länge fünf
gebildet.
(b) Wie (a), jedoch jeder Buchstabe höchstens einmal.
(c) Lotto ” 6 aus 49“.
(d) Zehn Personen stellen sich in einer Reihe auf.
(e) Zehn Kugeln mit den Ziffern 0 bis 9 auf drei Urnen verteilen.
(f) Zehn Elektronen (ununterscheidbar) auf drei verschiedene Atome verteilen.
(g) Zehn Elektronen (ununterscheidbar) auf drei gleiche Atome verteilen.
Lösung: (a) Geordnet mit Zurücklegen: n = 26 5 = 11881376
26!
(b) Geordnet ohne Zurücklegen: n = = 26·25·24·23·22 = 7893600
(26−5)!
49
(c) Ungeordnet ohne Zurücklegen: n = = 13983816
6
(d) Geordnet ohne Zurücklegen (Permutation): n = 10! = 3628800
(e) Geordnet mit Zurücklegen: n = 3 10 = 59049
3+10−1
(f) Ungeordnet mit Zurücklegen: n = =
10
12
=
10
12
= 66
2
Sind x1, x2 und x3 die Besetzungszahlen, dann kann man das Problem auch so formulieren:
Wie viele Lösungen aus N0 hat die Gleichung x1 +x2 +x3 = 10?
(g) Das ist keine unserer Grundaufgaben. Anders formuliert lautet das Problem:
Wie viele Lösungen aus N0 hat die Gleichung x1 + x2 +x3 = 10 mit x1 ≦ x2 ≦ x3?
Für dieses Problem gibt es keine einfache geschlossene Formel. Wir lösen es durch
das Hinschreiben aller Möglichkeiten für (x1,x2,x3): (0,0,10), (0,1,9), (0,2,8), (1,1,8),
(0,3,7), (1,2,7), (0,4,6), (1,3,6), (2,2,6), (0,5,5), (1,4,5), (2,3,5), (2,4,4), (3,3,4), also 14
Möglichkeiten.
Weiterführende Lektüre: Im Netz nach Partiton Function suchen (z.B. auf den Seiten
von WolframMathWorld). Mit der Rundungsfunktion oder nint-Funktion (nearest
integer)
[x] = nächstgelegene ganze Zahl von x,
wobei Komma-Fünf-Zahlen auf die nächste gerade Zahl gerundet werden ([1,5] = 2,
[2,5] = 2, [3,5] = 4) und der Abrundfunktion oder floor-Funktion
⌊x⌋ = nächstkleinere ganze Zahl von x
(⌊−2,3⌋ = −3, ⌊2,3⌋ = 2) hat die Gleichung x1+x2+x3 = n mit x1 ≦ x2 ≦ x3 genau
1+
118
n
+
2
n2 12