SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

3.1 Urnenmodell - Ziehen mit und ohne Zurücklegen
Die Zahl der Pfade mit x blauen Kugeln ist gleich der Zahlder Möglichkeiten, x
k
ununterscheidbare blaue Kugeln auf k Plätze zu verteilen, also . Damit gilt
x
k a!
P(x) = p· =
x (a−k +x)! ·
b! (n−k)! k!
· ·
(b−x)! n! x!(k −x)! =
a!
=
(k −x)!(a−k +x)! ·
a b
b! k!(n−k)! k−x x
· =
x!(b−x)! n! a+b
k
10 4
10 4
(b) P(x) =
6−x x
, P(0) =
14
6 0
=
14
6 6
70
= 6,993%
1001
10 4
P(1) =
5 1
=
14
6
336
10 4
= 33,566%, P(2) =
1001
4 2
=
14
6
420
= 41,598%
1001
10 4
P(3) =
3 3
=
14
6
160
10 4
= 15,984%, P(4) =
1001
2 4
=
14
6
15
= 1,499%
1001
12. Aus einem Kartenspiel (52 Blatt) werden nacheinander mit Zurücklegen k Karten
ausgewählt. Für jede Wahl wird ein Zeitbedarf von einer Minute veranschlagt. Wie
groß darf k höchstens gewählt werden, damit im Zeitraum von
(a) einem Jahr (b) 1000 Jahren (c) 13,7 Milliarden Jahren
alle Möglichkeiten durchgespielt werden können?
Lösung: 52 k ≦ n =⇒ kln52 ≦ lnn =⇒ k ≦ lnn
ln52
(a) n1 = 365,25·24·60 = 525969 =⇒ k ≦ lnn1
ln52 = 3,33 =⇒ kmax = 3
(b) n2 = 1000n1 = 525969000 =⇒ k ≦ lnn2
ln52 = 5,08 =⇒ kmax = 5
(c) n3 = 13,7·10 9 n1 = 7,206·10 15 =⇒ k ≦ lnn3
ln52 = 9,24 =⇒ kmax = 9
13. Ordne folgenden Problemen die richtige Grundaufgabe der Kombinatorik zu und
berechne dann die Anzahl der Möglichkeiten:
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