SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

3.1 Urnenmodell - Ziehen mit und ohne Zurücklegen
(c) GZ(20;5) = 20!
= 1860480
15!
(d) GZ(20;5) = 20 5 = 3200000
(e) Kein Fach doppelt belegt: (c) =⇒ z0 = 1860480
20
Ein Fach doppelt belegt: Möglichkeiten fürdie Auswahl der 4 Fächer, 4 Möglich-
4
5!
keiten für die Auswahl des doppeltbelegten Faches, Möglichkeiten für die
2!·1!·1!·1!
Belegung der Fächer:
20
z1 = 4· ·
4
5!
= 1162800
2!
20
3
Zwei Fächer doppelt belegt: Möglichkeiten für die Auswahl der 3 Fächer, =
3
2
5!
3 Möglichkeiten für die Auswahl der doppelt belegten Fächer,
2!·2!·1! Möglichkeiten
für die Belegung der Fächer:
20 5!
z1 = 3· · = 102600
3 2!·2!
z = z0 +z1 +z2 = 3125880
(f) Wie (e), nur für die Belegung der Fächer gibt es jeweils nur eine Möglichkeit:
20 20 20
z = +4· +3· = 15504+19380+3420 = 38304
5 4 3
6. Das Geburtstagsparadoxon
(a) Berechne die Wahrscheinlichkeit p(n), dass unter n zufällig ausgesuchten Personen
mindestens zwei am gleichen Tag Geburtstag haben. Es darf angenommen
werden, dass das Jahr 365 Tage hat und jeder Tag als Geburtstag gleichwahrscheinlich
ist. Berechne speziell p(2) bis p(10), p(20), p(40) und p(60).
(b) Ab welcher Personenanzahl ist es bei einer Party günstig darauf zu wetten, dass
mindestens zwei der Gäste am gleichen Tag Geburtstag haben?
Lösung: (a) p(n) ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter n Personen alle an verschiedenen Tagen
Geburtstag haben:
⎧
⎨365·364·...·(365−n+1)
p(n) = 365
⎩
n
365!
=
365n für n ≦ 365
·(365−n)!
0 für n > 365
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