SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

3.1 Urnenmodell - Ziehen mit und ohne Zurücklegen
Die gesuchte Wahrscheinlichkeitist dann
p = pn ·pn−1 ·pn−2 ·...·p1 =
= n!·(2n−2)·(2n−4)·...·4·2
(2n−1)!
= n!·2n−1 ·(n−1)!
(2n−1)!
Für n = 26 ist
n·(n−1)·(n−2)·...·2·1
(2n−1)·(2n−3)·(2n−5)·...·3·1 =
= n!·2n−1 ·(n−1)!·2n
(2n−1)!·2n
p = 226 ·(26!) 2
52!
= n!·2·(n−1)·2·(n−2)·...·2·2·2·1
(2n−1)!
= n!·2n ·n!
(2n)! = 2n ·(n!) 2
(2n)!
= 1,35·10 −7
(b) Der Unterschied zu Teilaufgabe (a): Die Wahrscheinlichkeit für ein rs-Paar ist halb so
groß wie pn, d.h. die gesamte gesuchte Wahrscheinlichkeit ist
Für n = 26 ist
p ′ = 1 1
·p =
2n 2n · 2n ·(n!) 2
(2n)!
p ′ = (26!)2
52!
= 2,0·10−15
= (n!)2
(2n)!
(c) Entweder Stapel 1 rot und Stapel 2 schwarz oder umgekehrt:
Für n = 26 ist p ′′ = 4,0·10 −15 .
p ′′ = 2p ′ = 2(n!)2
(2n)!
5. Rudi Ratlos steht mit fünf Gepäckstücken vor zwanzig leeren Schließfächern. Auf
wie viele verschiedene Arten kann er die Gepäckstücke unter folgenden Bedingungen
verteilen:
(a) Pro Schließfach nur ein Gepäckstück, die Gepäckstücke sind ununterscheidbar.
(b) Pro Schließfach beliebig viele ununterscheidbare Gepäckstücke.
(c) Pro Schließfach nur ein Gepäckstück, die Gepäckstücke sind unterscheidbar.
(d) Pro Schließfach beliebig viele unterscheidbare Gepäckstücke.
(e) Pro Schließfach höchstens zwei der unterscheidbaren Gepäckstücke.
(f) Pro Schließfach höchstens zwei der ununterscheidbaren Gepäckstücke.
20
Lösung: (a) GZ(20;5) = =
5
20!
= 15504
5!·15!
20+5−1 24
(b) GZ(20;5) = = =
5 5
24!
= 42504
5!·19!
110
=