SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

3.1 Urnenmodell - Ziehen mit und ohne Zurücklegen
Also gewinnt unser Spieler seinen Du“ in z = z1 +z2 = 124644 von
”
23
n = = 245157
7
Fällen, d.h. mit der Wahrscheinlichkeit p = z
n = 0,5084 = 50,84%.
3. n ununterscheidbare Würfel werden einmal geworfen. Wie groß muss n mindestens
sein, damit die Zahl der verschiedenen Ausgänge dieses Experiments größer als eine
Million ist?
6+n−1 n+5
Lösung: GZ(6,n) = =
n n
= (n+5)!
n!·5!
= (n+5)(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)
120
GZ(6,n) > 10 6 =⇒ (n+5)(n+4)(n+3)(n+2)(n+1) > 1,2·10 8
Das Produkt nähern wir durch (n+3) 5 an:
Probieren:
(n+3) 5 > 1,2·10 8 =⇒ n > 1,2·10 81
5 −3 = 38,3
38+5
= 962598,
5
39+5
= 1086008 =⇒ n ≧ 39
5
4. Aus einem Kartenspiel (52 Blatt) werden solange Kartenpaare gezogen und beiseite
gelegt, bis das Spiel aufgebraucht ist.
(a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass jedes gezogene Paar genau aus einer
roten und einer schwarzen Karte besteht?
(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei jedem gezogenen Paar die erste
Karte rot und die zweite Karte schwarz ist?
(c) Die erste gezogene Kartes eines jeden Paares wird auf Stapel 1, die zweite auf
Stapel 2 gelegt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird das Spiel so in einen roten
und in einen schwarzen Stapel getrennt?
Lösung: (a) Anfangslage: n rote und n schwarze Karten. Die Wahrscheinlichkeit für ein Pärchen
ist
pn = P({rs,sr}) = 1
2 ·
n 1
+
2n−1 2 ·
n n
=
2n−1 2n−1
Beim nächsten Versuch ist die Ausgangslage n − 1 rote und n − 1 schwarze Karten,
d.h. die Wahrscheinlichkeitfür ein zweites Pärchen ist
pn−1 =
n−1 n−1
=
2(n−1)−1 2n−3
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