SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

2.6 Kurvendiskussion
(c) Im Temperaturbereich von −25◦C bis 25◦C weicht ˜ f(T) von f(T) nur geringfügig ab.
Hier stellt also f(T) eine genügend gute Näherung dar.
Betrachtet man aber einen größeren Temperaturbereich, muss ˜ f(T) verwendet werden.
z. B. |f(50 ◦ C)− ˜ f(50 ◦ C)| = 0,204, |f(50◦C)− ˜ f(50 ◦C)| ˜f(50 ◦ = 33%
C)
Dem Diagramm entnimmt man, dass die Längenänderung ˜ f(T) eines 10m langen Stabes
im Temperaturbereich von −100◦C bis 100◦C ca. 1,0 µm
◦C beträgt. Dies entspricht
einer Längenausdehung um 0,00001% pro ◦C! Literatur: Mathematikaufgaben, Anwendungen aus der modernen Technik und Arbeitswelt,
Werner Schmidt, Ernst Klett Verlag, 1984
9. Eine Lemniskate ist die Menge aller Punkte P, für die für die Abstände zu zwei
gegebenen Punkten A(−c|0) und B(c|0) gilt: AP·BP = c 2
(a) Bestimmen sie eine Gleichung zur Beschreibung einer Lemniskate.
(b) Bestimmen sie die Nullstellen einer Lemiskate.
(c) Bestimmen sie die Punkte mit waagrechten Tangenten.
(d) Zeichnen sie die Lemniskaten für c = 1,2,3,4,5 mit einer geeigneten Software.
Lösung: (a) c 2 = ((x−c) 2 +y 2 )·((x+c) 2 +y 2 ) =⇒
y4 +y2 (2x2 +2c2 )+x 4 −2x2c2 = 0 =⇒
f(x) = ± −x2 −c2 + √ c4 +4x2c2 (b) x1 = 0, x 2/3 = ± √ 2c
(c) f ′ −x
(x) = ±
√ c4 +4x2c2 +2c2x
−x2 −c2 + √ c4 +4x2c2 · √ c4 +4x2 =⇒
c2 vier Punkte mit waagrechter Tangente:
√
3
x4/5 = ±
2 c, y4a/4b = y5a/5b = ± 1
2 c
(d)
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