SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

2.6 Kurvendiskussion
(a) Untersuchen Sie f auf Monotonie!
(b) Wie viele Terassenpunkte hat f und wie lauten deren Koordinaten?
(c) Zeichnen Sie den Graphen von f
i. im Intervall ]0; 1] (x = 1 =10cm und y = 20 =10cm)
ii. im Intervall ]0; 0,08] (x = 0,01 =1cm und y = 100 =10cm).
Für das Zeichnen der Graphen ist ein Computer natürlich sehr nützlich!
Lösung: Echt monoton fallend in ganz Df. f ′ (x) = − 1
· 1+cos
x2 1
x
1
Unendlich viele Terassenpunkte: T
(1+2k)π (1+2k)π
8. Zerodur ist eine Glaskeramik, die über einen weiten Temperaturbereich nur eine sehr
kleine Temperaturausdehnung aufweist. Aus diesem Grund findet es Anwendung als
Spiegelträger in der Lasertechnik und in Teleskopen.
Die Längenausdehnung f(T) (in µm
◦ C ) eines 10m langen Zerodurstabes in Abhängigkeit
von der Temeratur T in ◦ C lässt sich näherungsweise durch folgende Funktion
beschreiben:
f(T) = −0,6+1,63·
(a) Untersuchen Sie den Kurvenverlauf von f(T).
T
100 ◦C −2,91·
T
100 ◦ 2
T
−2,49·
C 100 ◦ 3 C
(b) Zeichnen Sie f(T) mit einer geeigneten Software im Bereich von −100 ◦ C bis
100 ◦ C.
(c) Eine exaktere Beschreibung der Längenausdehnung liefert:
˜f(T) = f(T)+
T
+2,74·
100 ◦C
T
−0,62·
100 ◦C 4
6
T
+1,43·
100 ◦C
T
−0,26·
100 ◦C Zeichnen Sie ˜ f(T) mit einer geeigneten Software und vergleichen Sie den Graphen
mit dem von f(T). Diskutieren Sie das Ergebnis.
Lösung: (a) Substitution: x = T
100 ◦ C ,
(b)
Maximum (0,22|−0,41), Minimum (−1,00|−2,65),
Wendepunkt (−0,39|−1,53)
105
5
7
−