SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

Lösung:
vii. f(x) = sin(2x)−3
2.6 Kurvendiskussion
(c) Überprüfen Sie Ihre Zeichnungen mit einer geeigneten Software.
6. (a) Welche Bedingung müssen die Variablen a,b und c erfüllen, damit der Graph
der Funktion f(x) = ax 4 + bx 2 + c (D = R) drei waagrechte Tangenten hat.
Zeichnen Sie mit einer geeigneten Software die Graphen von f(x) für a = c = 1
und verschiedene Werte für b.
(b) Wieviele waagrechte Tangenten hat der Graph der Funktion
f(x) = x 5 +bx 3 −x, b ∈ R, D = R?
Zeichnen Sie mit einer geeigneten Software die Graphen von f(x) für verschiedene
Werte für b.
(c) Wieviele waagrechte Tangenten hat der Graph der Funktion
f(x) = x5 +bx3 +x, b ∈ R und b2 > 20,
D = R? 9
Zeichnen Sie mit einer geeigneten Software die Graphen von f(x) für verschiedene
Werte für b.
Lösung: (a) f ′ (x) = 4ax3 +2bx = 2x·(2ax2
+b) = 0 ⇔ x1 = 0,x2/3 = ± − b
2a .
Also: drei waagrechte Tangenten, wenn a und b verschiedene Vorzeichen haben.
(b) f ′ (x) = 5x4 +3bx2 −1 = 5q2 +3bq −1 = 0
(Substitution: q = x2 )⇒
q1 = −3b+√9b2 +20 > 0. Da √ 9b2 +20 > |3b| ≥ 3b ⇒
10
1
x1 = 10 (−3b+√9b 2
1 +20), x2 = − 10 (−3b+√9b 2 +20)
q2 = −3b−√9b2 +20
10 < 0. Da √ 9b2 +20 > |3b| ≥ 3b.
Also: Der Graph von f(x) hat zwei waagrechte Tangenten.
(c) f ′ (x) = 5x4 +3bx2 +1 = 5q2 +3bq +1 = 0
(Substitution: q = x2 )⇒
q1 = −3b+√9b2−20 10 . Da √ 9b2 −20 < |3b| folgt: q1 > 0 für b < 0 und q1 < 0 für b > 0.
q2 = −3b−√9b2−20. Da √ 9b2 −20 < |3b| folgt: q2 > 0 für b < 0 und q2 < 0 für b > 0.
10
Also:
Der Graph von f(x) hat vier waagrechte Tangenten wenn b < −
Voraussetzung für b beachten).
Der Graph von f(x) hat keine waagrechte Tangenten wenn b > −
negativ; Voraussetzung für b beachten)).
7. Wir betrachten die Funktion
f(x) = 1 1
+sin
x x , Df =]0; 1]
104
√ 20
3 (q1 und q2 positiv;
√ 20
3 (q1 und q2