SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...

2.6 Kurvendiskussion
(b) Betrachten Sie nun die allgemeine Form der Funktion
i. Berechnen Sie I(10) in Abhängigkeit von R.
ii. Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion für ω gegen Null und gegen
Unendlich.
iii. Untersuchen Sie das Monotonieverhalten der Funktion.
iv. Zeichnen Sie die Funktion für R = 0,2.
v. Zeichnen Sie I(ω) mit einer geeigneten Software für R ∈ {0;0,1;0,2;...} und
beschreiben Sie die Veränderungen der Funktion.
vi. Für welche Frequenz ist I(ω) unabhängig von R?
Hinweis: Die diskutierte Funktion beschreibt den Anregungsstrom eines Parallelschwingkreises
mit L = 0,1 und C = 0,1. Die allgemeine Funktion heißt
1−2LCω 2
Iges =
R2 +ω2L2 +ω2C 2 .
Lösung: (a) i. I(ω) = | 1
0,1ω −0,1ω|, N(10|0)
ii. lim I(ω) = ∞; lim I(ω) = ∞
ω→0 ω→∞
iii. Bei ω = 10 nicht differenzierbar!
iv. Für ω < 10 streng monoton fallend und für ω > 10 streng monoton steigend.
(b) i. I(10) =
ii. lim
ω→0 I(ω) = 1
1− 1
1+R 2 = R
√ 1−R 2
R
; lim I(ω) = ∞
ω→∞
iii. waagrechte Tangente√ bei ω = 0;
Minimum bei ω = 10 1+2R 2 −R2 iv.
v. I(0) sinkt; I(Minimum) steigt
vi. ω = √ 50
3. Überlegen Sie, wie der Graph der Funktion f für verschiedene Werte der Parameter
a, b und c qualitativ verläuft und skizzieren Sie den Graphen.
Überprüfen Sie Ihre Überlegungen mit Hilfe einer geeigneten Software.
(a) i. f(x) = x 3 +ax mit a ∈ R +
ii. f(x) = x 3 +ax+b mit a,b ∈ R +
iii. f(x) = x 4 +ax 2 mit a ∈ R +
iv. f(x) = x 4 +ax 2 +b mit a,b ∈ R +
v. f(x) = x 5 +ax 3 +bx mit a,b ∈ R +
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