Aufgaben zu Kreisprozessen

Aufgaben Kreisprozesse
1. Ein ideales Gas durchläuft den im V(T)-
Diagramm dargestellten Kreisprozess. Es ist
bekannt:
3
V = V = 48 cm
V
T = T = 1200 K
p
p
2
4
1
3
1
3
= 16 cm
2
3
= 18MPa
= 45MPa
a) Geben Sie die fehlenden Zustandsgrößen p, V
und T für die Zustände (1), (2), (3) und (4) an.
b) Skizzieren Sie das zugehörige p(V)-Diagramm
und markieren Sie die Zustände (1) bis (4).
c) Begründen Sie, dass während der
Zustandsänderung von (1) nach (2) Wärme
zugeführt werden muss.
2. Ein einatomiges ideales Gas der Stoffmenge 1,4 mol durchläuft einen 4-stufigen
Kreisprozess aus isobaren und isochoren Zustandsänderungen. Zu Beginn hat das Gas sein
5
kleinstes Volumen mit 750 cm³ und seinen größten Druck mit 46,56 ⋅ 10 Pa . Die erste
Zustandsänderung ist eine isobare Expansion auf das doppelte Volumen. Es schließt sich
eine isochore Abkühlung auf die Ausgangstemperatur an.
a) Benennen Sie die fehlende Zustandsänderung.
b) Ermitteln Sie für alle vier Zustände Druck, Volumen und Temperatur und stellen Sie diese
in einer Tabelle dar.
c) Zeichnen Sie das p(V)-Diagramm des Kreisprozesses.
d) Berechnen Sie für jede Zustandsänderung die dabei verrichtete Volumenarbeit WV und die
zugeführte bzw. abgegebene Wärme Q.
Stellen Sie die Ergebnisse in einer Tabelle dar.
e) Zeichnen Sie in das p(V)-Diagramm die Isotherme für die Temperatur T1 ein. Geben Sie
dazu mindestens 4 Wertepaare an.
f) Durch die Isotherme ergeben sich zwei Kreisprozesse:
Prozess A: 1→2 →3 → 1
Prozess B: 1→3 →4 → 1
Vergleichen sie die Nutzarbeiten und berechnen Sie die Wirkungsgrade beider Prozesse.
Hinweis: Für einatomige Gase gilt:
5
isobare Zustandsänderung: Q = CP ⋅∆ T = ⋅n⋅R ⋅∆ T
2
3
isochore Zustandsänderung: Q = CP ⋅∆ T = ⋅n⋅R ⋅∆
T
2

Lösungen
1.
geg.:
Lösungen
:
V
V
T = T = 1200 K
p
p
2
4
1
3
1
= V
3
= 16 cm
2
= 48 cm
3
= 18MPa
= 45MPa
a) Die Zustandsänderungen
(1) -> (2) isotherm
(2) -> (3) isochor
(3) -> (4) isobar
(4) -> (1) isochor
* Punkt (1)
p = 45MPa
1
3
V = 16 cm
1
T1
= 1200 K
Punkt (2)
V
2
= 48 cm
3
3
ges.:
T2
= 1200 K
Der Druck im Punkt (2) muss berechnet werden.
p ⋅ V = p ⋅ V
1
p
p
1
2
2
2
p1
⋅ V1
=
V
2
2
45MPa
⋅16
cm
=
3
48 cm
p2
= 15MPa
* Punkt (3)
p = 18MPa
V
T
T
T
3
3
= 48 cm
p2
p3
=
T T
2
3
3
3
3
3
p3
⋅T2
=
p
2
18MPa
⋅1200
K
=
15MPa
= 1440 K
3

Antwort:
* Punkt (4)
Die Kurve verläuft vom Punkt (3) zum Punkt (4) auf einer Geraden, die durch
den Ursprung des Koordinatensystems geht. Die beiden Größen Volumen und
Temperatur sind zueinander proportional, der Proportionalitätsfaktor ist p und
damit für beide Punkte gleich groß.
p = 18MPa
4
3
V4
= 16 cm
Damit kann die Temperatur im Punkt (4) berechnet werden:
V3
V4
=
T T
T
T
T
3
4
4
4
4
V4
⋅T3
=
V
3
16MPa
⋅1440
K
=
3
48 cm
= 480K
b)
Die Kurve verläuft von Punkt (1) zum Punkt (2)
als Isotherme. Der Druck und das Volumen sind
zueinander umgekehrt proportional.
c) Vom Zustand (1) zum Zustand (2) bleibt die Temperatur konstant, das Volumen wird
größer und der Druck kleiner. Es muss die Volumenarbeit berechnet werden. Für den Fall,
dass die Temperatur konstant bleibt, gilt:
V2
W = −p
⋅ V ⋅ln
V
W = − 45MPa
⋅16
cm
W = − 45 ⋅10
1
6 N
2
m
−3
⋅16
⋅10
48 cm
⋅ln
16 cm
−6
m
−3
−3
−3
⋅ln
3
W = − 791Nm
Die Volumenarbeit ist negativ, das heißt, das System verrichtet nach außen Arbeit. Das
bedeutet aber, es muss nach dem 1. Hauptsatz der Wärmelehre dem System Wärme
zugeführt werden.

2.
a) Der Kreisprozess mit einer Skizze in einem
p(V)-Diagramm darzustellen. Dabei erkennt man
die fehlenden Zustandsänderungen.
1 -> 2 isobare Expansion
2 -> 3 isochore Abkühlung
3 -> 4 isobare Kompression
4 -> 1 isochore Erwärmung
b)
In der Tabelle werden die bekannten Größen für alle vier Zustände blau eingetragen.
Zustand p V T
1
5
46,56 ⋅ 10 Pa 750cm³ 300K
2
3
4
5
46,56 ⋅ 10 Pa 1500 cm³ 600K
5
23,28 ⋅ 10 Pa 1500 cm³ 300 K
5
23,28 ⋅ 10 Pa 750 cm³ 150 K
Nun werden die fehlenden Größen berechnet und grün eingetragen.
1. Temperatur für Zustand 1
Es gilt:
p⋅ V = n⋅R ⋅T
p1 ⋅V1
T1
=
n⋅R n ist die Stoffmenge in mol und R die universelle Gaskonstante.
5 −6
3
46,56 ⋅10 Pa⋅750 ⋅10
m
T1
=
−1 −1
1,4mol ⋅8,314J ⋅K ⋅mol
T = 300K
1
2. Temperatur für Zustand 2
Von 1 nach 2 findet eine isochore Expansion statt, der Druck bleibt konstant. Nach der
Zustandsgleichung für das ideale Gas ist bei konstantem Druck die Temperatur proportional
zum Volumen. Da das Volumen verdoppelt wird, steigt die Temperatur ebenfalls auf das
Doppelte, also 600 K.
3. Die Temperatur fällt auf die Ausgangstemperatur, also auf 300 K.
Da die Zustandänderung isochor verläuft, also bei konstantem Volumen, ist nach der
Zustandsgleichung der Druck proportional zur Temperatur. die Temperatur halbiert sich, also
auch der Druck.
4. Das Gas gelangt in den 4. Zustand durch eine isobare Kompression, der Druck bleibt
konstant, das Volumen sinkt auf die Hälfte. Volumen und Temperatur sind proportional
zueinander, also sinkt die Temperatur auf die Hälfte des Wertes vom Zustand 3, 150 K.
c)

p in 10^5 Pa
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
1
4
0
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600
V in cm³
d) Volumenarbeit wird nur bei den beiden isobaren Zustandsänderungen verrichtet, da dies
ja immer mit einer Volumenänderung verbunden ist.
1 -> 2
Volumenarbeit:
W = − p (V − V )
12 1 2 1
12
− −
( )
W = −46,56 ⋅10 Pa⋅ 1500⋅10 m −750 ⋅10
m
5 6 3 6 3
W12 = − 3,49kJ
Das System gibt diese Arbeit ab.
Wärme:
Die Wärme ist allgemein Q = m⋅c ⋅∆ T
Bei Gasen muss man aber die spezifische Wärmekapazität bei konstanten Druck cp und bei
konstantem Volumen cV unterscheiden.
Für die isobare Zustandsänderung gilt:
5
Q = ⋅n⋅R ⋅∆ T
2
5
Q12 = ⋅n⋅R ⋅( T2 −T1
)
2
5
−1 −1
Q12 = ⋅1,4mol ⋅8,314J ⋅K ⋅mol ⋅(600K −300K)
2
Q = 8,73kJ
12
2 -> 3
W = 0
23
Für die isochore Zustandsänderung gilt jetzt:
3
Q= ⋅n⋅R ⋅∆ T
2
3
Q23 = ⋅n⋅R ⋅( T3 −T2
)
2
Q = − 5,24kJ
23
Da das Gas bei konstantem Volumen zusammengepresst wird und die Temperatur sinkt,
muss Wärme abgegeben werden.
3
2

3 -> 4
W = 1,75kJ
34
Q = 4,36kJ
34
4 -> 1
W = 0
41
Q = 2,62kJ
41
Zusammenfassung
Vorgang Arbeit Wärme
1 -> 2 -3,49 kJ 8,73 kJ
2 -> 3 0 - 5,24 kJ
3 -> 4 1,75 kJ 4,36 kJ
4 -> 1 0 2,62 kJ
Gesamt - 1,74 kJ 5,23 kJ
In dem Prozess werden pro Durchlauf 1,74 kJ an Arbeit abgegeben. Dazu ist eine Wärme
von 5,23 kJ notwendig.
e) Die Isotherme verbindet im Diagramm die Zustände 1 und 3, denn da ist ja die
Temperatur gleich. Damit sind schon zwei Punkte für die gesuchte Kurve gegeben.
Für die geforderten zwei weiteren Punkte müssen Wertepaare Druck-Volumen berechnet
werden.
Bei einer isothermen Zustandsänderung gilt:
p ⋅ V = p ⋅ V
1 1 2 2
Der erste Quotient enthält z.B. die Werte für den Zustand 1. Nun gibt man sich einen Druck
im gewünschten Bereich vor und berechnet daraus das Volumen.
Der gewünschte Druckbereich liegt zwischen p1 und 0,5 p1. Damit sind möglich: 0,9 p1, 0,8
p1, 0,85 p1 ...
Ich wähle 0,8 p1 und 0,65 p1.
p ⋅ V = p ⋅ V
1 1 2 2
p1⋅ V1
V2
=
p
2
2
5 3
46,56 ⋅10 Pa⋅ 750cm
V2
=
5
0,8 ⋅46,56 ⋅10
Pa
3
750cm
V2
=
0,8
V =
937,5cm
3

p in 10^5 Pa
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
1
4
0
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600
V in cm³
f) Der Wirkungsgrad ist allgemein das Verhältnis aus der abgegebenen Arbeit und der
zugeführten Wärme.
Dabei muss beachtet werden, dass während des Kreisprozesses auch Arbeit in das System
gesteckt und Wärme wieder abgegeben werden kann. Es muss also sehr genau untersucht
werden, was bei den einzelnen Teilprozessen mit der Arbeit und der Wärme passiert.
Der erste Kreisprozess verläuft 1 -> 2 -> 3 -> 1.
1 -> 2: isobar (Druck konstant)
Die Arbeit und die Wärme wurde in Teilaufgabe d) berechnet:
und eingesetzt:
W = − 3,49kJ
12
Q = 8,73kJ
12
2 -> 3: isochor (Volumen konstant)
Die Arbeit ist Null und die Wärme kommt wieder aus d):
Q = − 5,24kJ
23
3 -> 1
Das ist eine isotherme Kompression, das Gas wird zusammengedrückt, wobei die
Temperatur gleich bleibt. Dafür muss aber Wärme abgegeben werden, die genau so groß ist
wie die Arbeit, die am System verrichtet wird. (1. Hauptsatz)
Es gilt:
3
2

31
V1
W = − pdV
V3
V1
n⋅R ⋅T1
W31 = − ∫ dV
V V3
W = − n⋅R ⋅T ⋅
V1
31 1
V3
1
W31 = − n⋅R ⋅T1 ⋅ln
V3
−1 −1
1
W31 1,4mol 8,314J K mol 300K ln
2V1
W = 2,42kJ
31
∫
∫
dV
V
V
= − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Dem Gas werden also bei diesem Prozess 2,42 kJ Energie zugeführt, die es als Wärme
wieder abgeben muss. Die abgegebene Wärme spielt beim Wirkungsgrad aber keine Rolle,
da sie nicht nutzbar ist.
Der Wirkungsgrad ist die Summe aller bei diesem Prozess verrichteten Arbeiten durch die
zugeführte Wärme:
Wges
η=
Qzu
Es wird nur im Teilprozess 1 -> 2 Wärme zugeführt. Also kann man schreiben:
W12 + W23 + W31
η=
Q
η=
η=
12
− 3,49kJ + 0 + 2,42kJ
8,73kJ
−1,07kJ
8,73kJ
η= 0,123
η= 12,3%
Der zweite Kreisprozess verläuft 1 -> 3 -> 4 -> 1.
1 -> 3
Das ist aus dem ersten Teil der Aufgabe der gleiche Betrag wie 3 -> 1, nur diesmal Arbeit
abgegeben wird:
W = − 2,42kJ
13
V
Damit die Temperatur konstant bleibt, muss der gleiche Betrag als Wärme zugeführt werden:
Q = 2,42kJ
13
3 -> 4
Die Arbeit wurde in Teil d) berechnet
W = 1,75kJ
34
Bei diesem Teil wird Wärme abgegeben, die nicht beachtet werden muss.

4 -> 1
In Teil d) wurde die Arbeit mit 0 berechnet. Es wird Wärme zugeführt, also
Q = 2,62kJ
41
Der Wirkungsgrad berechnet sich also mit:
W13 + W34
η =
Q + Q
η= 0,133
13 41
− 2,42kJ + 1,75kJ
η=
2,42kJ + 2,62kJ
η= 13,3%
Nutzarbeit: Der erste Prozess liefert 1,07 kJ, der zweite nur 0,67 kJ.
Wirkungsgrad: Der zweite Prozess hat einen größeren Wirkungsgrad.