3. Das Messergebnis

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GEM
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GEM
3. Das Messergebnis
Was ist ein Messergebnis ?
• Wiederholung der Messung
• Wahrer Wert ?
• Mehrere Einflussgrößen
• Fehlerbetrachtung
1

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GEM
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GEM
Messergebnis
Vorgehensweise für
Messergebnis
1. Bestimmung des „bekannten systematischen Fehlers“
2. Aufnahme der Messwerte
3. Bestimmung des Mittelwerts µ und der empirischen
Standardabweichung s
4. Korrektur des Mittelwerts um den bekannten systematischen
Fehler mit dem Ergebnis M als Schätzwert
für den wahren Wert
5. Berechung der Messunsicherheit u nach
Dabei ist t je nach gewünschter Sicherheit
und Zahl der Messwerte zu wählen
6. Angabe des Messergebnis als
M ± u
u t s
=
n
2

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GEM
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GEM
Anzahl
Messwerte
2
5
10
20
50
100
>200
Vertrauensbereich
t für
68,26 %
1,84
1,14
1,06
1,03
1,01
1,01
1
90 %
6,31
2,13
1,83
1,73
1,68
1,66
1,65
95 %
12,71
2,78
2,26
2,09
2,01
1,98
1,96
99,5 %
127,32
5,6
3,69
3,17
2,94
2,87
2,81
gut: Studentfaktor t=2, Vertrauensgrenzen (1-a) = 95%
Fehlerfortpflanzung
für systematische Fehler
Die Fehler der einzelnen Einflussgrößen wirken sich
über die partiellen Ableitungen auf den Gesamtfehler aus:
n
∂f
∂f
∂f
∆y= ∆x1+ ... + ∆xn= ∑ ∆x
∂x
∂x
∂x
1
Dabei ist angenommen, dass die Fehler ∆x i so klein sind,
dass sich höhere Glieder der Taylorreihe nicht auswirken.
n
i=
1
i
i
3

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GEM
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GEM
Fehlerfortpflanzung für
zufällige Fehler
Entwicklung in Taylorreihe:
y
n
2 ∑ x j
i=
1
2
x j
s = G ⋅s
G
x
j
∂Gx
( )
=
∂x
Gewichteter Mittelwert der Einzelvarianzen
j
Dieser Zusammenhang wird auch als
Gaussches Fehlerfortpflanzungsgesetz
bezeichnet
Erläuterungen zur
Fehlerfortpflanzung
x
4

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GEM
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GEM
Vorlesung
Früher: Allgemeine Messtechnik
Nun: Qualitätsmanagement
Anwendung der Statistik in der Messtechnik
•Vorhersage von Zuverlässigkeit
•Folgerungen aus Messergebnissen ziehen
Statistische Versuchsplanung und Optimierung
•Verfahren der industriellen Optimierung
•Minimaler Aufwand und Einsatz von Personal
Qualitätsmanagement und -kontrolle
•ISO 9000
•Statistische Verfahren zur Kontrolle von Prozessen
Aufnahme von Messkurven
• Abhängigkeit einer Ausgangsgröße von einer
Eingangsgröße
• Ermittlung eines funktionalen Zusammenhangs
• Nährung durch
1)Interpolation (Stützstellen getroffen)
2) Verfahren der kleinsten Abstandsquadrate
n
2
∑( f( xi) −yi) ⇒min
i=
1
Approximation durch Polynom (< 3. Grades !)
Residuen normalverteilt
(Spline-Funktionen)
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GEM
Ausgleichsrechnung
Regression
Der einfachste Ansatz ist die lineare Regression:
y′ = a + ax + a x + + a x
0 1 1 2 2 ...
Es sollen alle quadratischen Abweichung von der
Ausgleichsgeraden minimal sein:
Das ist erfüllt für y′ = a + ax mit
m
n n
2
F = ∑( y − y′
) → min.
µ = 1
µ µ
0 1 1
a y ax und
0 = − a1
=
1 1
∑
m
µ = 1
1µ
µ
m
2 ∑ ( x1−x) µ = 1 µ
( x −x)( y −y)
Regressionskonstante Regressionskoeffizient
6

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GEM
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GEM
Erläuterungen zur Regression
Kalibrieren
Zum Kalibrieren wird das Messgerät mit einem Gebrauchsnormal
verglichen. Dabei stellt man die Abweichungen des
Ausgangs des Messgeräts von genau vorgegebenen
Eingangssignalen fest.
Die Abweichungen werden in Form einer Kennlinie
(Approximation)festgehalten.
Korrektur durch
1) Messwert korrigieren
2) Fehlertabelle oder Korrekturfunktion ins Gerät einbauen
3) Justierung: Einstellung des Messgeräts auf minimalen
Fehler
Eichen darf nur das Eichamt !
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GEM
Ermittlung der Kennlinie
• Spezielle Messkurve:
Zusammenhang Messgröße - Anzeigegröße
•Aufnahme: Änderung der Messgröße mit Hilfe eines
Gebrauchsnormals in diskreten Schritten und
Aufnehmen der Ausgangswerte.
•Physikalisches Modell des Sensors:
freie Parameter geben Mindestzahl der erforderlichen
Stützstellen.
Mit Hilfe verschiedener Verfahren werden daraus die
Zwischenwerte ermittelt. Die Interpolationsverfahren sollen
mit minimaler Abweichung die wahre Kennlinie
rekonstruieren.
Kennlinie
• Empfindlichkeit E = dx a / dx e
• Lebender / Unterdrückter Nullpunkt
• Ersatz durch Tangente (Taylorreihe)
x a = f(x e )
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GEM
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GEM
x a
Lebender Nullpunkt
lebender
Nullpunkt
unterdrückter
Nullpunkt
lebender Nullpunkt:
Messbereitschaft und
Kabelfehler erkennbar
unterdrückter Nullpunk
größere Empfindlichkeit,
da Skalenspreizung
Mathematische
Kennlinienbeschreibung
Interpolation
Polynome (oft stückweise linear = Polygonzug)
Sehr gut bei nahezu linearen Kennlinien
Abweichung von Normkennlinie
Polynom 2. Ordnung, auch bei nicht-linearen
Kennlinien. Entweder f(T) - f N (T) (d.h. Abw. von
Messgröße) oder f(T A ) - f N (T A ) (d.h. Abw. vom
Anzeigewert)
Splines (oft kubische Splines)
Unsicherheit an Kalibrierpunkten
Dazwischen: Fehlerfortpflanzung berechenbar
(Bei Splines nicht)
Approximation
least-square-fit
weniger Parameter (m) als Stützstellen (N)
mindestens N ≥ m + 2, gut N ≥ m + 5
x e
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GEM
Approximation
Wie erhalte ich zu den gegebenen Messwerte einer
Kennlinie eine Funktion, die durch alle diese Punkte geht ?
Numerische Verfahren zur Approximation und Interpolation
finden Sie im Bronstein im Kapitel nur Numerischen
Mathematik
Beispiel: Lagrange-Polynome
n
∑
i=
0
gx ( ) = yL( x)
i
i
L( x)=
i
n
∏
j=
0
j≠i x−x x − x
j
i j
Das Polynom hat bei n Messwerten den Grad n-1 !
Erläuterungen zur Kennlinie
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Zusammenfassung
Messergebnis
Vertrauensbereich
Fehlerfortpflanzung
Ausgleichsrechnung = Regression
Kennlinie
Nächste Vorlesung: Zeitabhängige Größen
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