4.3 Ersatzschaltbild, Leistungsbilanz und Drehmoment

4.3 ASM: Ersatzschaltbild, Leistungsbilanz und Drehmoment Seite 1 

Ersatzschaltbild 

In der einschlägigen Literatur finden sich zwar Spannungsgleichungen 

und Ersatzschemas, aber nirgends eine eindeutige mathematische 

Ableitung. Bei der Berechnung der verschiedenen Reaktanzen, 

insbesondere der Streureaktanz infolge der Schrägung, treten 

daher begriffliche Schwierigkeiten und Zweifel auf. Auch das Übersetzungsverhältnis 

(komplex, reell, natürlich, mit Streuung, ohne 

Streuung, usw.) führt oft zu Missverständnissen. 

Im Folgenden wird ein Ersatzschema abgeleitet und die zugehörigen 

Maschinenkonstanten klar definiert. 

Die in Kapitel 4.2 hergeleiteten Spannungsgleichungen (4.2-20) 

lassen sich mit (4.2-25) und (4.2-32) anschreiben als 

U = R I + jω L ( 1+ 

σ ) + L + L I + jωM I 

L 

= + M 

F + + + HG NM 

1 1 δ1 

d1 N1 S1 1 2, 1 R 

π 

0 R2I jsω Lδ 2( 1 σ 2) 2L 2 L 2 2sin 

p 

Z 

R d R N R 

2 

I + jsωM I 

Fachhochschule Düsseldorf FB Elektrotechnik Prof. Dr. R. Gottkehaskamp 

4.3 ASM ESB P M.doc,21.02.00 12:27 

I 

KJ 

2 

O 

P 

QP 

1, 2 1 

Unter Einführung der Gesamtstreuung 

L = L + L + L , (4.3-1) 

σ1 δ1σ d1 N1 S1 

Lσ 2 

ergibt sich 

Lδ 2σ d 2 LN 2 

π 

2sin p + 2LR 

2 

(4.3-2) 

Z2KJ 

U = R1I 1 + jω[ Lδ 1 + Lσ 1] I1 + jωM2, 1I 

R, 


= R I + jsω[ L + L ] I + jsωM , I . (4.3-4) 

= + F H G 

0 2 R δ 2 σ 2 R 

1 2 1 

I 

Die Statorgleichung (4.3-3) wird leicht umgestellt sowie jωLδ 1 

addiert und wieder subtrahiert: 

ηI 

U = ( R + jωL ) I + jωL I − jωL p 

ηI + jωL p 

ηI + jωM I 

also 

R j L I j L I j L I M 

p 

p 

2, 1 

= ( 1 + ω σ1) 1 + ω δ1( 1− 

) 1 + 1 1 + I p R 

 

η ω δ η 

Lδ 

1 η 

σ 

 

Schr 

2 

I μ 

2 

1 σ1 1 δ1 1 δ1 1 δ1 

1 2 1 

Schr 

p 

U = ( R1 + jωL 1) I1 + jωL 1 I1 + j L 1 I 

2 

σ 

ω η 

σ δ δ μ . (4.3-5) 

F 

HG 

, 

I 

KJ 

R 

, 

p 

. 

1


Die Rotorgleichung (4.3-4) wird entsprechend mit jsωL ηI 

weitert: 

0 = ( R2 + js L 2) I F L 2 

+ js L 2( 1− 

) I + js L 1 

L 

1, 2 

+ I 

ω σ R 

p 

p δ 

ω δ η R ω δ η R 

M 

I p 

L η 

p 

δ η 

Multipliziert mit L 1 

sM 

0 

ergibt sich schließlich: 

2 L 1 

M1, 

2 

1, 2 

1 js L 2 

1, 2 

2 

1 

1, 2 

L 

p 

δ η 

p 

δ η 

ω σ IR sM 

p 

Lδ 

jωLδ M 

R 

η σ Schr = ( + ) + IR 

+ 

s 

2 

In der Statorgleichung (4.3-5) war 

Hierin ist 

p 

M 

2, 1 

ηL 

δ1 

π 

p Z2 sin p 

Z2 kw 

2 Z2 

1 

= = ≡ . 

p 

p 

mw k mw k ü 

w1 

w1 

δ 1 δ 1 

p 

δ 2 R er- 



p 

δ1 

F 

HG 

HG 

L 

+ jωL η I + 

M 

= + . 

2,1 

Iμ I1 I p R 

ηLδ1 

1 

η 

2 

M1, 2 

I 

p 

δ 

R 

I 

KJ 

1 

I 

KJ 

. 


Die Rotorgleichung (4.3-6) enthält in der letzten Klammer den Term 

π 

p 

p Z2 sin p 

ηLδ 

2 Z2 kw 

2 Z2 

1 

= = ≡ 

p 

p 

M1, 

2 mw kw1 

mw kw1 ü 

also den gleichen Wert, der mit 1 ü bezeichnet wird. 

Die Größe 

ü 

p 

wm k 

= 

Z k 

w1 

p 

2 w 2 


wird Übersetzungsfaktor zwischen Stator (Primärteil) und Rotor 

(Sekundärteil) genannt. 

Die Rotorgleichung (4.3-6) kann noch umgestellt werden:


F 

HG 

I 

p 

0 = 

R2 

L 1 

1 2 

2 

+ j L 2 

+ 1 

+ 1 

s L 2 

2KJ 

1 2 

2 1 2 

1 

1 

L 

δ 

δ Lδ 

η σ Schr Lδ 

η 

p 

ω σ IR jωLδ IR jωLδ ηI 

δ Lδ 

M , M , 

 

ü 

Hierin vereinfacht sich noch 

ü 

L 

L 

δ1 

δ 2 

p 

mw k Z m w k Z 

Z k m Z k m ü 

2 2 

2 2 2 

w1 

2 

w1 

2 2 

= = = . 

p 2 

2 p 2 

2 w 2 

2 

p 

w 2 

Es ergibt sich damit als System für die Spannungsgleichungen: 

U R j L I j L I j L I 

R Z 

Z 

ü j L 

s m m ü 

Schr 

p 

= ( 1 + ω 1) 1 + ω 1 1 + 1 

2 

F 2 2 2 

2 2 IR 

Schr IR 

p 

0 = + 2 

j L 1 j L 1 I 

ü 2 ü 

σ 

ω η 

ω ω σ 

σ δ δ μ 


σ δ ω δ η μ 

HG I K J + + 

Zur abkürzenden Schreibweise werden nun noch folgende Größen 

eingeführt: 

Streureaktanz des Stators: 

Schr 

X ωL ωL σ 

= + , (4.3-9) 

1σ σ 1 δ1 

2 

Hauptreaktanz: 

p 

X h = ωLδ1 η , (4.3-10) 

Ersatzstreureaktanz des Rotors: 

X L Z 

m ü L 2 2 

Schr 

2σ ω σ 2 ω δ1 

2 

σ 

/ 

= + , (4.3-11) 

Ersatzwiderstand des Rotors: 

R R Z 

m ü 

/ 2 2 

2 = 2 , (4.3-12) 

Ersatzstrom des Rotors: 

/ IR 

I 2 = . (4.3-13) 

ü 

Mit Gleichung (4.3-13) berechnet sich der Magnetisierungsstrom zu 

/ 

I μ = I1 + I 2 . (4.3-14) 

Das Gleichungssystem (4.3-8) vereinfacht sich damit zu 



p 

μ 

.


/ 

U = R1I 1 + jX1σ I1 + jX h( 

I1 + I 2) 

/ 

R 

. (4.3-15) 

2 / / / / 

0 = I 2 + jX 2σ I 2 + jXh ( I1 + I 2) 

s 

/ 

Trennt man die Größe R2 s nach 

/ 

R2 

/ 

= R2 s 

/ 1− 

s 

+ R2 

s 

so ergibt sich eindeutig folgende Ersatzschaltung (ESB): 

Bild 4.3-1: Ersatzschaltbild einer Asynchronmaschine ohne Berücksichtigung 

der Eisenverluste 

Die Auflösung des Gleichungssystems (4.3-15) ergibt für den Statorstrom 

/ 

R2 

/ 

+ j( X h + X 2σ 

) 

I U 

s 

1 = 


/ F R2 

/ I 2 

( R1 + j( X h + X1σ 

)) + j( X h + X 2σ 

) + X h 

HG s KJ 

und für den Rotorersatzstrom 

/ 

jX h 

I 2 = U 

/ F R2 

/ I 

( R1 + j( X + X1σ 

)) + j( X + X2σ ) + X 

HG s KJ 

h h 

2 

h 



4.3 ASM ESB P M.doc,21.02.00 12:27


Schleifringläufer 

Für den Schleifringläufermotor lässt 

sich in ähnlicher Weise das gleiche 

Ersatzschaltbild herleiten. Sein Betriebsverhalten 

ist also prinzipiell 

gleich dem Käfigläufermotor. 

Der Rotor trägt eine verteilte m2 - 

strängige Drehstromwicklung, welche 

vom Aufbau her identisch mit der 

Wicklung des Stators ist. Der Widerstand 

und die Induktivitäten können 

also mit den in Kapitel 2.9 und 4.2 für 

den Stator angegebenen Formeln berechnet 

werden. 

Die Stränge des Rotors werden entweder 

direkt kurzgeschlossen oder 

zur Erhöhung des Rotorwiderstandes 

über Schleifringe an externe Widerstände 

angeschlossen. 

Die Maschenzahl 2 Z des Käfigs geht über in die Strangzahl m 2 des 

Schleifringläufers. 

Der Herleitung des Übersetzungsfaktors ü lag eine "Rotorwicklung" 

zugrunde mit 2 2 Z m = Strängen und 2 1 = w Windungen, so dass 

man einen allgemeinen Übersetzungsfaktor einführen kann: 

ü 

w m k 

w m k 

1 1 w1 

= 

2 2 w 2 

, (4.3-18) 

worin "1" der Index für Statorgrößen und "2" der Index der Rotorgrößen 

ist. 

Der angegebene Formelsatz für Käfigläufer lässt sich also leicht auf 

Schleifringläufer übertragen, womit nun beide Maschinentypen berechenbar 

sind! 




Eisenverluste 

Die bisher nicht berücksichtigten Eisenverluste in den Blechen der 

Maschine (vornehmlich im Stator) können näherungsweise wie folgt 

berücksichtigt werden: 

Die Hauptreaktanz X h repräsentiert den Hauptfluss der Maschine, 

der Spannungsabfall U q (induzierte Spannung) ist damit proportional 

dem Hauptfluss, die Eisenverluste sind dem Quadrat des 

Hauptflusses proportional. 

Die Eisenverluste können damit durch einen Ohmschen Widerstand 

repräsentiert werden, der parallel zur Hauptreaktanz geschaltet ist. 

Bild 4.3-3: Ersatzschaltbild einer Asynchronmaschine mit Berücksichtigung 

der Eisenverluste 

Die Größe von R Fe lässt sich aus Messungen oder näherungsweise 

aus dem magnetischen Kreis bestimmen, meist werden Erfahrungswerte 

angesetzt. 




Zeigerdiagramm 

Mit Berücksichtigung der Eisenverluste ergibt sich das vollständige 

Zeigerbild der Asynchronmaschine: 

Bild 4.3-4: Vollständiges Zeigerdiagramm einer Asynchronmaschine 




Heylandkreis 

Die Abhängigkeit des Statorstroms vom Schlupf bei konstanter 

Klemmenspannung erhält man entweder aus 

• (4.2-22) mit den realen Widerständen und Impedanzen oder 

• (4.3-16) mit den Elementen der Ersatzschaltung. 

Beide Gleichungen führen auf eine identische Ortskurve des Statorstoms 

I 1( s) 

, welche nach der Theorie der Ortskurven einen Kreis 

beschreiben muss. 

Zur Darstellung der Ortskurve müssen drei Punkte des Kreises bekannt 

sein. Dies soll im Folgenden für die markanten Punkte mit 

den Schlupfen s = 0, 

s = 1 und s = ∞ erfolgen (Eisenverluste vernachlässigt). 

Leerlauf: 

Im Leerlauf wird der ohmsche Läuferwiderstand im ESB unendlich 

groß. Für den Statorstrom ergibt sich: 

0 2 

2 

1 ( 1 h ) X X R 

U 

X1σ + X h 

I = 

mit ϕ 0 = arctan . (4.3-19) 

+ σ + 

R1 

Stillstand: 

Im Stillstand oder Kurzschluß (Index k) ist die Hauptimpedanz sehr 

viel größer als die Streureaktanzen und die ohmschen Widerstände: 

' 2 

' 2 

( 1 2 ) ( 1σ 

2σ 

) X X R R 

' 

U 

X1σ 

+ X 2σ 

Ik = , ϕ k = arctan (4.3-20) 

' 

+ + + 

R1 

+ R2 

s = ∞: 

Gegenüber dem Stillstand verschwindet der ohmsche Widerstand 

des Rotors: 

2 

' 2 

1 ( 1σ 

2σ 

) X X R 

' 

U 

X1σ + X 2σ 

I∞ 

= 

, ϕ ∞ = arctan 


+ + 

R1 




Bild 4.3-5: Ortskurve des Statorstroms einer Asynchronmaschine 

Das Kreisdiagramm wurde um die Jahrhundertwende von Heyland 

und Osanna entwickelt und trägt daher Bezeichnung Heylandkreis 

oder Osannakreis. Seine Bestimmung kann näherungsweise aus 

dem Leerlauf- und Kurzschlussversuch erfolgen. 




Leistungsbilanz und Drehmoment 

Wesentlich vereinfachte Formeln für die Leistungsbilanz und das 

Drehmoment ergeben sich, wenn der Eisenverlustwiderstand parallel 

zu den Eingangsklemmen geschaltet wird: 

Bild 4.3-6: Vereinfachtes Ersatzschaltbild einer Asynchronmaschine 

mit Berücksichtigung der Eisenverluste 

Die Eisenverluste werden damit unabhängig von der Belastung. Es 

ist üblich, R Fe aus dem Versuch an der leerlaufenden Maschine zu 

bestimmen. 

Bild 4.3-7: Zum vereinfachten Ersatzschaltbild 4.3-5 gehöriger Wirkleistungsfluss 

einer Asynchronmaschine 




Die Eingangsleistung 

* 

1 

P = mRe{ 

UI 

} 


1 

wird vom Netz in die Maschine eingespeist. Diese Eingangsleistung 

muss die gesamten Verluste und die an der Welle abgegebene mechanische 

Leistung decken. 

In der Statorwicklung entstehen Kupferverluste 

PCu = mR I 


1 

2 

1 1 

und in den Blechen des Stators Eisenverluste P Fe. 

Eisenverluste im 

Rotor werden wegen der geringen Frequenz des Grundstromes im 

Nennbetrieb meist vernachlässigt. Die Entstehung der Eisenverluste 

ist in Kapitel 1.2 erläutert. Aus dem vereinfachten Ersatzschaltbild 

4.3-6 ergibt sich 

P m U 

2 

Fe = 


R 

Fe 

Die vom Stator zum Rotor übertragene Leistung wird als Luftspaltleistung 

P L oder Drehfeldleistung bezeichnet: 

P − P 

L = P1 

− PCu1 

Fe 


Diese auf die Sekundärseite der Ersatzschaltung übertragene Luft- 

/ 

spaltleistung wird im Widerstand R2 s umgesetzt: 

P mI R 

L 

s 

= / 

/2 2 

2 


worin die Stromwärmeverluste der Läuferwicklung mit 

/2 / 

2 

P = mI R = Z R I = P s 

Cu 2 2 2 2 2 R L 


enthalten sind. 

Für die Summe aus mechanischer Wellenleistung P2 und den Verluste 

durch Lagerreibung und Ventilation P R bleibt schließlich 

P + P = P − P = P ( − s). 


2 R L Cu2 L 1 




In real ausgeführten Maschinen kommt es noch zu sogenannten 

Zusatzverlusten, die z.B. durch Oberströme, Rotorquerströme 

zwischen den nicht isolierten Stäben im Eisen, schlecht gestanzte 

und bearbeitet Bleche, fehlerhafte Isolation zwischen den Blechen, 

etc. entstehen. Diese Zusatzverluste liegen bei "guten" Maschinen 

zwischen 0.5% und 1.5% der Gesamtverluste, können aber auch 

Größenordnungen von bis zu 5% erreichen. 

Das asynchrone Drehmoment ergibt sich aus der Division der mechanischen 

Leistung durch die mechanische Winkelgeschwindigkeit: 

P2 PL ( 1− 

s) 

PR 

Ma 

= = − = Mi − MR 


ω ω mech 

ω 

( 1− 

s) 

mech 

p 

Das vom Luftspaltfeld erzeugte innere Moment M i der ASM kann 

schließlich über die wichtige Beziehung 

M 

p p 

P 

s P 

= = 

ω ω 

i L Cu2 


berechnet werden. Das Drehmoment ist also proportional der 

Drehfeldleistung oder bei konstantem Schlupf proportional den 

Kupferverlusten! 

Drehmomentenkennlinie 

Wird in die Gleichung (4.3-30) für das Drehmoment der Maschine 

die Gleichung (4.3-27) für die Kupferverluste und hierin wiederum 

die Gleichung (4.3-17) für den Rotorstrom eingesetzt, so erhält man 

das von der Maschine erzeugte Drehmoment als Funktion der 

Klemmenspannung, Induktivitäten, Widerstände und des Schlupfes. 

Den Maximalwert des Momentenkennlinie wird Kippmoment MK genannt. Durch Nullsetzen der Ableitung der Gleichung nach dem 

Schlupf erhält man (R1 ≈ 0 ) 

2 

mU 

MK 

= 

2 X1 + X 2 

p ω 


/ 

( σ σ ) 




Der zugehörige Kippschlupf ergibt sich zu 

sK 

= 

X 

/ 

R2 

/ 

+ X 


1σ 2σ 

Für den Verlauf des Moments als Funktion des Schlupfes kann die 

als Kloßsche Gleichung bekannte Beziehung angegeben werden: 

M 2 

= . (4.3-33) 

M s s 

K 

K + 

s s 

K 

In den Gleichungen (4.3-31) bis (4.3-33) wurde der ohmsche Widerstand 

des Stators vernachlässigt, was bei Maschinen oberhalb 

einiger kW durchaus zulässig ist Wegen der Stromverdrängung 

(Kapitel 4.4) und der Oberwellendrehmomente (Kapitel 4.5) liefert 

die Kloßsche Gleichung nur oberhalb der Kippdrehzahl korrekte Ergebnisse. 

Das Kippmoment ist proportional dem Quadrat der Klemmenspannung 

und umgekehrt proportional der Gesamtstreuung 

der Maschine. 

Das Kippmoment ist unabhängig vom Rotorwiderstand. 

Der Kippschlupf ist proportional dem ohmschen Rotorwiderstand. 

Bild 4.3-8: Einfluss der Gesamtstreuung und des Rotorwiderstandes 

auf die n( M)-Kennlinie 




Übung: Berechnung der Komponenten des ESB 

Für den Motor aus der Übungsaufgabe "Berechnung einer ASM" 

(Kapitel 4.2) sind die Komponeneten des ESB zu berechnen: 

1. Ständerwiderstand 

2. Streureaktanz des Ständers 

3. Hauptreaktanz 

4. Ersatzstreureaktanz des Rotors 

5. Ersatzwiderstand des Käfigs 

Der Ständerstom, der Käfigersatzstrom, der Magnetisierungsstrom, 

die aufgenommene Leistung, die Kupferverluste im Ständer und 

Läufer, das innere Moment, die abgegebene mechanische Leistung 

(Reibung vernachlässigen), der Leistungsfaktor und der Wirkungsgrad 

sind für die Betriebspunkte: 

6. Stillstand (Kurzschluss) 

7. Leerlauf 

8. Bemessungsbetrieb 

anzugeben. 




Übung: Schleifringläufer 

Gegeben ist ein 4-polige Asynchronmaschine mit Schleifringläufer 

mit den Bemessungsdaten: 

Leistung: P N = 110kW 

Drehzahl: nN = 1475min 

Kippmoment: MK MN 

= 4 

Spannung: UN = 400 V 

Frequenz: fN = 50Hz 

Strom: I1N = 200 A 

Leistungsfaktor: cos ϕ N = 0, 9 

Stator in Sternschaltung 

Ausgangspunkt der Berechnungen sei das vereinfachte Ersatzschaltbild 

nach Kapitel 4.3 der Vorlesung 

a) Wie groß ist die synchrone Drehzahl n0 ? Berechnen Sie den 

Schlupf sN , das Drehmoment MN , und den Wirkungsgrad ηN bei 

Bemessungsbetrieb des Motors. Wie groß ist das Kippmoment 

MK ? 

b) Berechnen Sie den Kippschlupf sK bei Betrieb des Motors mit 

kurzgeschlossenen Schleifringen. Geben Sie die Werte für den 

/ 

Ersatzwiderstand R2 der Rotorwicklung und die Gesamtstreuung 

/ 

X = X + X an. 

σ 1σ 2σ 

/ 

c) Wie groß sind der Anlaufstrom I2A und das Anlaufmoment MA in 

der Läuferwicklung bei kurzgeschlossenen Schleifringen? 

d) Berechnen Sie die Werte des Drehmoments M = f ( s) 

für die 

Punkte s = 0, 8; 0, 5; 0, 3; 0, 2; sK; 0, 05; 

sN 

. Zeichnen Sie die Kennlinie 

M = f ( s) 

. 

Das Anlaufmoment soll auf das 1,5-fache des Bemessungsmoments 

erhöht werden. 

e) Geben Sie die Größe des dafür notwendigen Anlaufwiderstandes 

an. 

f) Berechnen Sie die Werte des Drehmoments M = f ( s) 

wie unter 

Punkt d) und tragen Sie die Kennlinie in das Diagramm ein. 



−1


Drehmoment 

3000 

2500 

2000 

1500 

1000 

500 

Zu Übung "Schleifringläufer" 

0 

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 

Schlupf

4.3 Ersatzschaltbild, Leistungsbilanz und Drehmoment

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