4. Reglerentwurf mit dem Frequenzkennlinienverfahren
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Kapitel 5<br />
<strong>Reglerentwurf</strong> <strong>mit</strong> <strong>dem</strong><br />
<strong>Frequenzkennlinienverfahren</strong><br />
5.1 Synthese von Regelkreisen<br />
Für viele Anwendungen genügt es, StandardRegler einzusetzen und deren Parameter nach<br />
Einstellregeln zu bestimmen. Die Feineinstellung kann dann im Betrieb vorgenommen werden.<br />
Falls jedoch ein mathematisches Modell der Regelstrecke in Form eines Differentialgleichungssystems<br />
oder einer Übertragungsfunktion bekannt ist, können Reglerstruktur und Reglerparameter<br />
so festgelegt werden, daß der Regelkreis ein gewünschtes Verhalten aufweist.<br />
Beispiel:<br />
Für den Lageregelkreis nach Abbildung 5.1 soll ein geeigneter Regler entwickelt werden.<br />
+10V<br />
-10V<br />
Regler<br />
Leistungsverstärker<br />
U A<br />
M<br />
M A<br />
Abbildung 5.1: Lageregelkreis<br />
L<br />
Maschinentisch<br />
x<br />
K R , J L<br />
-10V<br />
Spindel<br />
Die Regelstrecke des Lageregelkreises besteht aus <strong>dem</strong> Antrieb (PT1Glied) und <strong>dem</strong> Arbeitstisch<br />
<strong>mit</strong> der Antriebsspindel (IGlied) der Werkzeugmaschine. Wird außer<strong>dem</strong> noch das<br />
Zeitverhalten des Leistungsverstärkers durch ein PT1Glied berücksichtigt, dann erhält man<br />
+10V<br />
96
5.2 Anforderungen an den Frequenzgang desRegelkreises 97<br />
folgende Übertragungsfunktion dritter Ordnung:<br />
G s<br />
k1<br />
1 T1s<br />
k2<br />
1 T2s<br />
k3<br />
s<br />
(5.1)<br />
Für den <strong>Reglerentwurf</strong> muß zunächst genauer angegeben werden, was unter einem „guten”<br />
Regelkreisverhalten zu verstehen ist. Da das mathematische Modell als Übertragungssfunktion<br />
gegeben ist und die Frequenzlinien für den Entwurf benutzt werden sollen, müssen dafür<br />
Bedingungen im Frequenzbereich formuliert werden.<br />
5.2 Anforderungen an den Frequenzgang des Regelkreises<br />
Generell gilt: ein Regelkreis soll der Führungsgröße unabhängig von äußeren Störungen und<br />
von Parameterschwankungen möglichst genau folgen also ein gutes Führungsverhalten aufweisen.<br />
Bei linearen Regelkreisen kann der EinÀuß von Störungen unabhängig vom EinÀuß der Führungsgröße<br />
untersucht werden. Die Gesamtwirkung ergibt sich dann durch Überlagerung der<br />
beiden Einzelwirkungen.<br />
Durch Verschieben von Systemblöcken ist es bei einschlei¿gen Regelkreisen stets möglich,<br />
den Regelkreis in die StandardRegelkreisStruktur umzuformen (vgl. Abbildung 5.2).<br />
W( s)<br />
E( s)<br />
+<br />
-<br />
Y( s)<br />
+ X( s)<br />
GR ( s)<br />
GP ( s)<br />
+<br />
Regler Strecke<br />
D(s<br />
)<br />
Abbildung 5.2: StandardRegelkreisStruktur<br />
Die Störung (disturbance) D s soll additiv am Ausgang der Regelstrecke angreifen. Bei einem<br />
anderen Angriffspunkt z. B. dann, wenn die Störung additiv am Eingang der Regelstrecke<br />
angreift, kann man die Summationsstelle an den Streckenausgang verschieben, muß<br />
aber dann die Störung vor der Addition durch den entsprechenden Systemblock (also z. B. die<br />
Regelstrecke) schicken.<br />
Maßgebend für das Führungsverhalten ist die Führungsübertragungsfunktion<br />
T s<br />
X s<br />
W s<br />
(5.2)
5.2 Anforderungen an den Frequenzgang desRegelkreises 98<br />
Da die Regelgröße x t möglichst gut <strong>mit</strong> der Ausgangsgröße * t (und daher auch X s<br />
möglichst gut <strong>mit</strong> W s ) übereinstimmen soll, wäre die Führungsübertragungsfunktion<br />
T s 1 (5.3)<br />
ideal. Eine solche Übertragungsfunktion kann im allgemeinen nicht realisiert werden, da dann<br />
das Stellglied in einigen Fällen eine unendlich große Leistung abgeben müßte.<br />
Man beschränkt sich daher auf die Forderung, daß T j in einem möglichst großen Frequenzbereich<br />
näherungsweise 1 wird. Dazu muß die Kreisübertragungsfunktion<br />
durch geeignete Wahl von G R s angepaßt werden.<br />
L s G R s G p s (5.4)<br />
Die Führungsübertragungsfunktion kann in Abhängigkeit von der Kreisübertragungsfunktion<br />
aus Abbildung 5.2 bestimmt werden.<br />
Mit<br />
und<br />
folgt für die Führungsübertragungsfunktion<br />
Dabei wurde D s 0 angenommen.<br />
X s L s E s (5.5)<br />
E s W s X s (5.6)<br />
T s<br />
L s<br />
1 L s<br />
Die Regeldifferenz E s beschreibt die Abweichung vom idealen Verlauf<br />
setzt mann T s ein, so erhält man<br />
(5.7)<br />
E s W s T s W s (5.8)<br />
E s<br />
1<br />
1 L s<br />
W s (5.9)<br />
Beschränkt man sich wieder auf Forderungen an E j , dann muß im entsprechenden Frequenzbereich<br />
L j w 1 (5.10)<br />
gelten, da<strong>mit</strong> die Regeldifferenz für sinusförmige Führungsgrößen sehr klein wird.<br />
Den EinÀuß von Störungen kann man durch die Störübertragungsfunktion charakterisieren.<br />
Für die Ausgangsgröße gilt nach Abbildung 5.2 :<br />
X s L s E s D s (5.11)
5.3 Anforderungen an dasZeitverhalten von Regelkreisen 99<br />
Da hier nur das Störverhalten betrachtet werden soll, kann W s 0 angesetzt werden. Dann<br />
gilt<br />
Da<strong>mit</strong> folgt<br />
X s<br />
bzw. für die Störübertragungsfunktion<br />
TD s<br />
E s X s (5.12)<br />
1<br />
1 L s<br />
X s<br />
D s<br />
D s (5.13)<br />
1<br />
1 L s<br />
(5.14)<br />
Da<strong>mit</strong> sinusförmige Störungen keine Auswirkungen auf die Regelgröße haben, muß im entsprechenden<br />
Frequenzbereich<br />
bzw.<br />
TD j r 0 (5.15)<br />
L j w 1 (5.16)<br />
gelten.Um für Führungsgrößen und Störungen, die aus sinusförmigen Zeitfunktionen zusammengesetzt<br />
sind, eine möglichst kleine Regeldifferenz zu garantieren, muß für die auftretenden<br />
Frequenzen in beiden Fällen die gleiche Forderung erfüllt sein.<br />
5.3 Anforderungen an das Zeitverhalten von Regelkreisen<br />
Das in Abschnitt 5.2 besprochene ideale Verhalten von Regelkreisen würde bedeuten, daß sich<br />
bei einer sprungförmigen Anderung der Führungsgröße die Regelgröße ebenfalls sprungförmig<br />
ändert. Diese Anforderung ist auch im Zeitbereich unrealistisch. Zur Beurteilung des Systemverhaltens<br />
werden daher Kenngrößen für die Sprungantwort des Regelkreises festgelegt.<br />
Man verlangt, daß der Regelkreis schnell reagiert, gut gedämpft und stationär genau ist.<br />
Kenngrößen, durch die diese Forderungen erfaßt werden sind:<br />
die Anregelzeit (rise time) tan<br />
die Ausregelzeit (settling time) taus<br />
die Überschwingweite (overshoot) Mp<br />
die bleibende Regeldifferenz (system error) e *
5.3 Anforderungen an dasZeitverhalten von Regelkreisen 100<br />
h(t)<br />
1.4<br />
1.2<br />
1<br />
0.8<br />
0.6<br />
0.4<br />
0.2<br />
Mp<br />
0<br />
0 2 taus 4 6 8 10<br />
tr<br />
time (sec.)<br />
Abbildung 5.3: Einschwingverhalten der Sprungantwort<br />
Die De¿nition der Größen ist in Abbildung 5.3 angegeben. Als Toleranzband für die Festlegung<br />
der Ausregelzeit wird meist ein Bereich von 1% bis 5% vorgegeben.<br />
Das in Abbildung 5.3 dargestellte Einschwingverhalten ist typisch für Systeme zweiter Ordnung<br />
<strong>mit</strong> einer Übertragungsfunktion von der Form<br />
T s<br />
2<br />
0<br />
s 2 2 D 0s 2 0<br />
Die Überschwingweite kann aus der Sprungantwort berechnet werden.<br />
h tp 1 e<br />
e∞<br />
(5.17)<br />
¡<br />
D T<br />
1¢D2 (5.18)<br />
Mp h tp 1 (5.19)<br />
Der Zusammenhang zwischen der Überschwingweite Mp und <strong>dem</strong> Dämpfungsgrad D ist in<br />
Abbildung 5.4 dargestellt.<br />
Für die Bereiche<br />
0 n D n 0 6 (5.20)
5.3 Anforderungen an dasZeitverhalten von Regelkreisen 101<br />
M p<br />
1<br />
0.9<br />
0.8<br />
0.7<br />
0.6<br />
0.5<br />
0.4<br />
0.3<br />
0.2<br />
0.1<br />
← Näherung für M p (D)<br />
0<br />
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5<br />
D<br />
0.6 0.7 0.8 0.9 1<br />
Abbildung 5.4: Zusammenhang zwischen Mp und D<br />
kann der oben angegebene Zusammenhang durch die Beziehung<br />
approximiert werden.<br />
Mp 1<br />
D<br />
0 6<br />
(5.21)<br />
Da die Dämpfung D ein Parameter der Kreisübertragungsfunktion ist, können aber die Vorgaben<br />
(Spezi¿kationen) im Zeitbereich in Anforderungen an den Frequenzgang des offenen<br />
Kreises umgerechnet werden.<br />
Die Kreisübertragungsfunktion erhält man aus der Führungsübertragungsfunktion durch Umformen<br />
der oben hergeleiteten Gleichung:<br />
L s<br />
T s<br />
1 T s<br />
Da<strong>mit</strong> folgt für die Kreisübertragungsfunktion eines Systems zweiter Ordnung:<br />
L s<br />
2<br />
0<br />
s s 2 D 0<br />
(5.22)<br />
(5.23)<br />
Für diese Übertragungsfunktion kann nun leicht die Phasenreserve in Abhängigkeit vom Dämpfungsgrad<br />
über die Arcustangensfunktion bestimmt werden. Der Zusammenhang ist in Abbildung<br />
5.5 dargestellt.
5.3 Anforderungen an dasZeitverhalten von Regelkreisen 102<br />
φ r<br />
80<br />
70<br />
60<br />
50<br />
40<br />
30<br />
20<br />
10<br />
← Näherung für φ r (D)<br />
0<br />
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5<br />
D<br />
0.6 0.7 0.8 0.9 1<br />
Abbildung 5.5: Zusammenhang PhasenreserveDämpfungsgrad<br />
Auch hier läßt sich eine Näherung angeben. Für 0 n r n 60i gilt näherungsweise<br />
r<br />
r D 100 (5.24)<br />
Zu einer vorgegebenen Überschwingweite kann so<strong>mit</strong> ein Dämpfungsgrad bestimmt werden.<br />
Da<strong>mit</strong> liegt die notwendige Phasenreserve fest. Da<strong>mit</strong> kann auf einfache Weise angegeben<br />
werden, wie groß die Phasenreserve mindestens sein muß, da<strong>mit</strong> die Sprungantwort eine vorgegebene<br />
Überschwingweite nicht überschreitet.<br />
Die Anstiegszeit der Sprunganwort der Regelgröße ist von der Bandbreite b des geschlossenen<br />
Regelkreises abhängig.<br />
Für ein System zweiter Ordnung kann näherungsweise z. B. durch Simulationsuntersuchungen<br />
ein Zusammenhang zwischen der Bandbreite und der Anstiegszeit bestimmt werden.<br />
b tan<br />
r 2 3 (5.25)<br />
Dabei ist b die Kreisfrequenz, bei der der Betrag der Übertragungsfunktion um 3 dB abgefallen<br />
ist:<br />
T j b d B 3d B (5.26)<br />
Aus der Bandbreite kann wiederum auf die Durchtrittsfrequenz c des Amplitudengangs der<br />
Kreisübertragungsfunktion geschlossen werden. Die Durchtrittsfrequenz ist durch<br />
L j c d B 0 (5.27)
5.4 Kompensationsglieder 103<br />
de¿niert.<br />
Für Systeme zweiter Ordnung gilt näherungsweise<br />
b r 1 6 c (5.28)<br />
Da<strong>mit</strong> kann bei vorgegebener Anstiegszeit die dazu notwendige Durchtrittsfrequenz von L j<br />
berechnet werden.<br />
Die Ausregelzeit ist außer von der Bandbreite auch noch von der Phasenreserve abhängig.<br />
Wenn diese beiden Größen festgelegt sind, dann liegt bei einem System zweiter Ordnung auch<br />
die Ausregelzeit fest. Für eine Toleranzbandbreite von 2% gilt näherungsweise<br />
D 0 taus<br />
r 4 6 (5.29)<br />
wobei 0 die Kennkreisfrequenz und D der Dämpfungsgrad der Übertragungsfunktion des<br />
geschlossenen Kreises ist.<br />
Für die bleibende Regelabweichung ist die Verstärkung der Kreisübertragungsfunktion L s<br />
bei niedrigen Frequenzen maßgebend. Falls L s einen Pol bei s 0 besitzt (also ein Integrierer<br />
im Kreis vorhanden ist), können Sollwertverstellungen exakt ausgeregelt werden. Bei<br />
rampenförmiger Führungsgröße bleibt ein “Geschwindigkeitsfehler”<br />
e *<br />
1<br />
V<br />
(5.30)<br />
Falls die Kreisübertragungsfunktion keinen Integrierer enthält, bleibt bereits bei sprungförmiger<br />
Veränderung der Führungsgröße (also einer Sollwertverstellung) eine bleibende Regelabweichung<br />
von<br />
e *<br />
1<br />
1 V<br />
V ist dabei der jeweilige Verstärkungsfaktor der Übertragungsfunktion.<br />
(5.31)<br />
Um vorgegebene Spezi¿kationen erfüllen zu können, müssen also die Frequenzkennlinien der<br />
Kreisübertragungsfunktion passend korrigiert werden. Wesentlich ist dabei der Verstärkungsfaktor<br />
bei niedrigen Frequenzen, die Durchtrittsfrequenz und die Phasenreserve. Es sind also<br />
Korrekturglieder erforderlich, die es gestatten, die Frequenzkennlinien des offenen Kreises zu<br />
verformen. Reglertypen, die dies erlauben, sind Kompensationsglieder zur Phasenanhebung<br />
(“LeadGlieder”) und zur Betragsabsenkung (“LagGlieder”).<br />
5.4 Kompensationsglieder<br />
a) LagGlieder<br />
Ziel ist es, bei tiefen Frequenzen eine hohe Verstärkung zu erzielen, ohne dadurch die Durchtrittsfrequenz<br />
zu verändern.
5.4 Kompensationsglieder 104<br />
Ein Übertragungsglied, das für diesen Zweck genutzt wird, besitzt die Übertragungsfunktion<br />
G s K<br />
s m a<br />
s a<br />
G s K m 1 s<br />
m a<br />
1 s<br />
a<br />
Die Frequenzkennlinien dazu sind in Abbildung 5.6 angegeben.<br />
(5.32)<br />
(5.33)<br />
Ein Grenzfall des LagGliedes ist der PIRegler. Er geht aus <strong>dem</strong> LagGlied hervor: für a 0<br />
1<br />
wobei gleichzeitig m a festgehalten wird, geht die Übertragungsfunktion des Lag<br />
Tn<br />
Gliedes in die Übertragungsfunktion des PIReglers über:<br />
G s K<br />
t<br />
1<br />
1<br />
Tn s<br />
u<br />
(5.34)<br />
Als Preis für die Betragsabsenkung muß eine Phasenrückdrehung bei der Durchtrittsfrequenz<br />
in Kauf genommen werden. Diese Phasenrückdrehung ist um so geringer, je kleiner a gewählt<br />
wird. Allerdings reagiert dieses Korrekturglied dann auch entsprechend langsam (die Ausregelzeit<br />
vergrößert sich).<br />
b) LeadGlied<br />
Wenn bei der Übertragungsfunktion des LagGliedes Zähler und Nenner vertauscht werden,<br />
dann bewirkt ein solches Übertragungsglied anstelle einer Phasenrückdrehung eine Phasenanhebung<br />
und gestattet da<strong>mit</strong> die Vergrößerung der Phasenreserve. Das Maximum der Phasenanhebung<br />
muß dazu bei der Durchtrittsfrequenz gewählt werden.<br />
Die Übertragungsfunktion eines solchen LeadGliedes lautet:<br />
G s K<br />
G s<br />
K<br />
m<br />
s a<br />
s m a<br />
1<br />
s<br />
1<br />
a<br />
s<br />
m a<br />
Die Phasenrückdrehung ist für verschiedene mWerte in Abbildung 5.6 dargestellt.<br />
Für<br />
m * und K<br />
m<br />
geht das LeadGlied in einen PDRegler <strong>mit</strong> der Übertragungsfunktion<br />
über.<br />
G s K )<br />
K )<br />
(5.35)<br />
(5.36)<br />
(5.37)<br />
1 T ) s (5.38)
5.5 <strong>Reglerentwurf</strong> 105<br />
φ<br />
60<br />
50<br />
40<br />
30<br />
20<br />
10<br />
0<br />
0.1 1 10 100<br />
log( ω /ω )<br />
1<br />
m=2<br />
m=12<br />
Abbildung 5.6: Phasengang von LeadGliedern, m 1 2 12<br />
5.5 <strong>Reglerentwurf</strong><br />
Geht man davon aus, dass die Anforderungen an den Regelkreis durch die<br />
Anstiegszeit<br />
die Überschwingweite<br />
die bleibende Regelabweichung<br />
vorgegeben sind, dann müssen folgende Entwurfsschritte durchgeführt werden:<br />
Aus der Anstiegszeit folgt die Bandbreite b. Über die Faustformel für die Durchtrittsfrequenz<br />
folgt daraus c.<br />
Im zweiten Schritt wird durch einen Verstärkungsfaktor bei tiefen Frequenzen die bleibende<br />
Regelabweichung festgelegt. Dies führt im allgemeinen dazu, dass die Betragskennlinie<br />
die NulldBLinie bei einer zu hohen Frequenz schneidet, so dass der Betrag<br />
bei der Durchtrittsfrequenz abgesenkt werden muss. Dies kann durch Einfügen eines<br />
LagGliedes erreicht werden. Der Faktor, um den der Betrag abgesenkt werden muss,<br />
legt den Abstand der Eckfrequenzen des LagGliedes fest.
5.5 <strong>Reglerentwurf</strong> 106<br />
Aus der Überschwingweite kann <strong>mit</strong> den Diagrammen nach Abbildung 5.4 und Abbildung<br />
5.5 die Phasenreserve bestimmt werden. Meist muss dazu die Phasenkennlinie im<br />
Bereich der Durchtrittsfrequenz angehoben werden. Die Phasenreserve kann dann durch<br />
ein LeadGlied realisiert werden.<br />
Da der Entwurf auf der Grundlage von Nährungsbeziehungen erfolgt, muss das Ergebnis<br />
in einem abschließenden Schritt durch Simulation überprüft und ggf. durch Feineinstellung<br />
der Parameter verbessert werden.