Allgemeine Grundlagen der Drehstrommaschinen
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5. <strong>Allgemeine</strong> <strong>Grundlagen</strong> <strong>der</strong> <strong>Drehstrommaschinen</strong><br />
Die asynchronen und synchronen <strong>Drehstrommaschinen</strong> besitzen im Stän<strong>der</strong> denselben prinzipiellen<br />
Aufbau. Dies gilt beson<strong>der</strong>s für den allgemeinen Aufbau <strong>der</strong> Drehstromwicklungen, ihre<br />
Wicklungsfaktoren sowie die <strong>Grundlagen</strong> zur Beschreibung von umlaufenden Durchflutungen<br />
und <strong>der</strong>en Fel<strong>der</strong>.<br />
5.1 Drehstromwicklungen<br />
Ausführungsformen von Drehstromwicklungen<br />
Ein aus Dynamoblechen geschichtetes Stän<strong>der</strong>blechpaket enthält in Nuten am Bohrungsumfang<br />
gleichmäßig am Bohrungsumfang verteilte Leiter, die zu drei räumlich versetzten Wicklungssträngen<br />
zusammengeschaltet werden.<br />
Durch den Läufer wird ein Gleichfeld<br />
erzeugt, das eine sinusförmige Feldverteilung<br />
längs des Luftspalts aufbaut.<br />
Hat <strong>der</strong> Läufer eine konstante Drehzahl,<br />
so induziert das Feld in den<br />
einzelnen Spulen zeitlich sinusförmige<br />
Spannungen, die sich innerhalb jedes<br />
Wicklungsstranges zu einem resultierenden<br />
Wert addieren.<br />
Erzeugung einer mehrphasigen<br />
Spannung durch ein räumlich<br />
sinusförmiges Läuferdrehfeld<br />
τ p/3<br />
N<br />
τ p = 180°<br />
2/3 · τ p<br />
n 1<br />
U1 V1 W1<br />
S<br />
x<br />
n 1<br />
N<br />
n 1<br />
S<br />
Prinzipieller Aufbau einer<br />
Drehstromwicklung<br />
1. Strang<br />
2. Strang<br />
3. Strang<br />
G. Schenke, 9.2002 <strong>Grundlagen</strong> <strong>der</strong> Elektrotechnik III FB Technik, Abt. E+I 56
Die Berechnung des Induktionsvorganges erfolgt nach:<br />
uq = B⋅<br />
l ⋅ v<br />
(5.1)<br />
Ist Di <strong>der</strong> Bohrungsdurchmesser des Blechpaketes <strong>der</strong> 2p-poligen Maschine, so bezeichnet man<br />
den Umfangsanteil nach Gl. (5.2) als Polteilung.<br />
τ<br />
p<br />
=<br />
Di<br />
⋅ π<br />
2p<br />
Die Polteilung entspricht einer Halbwelle <strong>der</strong> sinusförmigen Induktionsverteilung im Luftspalt<br />
und damit einem elektrischen Winkel von 180°. Bei zweipoligen Maschinen (p = 1) stimmen <strong>der</strong><br />
räumlich mechanische und <strong>der</strong> elektrische Winkel überein.<br />
Zur Erzeugung einer symmetrischen dreiphasigen Spannung muß die Drehstromwicklung wie<br />
folgt gestaltet sein:<br />
1. Die drei Wicklungsstränge müssen den selben Spulenaufbau und gleiche Gesamtwindungszahl<br />
w besitzen.<br />
2. Die drei Wicklungsstränge müssen um je 120° elektrisch gegeneinan<strong>der</strong> versetzt sein.<br />
Die Leiterstäbe sind daher gleichmäßig auf die drei Wicklungsstränge aufzuteilen, von denen<br />
je<strong>der</strong> ein Drittel <strong>der</strong> Polteilung belegt.<br />
Bei Einschichtwicklungen können die Leiter eines Strangs auf zwei Arten zu einer Spulengruppe<br />
pro Polpaar geschaltet werden.<br />
1. Man verbindet stets Leiter miteinan<strong>der</strong>, <strong>der</strong>en Abstand mit W = τp genau <strong>der</strong> Polteilung entspricht.<br />
Es entstehen Spulen gleicher Weite.<br />
2. Die gleichen Leiter eines Strangs werden zu einer konzentrischen Spulengruppe verbunden.<br />
Die Teilspulen haben jetzt eine ungleiche Weite und man erreicht nur im Mittel W = τp.<br />
W<br />
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24<br />
2τ p<br />
U1 V1 W1<br />
U2<br />
Einschicht-Drehstromwicklung mit Spulen gleicher Weite (p = 2, q = 2, N = 24)<br />
G. Schenke, 9.2002 <strong>Grundlagen</strong> <strong>der</strong> Elektrotechnik III FB Technik, Abt. E+I 57<br />
(5.2)
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24<br />
U1 V1 W1<br />
U2<br />
Einschicht-Drehstromwicklung mit Spulen ungleicher Weite (p = 2, q = 2, N = 24)<br />
Beide Ausführungsformen ergeben dieselbe Gesamtspannung und unterscheiden sich nur im<br />
Wickelkopf. Mit Rücksicht auf die maschinelle Fertigung in Wickelautomaten verwendet man<br />
heute bei Serienmaschinen immer die Ausführung mit konzentrischen Spulen, also mit ungleicher<br />
Weite.<br />
Ist N die gesamte Stän<strong>der</strong>nutzahl und m die Strangzahl einer Drehstromwicklung, so entfallen<br />
innerhalb einer Polteilung τp genau q Nuten auf einen Strang. Es gilt:<br />
N<br />
q =<br />
(5.3)<br />
2p ⋅ m<br />
Enthält die Nut z nicht parallelgeschaltete Leiter, so gilt für die gesamte Windungszahl w eines<br />
Strangs:<br />
z ⋅ N<br />
w = = z ⋅ p ⋅ q<br />
(5.4)<br />
2m<br />
Bei Einschichtwicklungen liegt nur eine Spulenseite mit eventuell z Einzelwindungen in je<strong>der</strong><br />
Nut. Die Spulenweite W muß hier im Mittel genau eine Polteilung τp betragen, da bei einem<br />
kürzeren Schritt die Rückleiter teilweise den Platz <strong>der</strong> Spulenseiten eines an<strong>der</strong>en Strangs<br />
einnehmen würden.<br />
Eine Sehnenwicklung ist nur bei Ausführung einer Zweischichtwicklung, die beide genannten<br />
Spulenformen erhalten kann, möglich. Es entstehen hier doppelt soviel Spulengruppen wie bei <strong>der</strong><br />
Einschichtwicklung. Ober- und Unterschicht eines Strangs sind um die Sehnung gegeneinan<strong>der</strong><br />
verschoben, ohne daß dies einen an<strong>der</strong>en Strang behin<strong>der</strong>t.<br />
In allen bisherigen Wicklungen war q als Anzahl <strong>der</strong> Nuten pro Pol und Strang ganzzahlig, womit<br />
diese<br />
Ausführung auch die Bezeichnung Ganzlochwicklung trägt.<br />
Häufig ist es günstig, den rechnerischen q-Wert bruchzahlig zu wählen. In <strong>der</strong> praktischen<br />
Ausführung bedeutet dies, daß die einzelnen Spulengruppen eines Strangs unterschiedliche<br />
Windungszahlen besitzen.<br />
G. Schenke, 9.2002 <strong>Grundlagen</strong> <strong>der</strong> Elektrotechnik III FB Technik, Abt. E+I 58
Bei einer vierpoligen Wicklung erhält von den beiden Spulengruppen eines Strangs eine q = 3, die<br />
zweite q = 2 und die Wicklung damit im Mittel q = 2,5. Man bezeichnet solche Wicklungen als<br />
Bruchlochwicklungen und führt sie sowohl als Ein- wie als Zweischichtwicklung aus.<br />
2 4 8 10 16 20 24 30<br />
U1 V1 W1 U2<br />
Einschicht-Bruchlochwicklung (p = 2, q = 2,5, N = 30)<br />
Bei <strong>der</strong> Berechnung <strong>der</strong> Wicklungsfaktoren für die ungesehnte Ganzlochwicklung wird die räumliche<br />
Än<strong>der</strong>ung des Läuferdrehfeldes betrachtet. Es erreicht während seiner Drehbewegung die q<br />
Leiter einer Spulengruppe, die in benachbarten Nuten liegen, nacheinan<strong>der</strong> mit einer kleinen<br />
Zeitdifferenz.<br />
Die Zeiger <strong>der</strong> Stabspannungen sind nicht gleichphasig, son<strong>der</strong>n addieren sich unter dem Winkel:<br />
2 180°<br />
= p ⋅ =<br />
N m ⋅ q<br />
π<br />
α (5.5)<br />
Da ungesehnte Wicklungen stets als Spulenweite eine Polteilung besitzen, sind die Stabspannungen<br />
einer Windung 180° phasenverschoben. Die Teilspannungen <strong>der</strong> Hin- und Rückleiter<br />
einer Spule ergeben damit einen Zeiger doppelten Betrages.<br />
α<br />
Addiert man jetzt die q Spulenspannungen Usp <strong>der</strong><br />
Spulengruppe, so ist die resultierende Spannung Ugr<br />
α<br />
Ugr r<br />
q · α/2<br />
kleiner als die algebraische Summe <strong>der</strong> Spulenspannungen.<br />
Es ist also zu unterscheiden, ob die q ·<br />
z Windungen <strong>der</strong> Spulengruppe in einer Nut liegen<br />
o<strong>der</strong> gleichmäßig auf q Nuten verteilt sind. Um dies<br />
zu berücksichtigen, wird ein sogenannter Zonen- o<strong>der</strong><br />
U<br />
α<br />
sp r<br />
Bestimmung des Zonenfaktors<br />
Gruppenfaktor definiert, <strong>der</strong> für Ganzlochwicklungen<br />
nach Gl. (5.6) berechnet wird.<br />
q ⋅ α<br />
U sin<br />
gr<br />
ξ<br />
= 2<br />
z1 =<br />
(5.6)<br />
q ⋅ U α<br />
sp q ⋅ sin<br />
2<br />
G. Schenke, 9.2002 <strong>Grundlagen</strong> <strong>der</strong> Elektrotechnik III FB Technik, Abt. E+I 59
Bei <strong>der</strong> gesehnten Ganzlochwicklung ist die Spulenweite W kleiner als die Polteilung. Die beiden<br />
Stabspannungen Us einer Windung dürfen dann ebenfalls nicht mehr algebraisch addiert werden.<br />
Diese zusätzliche Spannungsmin<strong>der</strong>ung wird durch den Sehnungsfaktor nach Gl. (5.7) erfaßt.<br />
ε ⎛ ⎞<br />
⎜<br />
π W<br />
ξ ⋅ ⎟<br />
s1 = cos = sin<br />
(5.7)<br />
2 ⎜ ⎟<br />
⎝<br />
2 τp<br />
⎠<br />
ε = π·∆W/τp W τp<br />
∆W<br />
U s<br />
ε/2<br />
U sp<br />
π·W/τ p<br />
Spulenweite W einer gesehnten Wicklung Bestimmung des Sehnungsfaktors<br />
Der Zonenfaktor bleibt durch die Sehnung unbeeinflußt, so daß im allgemeinen Fall zur<br />
Berechnung <strong>der</strong> induzierten Gesamtspannung in einem Wicklungsstrang die Windungszahl mit<br />
dem Wicklungsfaktor nach Gl. (5.8) zu multiplizieren ist.<br />
= ξ ⋅ ξ<br />
(5.8)<br />
ξ1 z1 s1<br />
Anstelle <strong>der</strong> auf 2p · q Nuten verteilten Strangwindungszahl w = z · p · q rechnet man mit Hilfe<br />
des Wicklungsfaktors mit dem reduzierten Wert w · ξ1, wonach die Wicklung wie eine konzentrierte<br />
Spule behandelt wird.<br />
Treten in <strong>der</strong> Induktionsverteilung neben dem Grundfeld auch Oberfel<strong>der</strong> <strong>der</strong> Ordnungszahl ν<br />
auf, so erstrecken sich <strong>der</strong>en Halbwellen nur über einen Umfangsteil, welcher dem 1/νfachen des<br />
Grundwellenwertes entspricht. Es gilt:<br />
τp ν<br />
=<br />
τ<br />
p<br />
ν<br />
Der für das Grundfeld angegebene Winkel ist für ein Oberfeld mit dessen Ordnungszahl ν zu<br />
multiplizieren.<br />
Die in <strong>der</strong> Stän<strong>der</strong>wicklung durch Oberfel<strong>der</strong> induzierten Leiterspannungen sind unter dem<br />
νfachen Winkel zu addieren.<br />
Man erhält den Zonenfaktor ξzv und den Sehnungsfaktor ξsv für ein beliebiges Oberfeld.<br />
ξzν und<br />
=<br />
q ⋅ ν ⋅ α<br />
sin<br />
2<br />
ν ⋅ α<br />
q ⋅ sin<br />
2<br />
(5.9)<br />
(5.10)<br />
ν ⋅ ε ⎛ ⎞<br />
⎜<br />
π W<br />
ξ ⋅ ⋅ ⎟<br />
sν<br />
= cos = sin ν<br />
(5.11)<br />
2 ⎜ ⎟<br />
⎝<br />
2 τp<br />
⎠<br />
Der resultierende Wicklungsfaktor ergibt sich nach Gl. (5.12), wobei für ν = 1 wie<strong>der</strong> <strong>der</strong> Grundwellenwert<br />
entsteht.<br />
ξν = ξz<br />
ν ⋅ ξsν<br />
(5.12)<br />
G. Schenke, 9.2002 <strong>Grundlagen</strong> <strong>der</strong> Elektrotechnik III FB Technik, Abt. E+I 60
Der Wicklungsfaktor legt fest, inwieweit die Drehstromwicklung in Bezug auf die induzierte<br />
Strangspannung an eine beliebige Feldwelle des Läufers angepaßt ist.<br />
Für das Grundfeld wird man möglichst ξ1 → 1 anstreben, um die vorhandene Windungszahl<br />
w = z · p · q gut auszunutzen. Für die Oberfel<strong>der</strong> ist dagegen ξv → 0 erwünscht, so daß trotz einer<br />
νten Harmonischen im Läuferfeld keine Spannungen νfacher Frequenz in <strong>der</strong> Wicklung<br />
entstehen.<br />
Im allgemeinen ist man bemüht die 5. und 7. Oberschwingung zu unterdrüken. Der Zonenfaktor<br />
ist für die Oberfel<strong>der</strong> bis auf die Nutungsharmonischen zum Teil wesentlich kleiner als für das<br />
Grundfeld,<br />
was sehr erwünscht ist.<br />
Die angegebenen Formeln gelten nicht für Bruchlochwicklungen. Zur Analyse einer Bruchlochwicklung<br />
müssen sämtliche Stabspannungen eines Stranges einzeln herangezogen werden.<br />
Zonenfaktoren von dreiphasigen Ganzlochwicklungen<br />
q ν = 1 ν = 3 ν = 5 ν = 7 ν = 9 ν = 11 ν = 13 ν = 15 ν = 17 ν = 19<br />
1 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000<br />
2 0,966 0,707 0,259 0,259 0,707 0,966 0,966 0,707 0,259 0,259<br />
3 0,960 0,667 0,217 0,177 0,333 0,177 0,217 0,667 0,960 0,960<br />
4 0,958 0,654 0,205 0,158 0,271 0,126 0,126 0,271 0,158 0,205<br />
∞ 0,955 0,636 0,191 0,136 0,212 0,087 0,073 0,127 0,056 0,050<br />
5.2 Blindwi<strong>der</strong>stände, Spannungserzeugung und Drehmoment<br />
Je<strong>der</strong> Strang <strong>der</strong> Drehstromwicklung hat eine dem Drehfeldfluß Φh proportionale Hauptinduktivität<br />
Lh:<br />
Lh h<br />
= w1<br />
⋅ 1⋅<br />
î<br />
mit î1<br />
= 2 ⋅ I1<br />
Φ<br />
ξ (5.13)<br />
1<br />
Die Amplitude <strong>der</strong> Gesamtdurchflutung Θ1 einer Drehstromwicklung ist proportional dem Strang-<br />
s trom I1. Es gilt:<br />
2 ⋅ 2 w ⋅ ξ<br />
π p<br />
1 1<br />
Θ 1 = ⋅ m ⋅ ⋅ I1<br />
(5.14)<br />
Die Drehdurchflutung Θ1 erzeugt im Luftspalt δ die Flußdichteamplitude B1 des sinusförmigen<br />
Feldverlaufs (Eisenweg vernachläßigt). Das räumlich sinusförmige Drehfeld ergibt den Hauptfluß<br />
Φh.<br />
Φ h =<br />
2<br />
⋅ B1<br />
⋅ τp<br />
⋅ l<br />
π<br />
mit B1<br />
=<br />
Θ1<br />
⋅µ<br />
0<br />
2δ<br />
(5.15)<br />
Mit den Gl. (5.13 - 5.15) erhält man für die Hauptinduktivität:<br />
L<br />
h<br />
=<br />
2 l ⋅ τp<br />
⋅ µ 0 ⋅ ⋅ (w1<br />
⋅ ξ1)<br />
2<br />
π δ ⋅ p<br />
2<br />
⋅ m<br />
(5.16)<br />
G. Schenke, 9.2002 <strong>Grundlagen</strong> <strong>der</strong> Elektrotechnik III FB Technik, Abt. E+I 61
Der Hauptblindwi<strong>der</strong>stand o<strong>der</strong> die Hauptreaktanz Xh ist eine Kenngröße <strong>der</strong> Drehstrommaschine<br />
und Bestandteil <strong>der</strong> Ersatzschaltung. Es gilt:<br />
4 l ⋅ τp<br />
2<br />
X h = ⋅µ<br />
0 ⋅ f1<br />
⋅ ⋅ (w1<br />
⋅ ξ1)<br />
⋅ m<br />
(5.17)<br />
π δ ⋅ p<br />
Die stromdurchflossene Drehstromwicklung erzeugt neben dem Drehfeld im Luftspalt auch<br />
Streufel<strong>der</strong>, die nicht mit <strong>der</strong> Läuferseite verkettet sind. Es sind dies Feldlinien im Bereich <strong>der</strong><br />
Nuten und des Stirnraumes, die einen Streublindwi<strong>der</strong>stand o<strong>der</strong> eine Streureaktanz Xσ hervorrufen.<br />
Φ<br />
1 ⋅ ⋅ L σ<br />
(5.18)<br />
ˆi<br />
σ<br />
L σ = w ξ1<br />
⋅ und X σ = 2π<br />
⋅ f1<br />
1<br />
Die durch ein rotierendes Läufergleichfeld in <strong>der</strong> Stän<strong>der</strong>wicklung induzierte Spannung kann über<br />
die Beziehung uq = B · l · v berechnet werden. Mit Gl. (5.15) erhält man für den Effektivwert:<br />
U = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ w ⋅ ξ ⋅ Φ<br />
(5.19)<br />
q 1<br />
1<br />
Für Oberwellenfel<strong>der</strong> gilt entsprechend:<br />
1<br />
1<br />
h<br />
U q ν = 2 ⋅ π ⋅ f1<br />
⋅ ν ⋅ w1<br />
⋅ ξν<br />
⋅ Φ ν<br />
(5.20)<br />
Die durch die Durchflutungen <strong>der</strong> Stän<strong>der</strong>wicklung entstandenen Drehfel<strong>der</strong> induzieren ebenfalls<br />
Spannungen in den einzelnen Strängen. Da das Feld von den Stän<strong>der</strong>strömen selbst erzeugt ist,<br />
handelt es sich dabei um eine Spannung <strong>der</strong> Selbstinduktion.<br />
Der Effektivwert <strong>der</strong> durch das Grundfeld erzeugten Spannung ergibt sich unmittelbar aus Gl.<br />
(5.19), da die Relativdrehzahl wie<strong>der</strong> n1 beträgt.<br />
Bezüglich <strong>der</strong> Oberwellenfel<strong>der</strong> ist zu beachten, daß diese im Unterschied zu denen des gleich-<br />
stromerregten Läufers die Drehzahl n1/ν besitzen.<br />
U = 2 ⋅ π ⋅ f1<br />
⋅ w1<br />
⋅ ξ ⋅ Φ<br />
(5.21)<br />
qν ν ν<br />
U 1<br />
U q<br />
ϕ 1<br />
I 1<br />
β<br />
Φ h<br />
Die Klemmenspannung U1 unterscheidet sich vom induzierten<br />
Wert Uq durch die Spannungsabfälle des Primärstromes<br />
am Wi<strong>der</strong>stand R1 und am Streublindwi<strong>der</strong>stand<br />
X1σ. Der Zeiger des Drehfeldflusses Φh liegt 90° zu Uq<br />
nacheilend.<br />
Zeigerbild zur Bestimmung<br />
<strong>der</strong> inneren Leistung<br />
Das Produkt von Uq und I1 des Zeigerbilds legt die innere Leistung o<strong>der</strong> Lufspaltleistung fest.<br />
G. Schenke, 9.2002 <strong>Grundlagen</strong> <strong>der</strong> Elektrotechnik III FB Technik, Abt. E+I 62
PL q 1<br />
q 1<br />
= m ⋅ U ⋅ I ⋅ cos (90°<br />
- β) = m ⋅ U ⋅ I ⋅ sinβ<br />
(5.22)<br />
Da PL durch das mit Synchrondrehzahl n1 rotierende Drehfeld übertragen wird, errechnet sich das<br />
zugehörige innere Drehmoment <strong>der</strong> Drehstrommaschine zu:<br />
M<br />
i<br />
PL<br />
=<br />
2π<br />
⋅ n<br />
1<br />
m ⋅ Uq<br />
⋅ I1<br />
= ⋅ sinβ<br />
2π<br />
⋅ n<br />
1<br />
Mit Gl. (5.19) und n1 = f1/p erhält man für das innere Drehmoment:<br />
(5.23)<br />
2<br />
Mi = ⋅ m ⋅ p ⋅ f1<br />
⋅ w1<br />
⋅ ξ1 ⋅ Φ h ⋅ I1<br />
⋅ sinβ<br />
(5.24)<br />
2<br />
Die konstruktionsabhängigen Größen werden im allgemeinen zu einer Maschinenkonstante c<br />
zusammengefaßt.<br />
Mi h 1<br />
= c ⋅ Φ ⋅ I ⋅ sinβ<br />
(5.25)<br />
Wie bei <strong>der</strong> Gleichstrommaschine ist also auch bei <strong>Drehstrommaschinen</strong> das Drehmoment durch<br />
das Produkt Fluß mal Laststrom bestimmt. Bei <strong>der</strong> Drehstrommaschine ist zusätzlich <strong>der</strong> Phasenwinkel<br />
β zwischen den beiden Größen zu beachten.<br />
G. Schenke, 9.2002 <strong>Grundlagen</strong> <strong>der</strong> Elektrotechnik III FB Technik, Abt. E+I 63