Formelsammlung Mathematik I - III
Formelsammlung Mathematik I - III
Formelsammlung Mathematik I - III
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<strong>Formelsammlung</strong><br />
zu den Vorlesungen<br />
<strong>Mathematik</strong> I - <strong>III</strong><br />
in den Studiengängen<br />
Technische Informatik<br />
und<br />
Nachrichtentechnik<br />
der FHTE
Vorwort zur 2. Auflage<br />
Diese Formel- und Verfahrenssammlung ist entstanden aus den Vorlesungen von Prof.<br />
Dr.-Ing. Bernhard Bauer im Zeitraum WS 94/95 - WS 95/96. Sie hat zum Ziel, den<br />
behandelten Stoff in kurzer, prägnanter Form zusammenzufassen, und erhebt keinen<br />
Anspruch auf Vollständigkeit. Als ideale Ergänzung empfiehlt sich die "Mathematische<br />
<strong>Formelsammlung</strong> für Ingenieure und Naturwissenschaftler" von Lothar Papula.<br />
Aufgrund der guten Resonanz der 1. Auflage habe ich die vorliegende 2. Auflage im Stoff von<br />
Mathe I um die Kapitel Differential- und Integralrechnung und um den Stoff von Mathe <strong>III</strong><br />
erweitert. Verbesserungsvorschläge bitte per e-mail an: tiw4frfl@rz.fht-esslingen.de.<br />
<strong>Mathematik</strong> I<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
Copyright 1997 by Frank Flatten<br />
1. Vektorrechnung .......................................................................................................... 1<br />
1.1 Allgemeines ....................................................................................................... 1<br />
1.2 Skalarprodukt .................................................................................................... 1<br />
1.3 Kreuzprodukt ..................................................................................................... 2<br />
1.4 Spatprodukt ....................................................................................................... 2<br />
Zusammenfassung der Produktanwendungen ................................................... 2<br />
1.5 Anwendungen in der analytischen Geometrie ................................................... 3<br />
1.5.1 Darstellung von Geraden und Ebenen ................................................. 3<br />
1.5.2 Umwandlung PAR PARFREI ........................................................ 3<br />
1.5.3 Umwandlung PARFREI PAR ........................................................ 3<br />
1.5.4 Schnitte ............................................................................................... 4<br />
1.5.5 Abstände .............................................................................................. 4<br />
1.5.6 Winkel ................................................................................................. 4<br />
2. Lineare Algebra .......................................................................................................... 5<br />
2.1 Matrizen ............................................................................................................ 5<br />
2.2 Determinanten ................................................................................................... 5<br />
2.3 Lineare Gleichungssysteme ............................................................................... 5<br />
Mathe-Formeln Seite I Inhalt
3. Komplexe Arithmetik ................................................................................................. 6<br />
3.1 Allgemeines ....................................................................................................... 6<br />
3.2 Rechengesetze ................................................................................................... 6<br />
3.3 Anwendungen .................................................................................................... 7<br />
3.3.1 Überlagerung von Schwingungen ....................................................... 7<br />
3.3.2 Algebraische Gleichungen .................................................................. 7<br />
3.3.3 Nicht-algebraische Gleichungen ......................................................... 7<br />
3.3.4 Gebiete in der Gauß´schen Zahlenebene ............................................. 7<br />
4. Differentialrechnung ................................................................................................... 8<br />
4.1 Erste Ableitung elementarer Funktionen ........................................................... 8<br />
4.2 Differentiationsregeln ........................................................................................ 9<br />
4.3 Implizite Differentiation .................................................................................... 9<br />
4.4 Logarithmisches Differenzieren ........................................................................ 9<br />
4.5 Anwendung: Kurvendiskussion ...................................................................... 10<br />
4.5.1 Monotonie und Krümmung ............................................................... 10<br />
4.5.2 Relative Extremwerte ........................................................................ 10<br />
4.5.3 Wendepunkte und Sattelpunkte ........................................................ 10<br />
4.5.4 Verschiebung, Spiegelung und Streckung von Kurven .................... 10<br />
5. Integralrechnung ....................................................................................................... 11<br />
5.1 Unbestimmtes Integral und Stammfunktion ................................................... 11<br />
5.2 Bestimmtes Integral - Flächeninhalt ................................................................ 11<br />
5.3 Elementare Integrationsregeln für bestimmte Integrale .................................. 12<br />
5.4 Integrationsverfahren ....................................................................................... 12<br />
5.4.1 Grundintegrale .................................................................................. 12<br />
5.4.2 Integration durch Substitution ........................................................... 13<br />
5.4.3 Partielle Integration (Produktintegration) ......................................... 13<br />
5.4.4 Integration gebrochenrationaler Funktionen - Partialbruchzerlegung 14<br />
5.5 Uneigentliche Integrale ................................................................................... 15<br />
5.6 Einige andere häufig benötigte Integrale ......................................................... 16<br />
<strong>Mathematik</strong> II<br />
6. Differentialgleichungen und DGL-Systeme ............................................................ 17<br />
6.1 Allgemeine DGL 1. Ordnung .......................................................................... 17<br />
6.1.1 Integration durch Trennung der Variablen ........................................ 17<br />
6.1.2 Integration durch Substitution ........................................................... 17<br />
Mathe-Formeln Seite II Inhalt
6.2 Lineare DGL 1. Ordnung ................................................................................ 18<br />
6.3 Lineare DGL 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten ................................. 18<br />
6.4 DGL 2. Ordnung, die auf DGL 1. Ordnung zurückgeführt werden können ... 19<br />
6.5 Lineare DGL n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten ............................ 20<br />
Homogene Lösung und Störansatz .................................................................. 20<br />
Resonanzfall .................................................................................................... 21<br />
Komplexer Ansatz für partikuläre Lösung ...................................................... 22<br />
6.6 Euler´sche DGL ............................................................................................... 22<br />
6.7 Anfangs- Rand- und Eigenwertprobleme ........................................................ 23<br />
6.8 Anwendung: Schwingungs-DGL .................................................................... 24<br />
6.8.1 Freie Schwingung .............................................................................. 24<br />
6.8.2 Erzwungene Schwingung .................................................................. 24<br />
6.9 DGL-Systeme .................................................................................................. 25<br />
6.9.1 Normalform einer DGL n-ter Ordnung ............................................. 25<br />
6.9.2 Systeme linearer DGL 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten .... 25<br />
Stabilität von DGL-Systemen ........................................................... 26<br />
7. Potenz- und Fourier-Reihen ..................................................................................... 28<br />
7.1 Allgemeine Konvergenzkriterien .................................................................... 28<br />
7.1.1 Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen....................................... 28<br />
7.1.2 Quotienten- und Wurzelkriterium...................................................... 28<br />
7.2 Potenzreihen .................................................................................................... 28<br />
7.2.1 Allgemeine Form der Potenzreihe .................................................... 28<br />
7.2.2 Konvergenzradien von Potenzreihen ................................................ 28<br />
7.2.3 Taylor-Reihe ..................................................................................... 28<br />
7.2.4 Rechenregeln für Potenzreihen ......................................................... 29<br />
7.2.5 Fehlerabschätzung ............................................................................. 29<br />
7.2.6 Spezielle Potenzreihen ...................................................................... 30<br />
7.3 Fourier-Reihen ................................................................................................ 31<br />
7.3.1 Fourier-Reihen für 2-periodische Funktionen ................................ 31<br />
7.3.2 Spezialfälle 2-periodische Funktionen ............................................ 31<br />
7.3.3 Fourier-Reihen für T-periodische Funktionen .................................. 32<br />
7.3.4 Spezialfälle T-periodische Funktionen ............................................. 32<br />
7.3.5 Komplexe Form der Fourier-Reihe ................................................... 33<br />
7.3.6 Zusammenhang zwischen komplexer und reeller Darstellung .......... 34<br />
7.3.7 Fourier-Transformation ..................................................................... 34<br />
Mathe-Formeln Seite <strong>III</strong> Inhalt
<strong>Mathematik</strong> <strong>III</strong><br />
8. Laplacetransformation ............................................................................................. 35<br />
8.1 Einführungsbemerkungen und Definition ....................................................... 35<br />
8.2 Sätze zur Laplacetransformation ..................................................................... 36<br />
8.2.1 Korrespondenzen zum 1. Differentiationssatz .................................. 36<br />
8.2.2 Rücktransformation mit Hilfe der Partialbruchzerlegung ................. 36<br />
8.2.3 Faltung und Faltungssatz .................................................................. 37<br />
8.3 Wichtige Korrespondenzen ............................................................................. 38<br />
8.4 Ergänzungen .................................................................................................... 39<br />
8.4.1 Laplacetransformation eines Rechteckimpulses ............................... 39<br />
8.4.2 Laplacetransformation periodischer Funktionen ............................... 39<br />
8.4.3 Sprungfunktionen mit Verschiebeanteil ............................................ 39<br />
8.5 Anwendung: Lösung von DGL und DGL-Systemen ...................................... 40<br />
8.5.1 Allgemeines Lösungsverfahren ......................................................... 40<br />
8.5.2 Lineare DGL 1. Ordnung .................................................................. 40<br />
8.5.3 Lineare DGL 2. Ordnung .................................................................. 40<br />
8.5.4 Zusätzliche Bemerkungen ................................................................. 40<br />
8.5.5 Lösung von DGL-Systemen .............................................................. 40<br />
8.5.6 Beispiel .............................................................................................. 41<br />
9. Vektoranalysis ........................................................................................................... 42<br />
9.1 Differentialrechnung bei Funktionen mehrerer Variabler ............................... 42<br />
9.1.1 Partielle Differentiation ..................................................................... 42<br />
9.1.2 Tangentialebene und totales Differential .......................................... 42<br />
9.1.3 Kettenregel für Funktionen von 2 Variablen .................................... 43<br />
9.1.4 Höhere partielle Ableitungen und Satz von Schwarz ....................... 43<br />
9.2 Darstellung von Kurven .................................................................................. 44<br />
9.3 Tangentenvektor .............................................................................................. 44<br />
9.4 Gradient ........................................................................................................... 44<br />
9.5 Vektorfelder und Potentialfelder ..................................................................... 45<br />
9.5.1 Skalar- und Vektorfelder ................................................................... 45<br />
9.5.2 Potentialfelder ................................................................................... 45<br />
9.6 Liniennintegrale (Arbeits-/Kurvenintegrale) ................................................... 47<br />
9.6.1 Definition des Linienintegrals ........................................................... 47<br />
9.6.2 Bemerkungen zum Linienintegral ..................................................... 47<br />
9.6.3 Wegunabhängiges Linienintegral im Potentialfeld ........................... 47<br />
Mathe-Formeln Seite IV Inhalt
10. Wahrscheinlichkeitsrechnung ................................................................................. 49<br />
10.1 Kombinatorik .................................................................................................. 49<br />
10.1.1 Geordnete Stichprobe ohne Zurücklegen .......................................... 49<br />
10.1.2 Ungeordnete Stichprobe ohne Zurücklegen ...................................... 49<br />
10.1.3 Geordnete Stichprobe mit Zurücklegen ............................................ 49<br />
10.1.4 Ungeordnete Stichprobe mit Zurücklegen ........................................ 49<br />
10.1.5 Überlegung mit Baumdiagramm ....................................................... 49<br />
10.2 Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten ................................................................. 50<br />
10.2.1 Gleichwahrscheinlichkeit .................................................................. 50<br />
10.2.2 Additionssatz ..................................................................................... 50<br />
10.2.3 Multiplikationssatz ............................................................................ 50<br />
10.2.4 Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit ........................................... 50<br />
10.2.5 Zusammengesetzte Zufallsexperimente ............................................ 51<br />
10.2.6 Satz von Bayes .................................................................................. 51<br />
10.2.7 Binomialverteilung ............................................................................ 51<br />
Anhang: Besondere Werte trigonometrischer Funktionen<br />
Mathe-Formeln Seite V Inhalt
1.1 Allgemeines<br />
Betrag:<br />
1. Vektorrechnung<br />
<br />
a = a + a + a = a⋅ a = a<br />
2 2 2 2<br />
x y z<br />
<br />
a = a⋅ a = a<br />
2 2<br />
Richtungswinkel: cosα = ax<br />
<br />
a<br />
cosβ = ay<br />
<br />
a<br />
cosγ = az<br />
<br />
a<br />
<br />
ax = a ⋅cosα<br />
<br />
ay = a ⋅cosβ<br />
<br />
az = a ⋅cosγ<br />
Addition, Subtraktion:<br />
2 2 2<br />
cos α+ cos β+ cos γ = 1<br />
<br />
<br />
<br />
z<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
a<br />
x<br />
a<br />
y<br />
az<br />
ax<br />
bx<br />
<br />
a± b = ay<br />
by<br />
a b<br />
± =<br />
<br />
S-Multiplikation: λ ⋅ a =<br />
1.2 Skalarprodukt<br />
Berechnung:<br />
Orthogonalität:<br />
Schnittwinkel: cosϕ =<br />
Projektion:<br />
<br />
<br />
z<br />
λ ⋅<br />
λ ⋅<br />
λ ⋅<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
a ± b<br />
a ± b<br />
a ± b<br />
<br />
<br />
x x<br />
y y<br />
z z<br />
<br />
ax<br />
bx<br />
a⋅ b = ay<br />
by<br />
a b a b a b<br />
az<br />
bz<br />
⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅<br />
<br />
<br />
a⋅ b = a ⋅b ⋅cosϕ<br />
<br />
a⋅ b = 0 ⇐ a⊥b <br />
a⋅b <br />
a ⋅ b<br />
<br />
<br />
<br />
x x y y z z<br />
<br />
a⋅b <br />
ab<br />
ba<br />
= ⋅a<br />
b b<br />
2 a= ⋅ =<br />
a<br />
a<br />
⋅<br />
<br />
cosϕ Vorzeichen Richtung!<br />
Mathe-Formeln Seite 1 Vektorrechnung<br />
<br />
b<br />
<br />
a+ b<br />
<br />
a<br />
<br />
a−b Projektion:<br />
ϕ<br />
<br />
b<br />
<br />
b a<br />
<br />
a
1.3 Kreuzprodukt<br />
Berechnung:<br />
Besonderheiten:<br />
Kollinearität:<br />
<br />
i<br />
<br />
a× b = ax <br />
j<br />
ay <br />
k<br />
az<br />
<br />
= i ⋅ a b −a b<br />
<br />
− j⋅ a b − a b<br />
<br />
+ k ⋅ a b −a<br />
b<br />
bx by bz<br />
<br />
a× b = a ⋅b ⋅sinϕ<br />
<br />
a× b ⊥ a ∧<br />
<br />
a× b ⊥ b<br />
<br />
a× a =0<br />
<br />
a× b = − b × a<br />
<br />
λ⋅ a× b = λ⋅ a × b = a× λ⋅b<br />
<br />
0 oder<br />
<br />
ab 1 <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
a× b = ⇐ a b<br />
Anwendungen: AParallelogramm = a× b = ⋅ a+ b × a−b 2<br />
1 <br />
ADreieck = ⋅ a× b<br />
2<br />
1.4 Spatprodukt<br />
Berechnung:<br />
Besonderheiten:<br />
Komplanarität:<br />
Anwendungen: VSpat a b c = <br />
senkrecht<br />
parallel<br />
in einer Ebene<br />
linear abhängig<br />
linear unabhängig<br />
<br />
<br />
abc = a⋅ b× c⋅cosϕ<br />
ϕ =∠ ×<br />
<br />
ab , c<br />
y z z y x z z x x y y x<br />
besser Berechnung über Determinante (siehe Kreuzprodukt)!<br />
<br />
abc<br />
<br />
= a⋅ b× c =<br />
<br />
bca<br />
<br />
= b⋅ c× a =<br />
<br />
cab<br />
<br />
= c⋅ a× b<br />
<br />
(zyklische Vertauschung)<br />
<br />
abc<br />
<br />
abc<br />
<br />
=− bac<br />
<br />
=−acb (Vertauschung von benachbarten Vektoren<br />
ändert das Vorzeichen des Vektorprodukts!)<br />
<br />
abc = 0 ⇔ abc , , liegen in einer Ebene!<br />
VTetraeder = ⋅ a b c<br />
1 <br />
6<br />
2 Vektoren 3 Vektoren<br />
<br />
a⋅ b =0<br />
<br />
a× b =0<br />
<br />
abc =0<br />
<br />
<br />
a× b =0<br />
<br />
abc =0<br />
<br />
<br />
a× b ≠0<br />
<br />
abc ≠0<br />
<br />
× i j<br />
<br />
k<br />
<br />
i 0 k − j<br />
<br />
j −k 0 i<br />
<br />
k j −i 0<br />
<br />
a⋅ b = a ⋅b ⋅cosϕ<br />
<br />
a× b = a ⋅b ⋅sinϕ<br />
<br />
abc = a⋅ b× c<br />
<br />
abc = a⋅ b× c⋅cosϕ<br />
<br />
abc =−bac<br />
Mathe-Formeln Seite 2 Vektorrechnung
1.5 Anwendungen: analytische Geometrie<br />
1.5.1 Darstellung von Geraden und Ebenen<br />
Gerade:<br />
<br />
x = x +<br />
<br />
⋅a<br />
Ebene:<br />
0 λ Parameterdarstellung (PAR)<br />
Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D1<br />
= 0 (Gerade als Schnitt zwischen 2 Ebenen)<br />
Ax 2 + By 2 + Cz 2 + D2<br />
= 0 Parameterfreie Darstellung (PARFREI)<br />
<br />
x = x<br />
<br />
+ μ ⋅ a+ μ ⋅b<br />
Parameterdarstellung (PAR)<br />
0 1 2<br />
Ax + By + Cz + D =0 Parameterfreie Darstellung (PARFREI)<br />
1.5.2 Umwandlung: PAR → PARFREI<br />
Gerade: Prinzip:3 skalare Gleichungen mit 4 Unbekannten werden auf<br />
2 Gleichungen mit 3 Unbekannten zurückgeführt.<br />
(eine Gleichung nach λ auflösen und in die anderen einsetzen!)<br />
Ebene:<br />
Bsp:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
x<br />
y<br />
z<br />
=<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
1<br />
0<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
+ λ⋅ 1 ⇒<br />
−1<br />
x = 2+ 2λ<br />
y = 1+<br />
λ<br />
z =−λ ⇒ λ =−z<br />
<br />
x = x0 + μ1⋅ a+ μ2⋅b<br />
⇒ a× b = n ⇒ nx⋅ x+ ny⋅ y+ nz⋅ z+ d = 0<br />
Punktprobe mit x0 ergibt d!<br />
1.5.3 Umwandlung: PARFREI → PAR<br />
Gerade: Prinzip:Parameter einführen<br />
Bsp. 1: x = z+ 5 , y = 4−2z ⇒ z = λ ⇒<br />
Bsp. 2:<br />
x−x a<br />
y y<br />
=<br />
a<br />
−<br />
z z<br />
=<br />
a<br />
−<br />
= ⇒<br />
0 0 0 λ<br />
x y z<br />
Ebene: Prinzip:2 Parameter einführen<br />
Ax By Cz D<br />
D B C<br />
x y<br />
A A A z<br />
+ + + = 0 ⇒ = − − −<br />
y = μ1<br />
z = μ<br />
2<br />
x = 5+<br />
λ<br />
y = 4−2λ ⇒<br />
z = λ<br />
x = x0 + λ⋅a<br />
y = y0 + λ⋅a<br />
z = z + λ⋅a<br />
Mathe-Formeln Seite 3 Vektorrechnung<br />
⇒<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
0<br />
<br />
<br />
<br />
=<br />
x<br />
y<br />
z<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
z<br />
x<br />
y<br />
D<br />
−<br />
A<br />
0<br />
0<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
⇒<br />
<br />
<br />
<br />
=<br />
x<br />
y<br />
z<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
5<br />
4<br />
0<br />
x = 2−2z y = 1−z<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
+ λ⋅<br />
−2<br />
1<br />
B<br />
− A<br />
+ ⋅<br />
<br />
μ<br />
<br />
<br />
1 1 + μ2⋅<br />
0<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
C<br />
−<br />
A<br />
0<br />
1
1.5.4 Schnitte<br />
Gerade - Gerade:<br />
<br />
geg: g: xg = x1+ λ⋅ a1 , h: xh = x2 + μ⋅a2<br />
<br />
Annahme: g, h liegen in einer Ebene → x<br />
<br />
= x ⇒<br />
<br />
x + λ⋅ a<br />
<br />
= x<br />
<br />
+ μ⋅a<br />
g h 1 1 2 2<br />
→ 3 Gleichungen für 2 Unbekannte (λ, μ)<br />
⇒ LGS muß komplett lösbar sein, sonst sind Geraden windschief!!!<br />
(Anmerkung: PARFREI in PAR umwandeln)<br />
Gerade - Ebene: 1. Weg: Gerade und Ebene in PAR:<br />
<br />
g = E ⇒ x0 + λ⋅ a = x1+ μ1⋅ b + μ2⋅c<br />
→ 3 Gleichungen für 3 Unbekannte (λ, μ1, μ2<br />
)<br />
⇒ LGS nach λ auflösen und in g einsetzen ⇒ Schnittpunkt<br />
2. Weg: Gerade in PAR, Ebene in PARFREI: (Seite 63 Bsp. 38)<br />
g in 3 skalare Gleichungen zerlegen und in E einsetzen<br />
→ nach λ auflösen und in g einsetzen ⇒ Schnittpunkt<br />
(gilt für beide Wege: falls LGS nicht lösbar → kein Schnittpunkt! → g parallel E!)<br />
Ebene - Ebene: 1. Weg: E1, E2<br />
in PARFREI: (Seite 65)<br />
stellt bereits die Schnittgarade dar falls Darstellung in PAR<br />
verlangt: Parameter einführen (z = λ). Man erhält ein<br />
LGS (x = f λ , y = f λ , z = λ)<br />
⇒ Gerade in PAR<br />
<br />
2. Weg: E1: xE1 = x1+ μ1⋅ a + μ2⋅ b , E2: xE2 = x2 + λ1⋅ c + λ2⋅d<br />
gleichsetzen: E1 = E2<br />
(Seite 66 Bsp. 40)<br />
1.5.5 Abstände<br />
Punkt - Ebene: HNF: d =<br />
→ 3 Gleichungen für 4 Unbekannte<br />
⇒ Lösung des LGS in Abhängigkeit einer Unbekannten (z.B. λ 2 )<br />
setzt man nun λ 1 und λ 2 = p in E 2 ein, erhält man g in PAR<br />
A⋅ Px + B⋅ Py + C⋅ Pz + D<br />
2 2 2<br />
A + B + C<br />
Punkt - Ebene mit Lotfußpunkt: 1.) g ermitteln aus Normalenvektor von E und Punkt P<br />
2.) Q durch Schnitt g, E (siehe oben 2. Weg)<br />
<br />
3.) d = Q− P<br />
Punkt - Gerade: 1.) E⊥ g durch P (Richtungsvektor = Normalenvektor + Punktprobe P)<br />
2.) Q durch Schnitt g, E (siehe oben 2. Weg)<br />
<br />
3.) d = Q− P<br />
1.5.6 Winkel<br />
<br />
a1⋅a2 Gerade - Gerade: Winkel zwischen den Richtungsvektoren: cosϕ = <br />
a ⋅ a<br />
1 2<br />
Gerade - Ebene: Gegenwinkel (zu 90°) zwischen Richtungsvektor der Geraden<br />
<br />
a⋅n und Normalenvektor der Ebene: sinϕ = <br />
a ⋅ n<br />
<br />
n1⋅n2 Ebene - Ebene: Winkel zwischen den Normalenvektoren der Ebenen: cosϕ = <br />
n ⋅ n<br />
1 2<br />
Mathe-Formeln Seite 4 Vektorrechnung
2.1 Matrizen<br />
Schreibweisen: A= ( a ) =<br />
Rechenregeln: A± B= ( a ± b )<br />
2. Lineare Algebra<br />
ik<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
a11 ... a1... a1<br />
: : :<br />
a 1 ... a ... a<br />
: : :<br />
a ... a ... a<br />
ik ik<br />
k n<br />
i ik in<br />
m1mk mn<br />
p⋅ A= p⋅ ( a ) = ( p⋅a )<br />
ik ik<br />
= A = ( a )<br />
( mn , ) ik ( m, n)<br />
A( mn , ) ⋅ B( nq , ) = C(<br />
mq , ) (dabei ist cik das Skalarprodukt<br />
Wichtig: A⋅B≠ B⋅A der i. Zeile von A mit der k. Spalte von B.)<br />
T<br />
Transponieren: A( mn , ) = A(<br />
nm , )<br />
(x-te Zeile wird zur x-ten Spalte!)<br />
−1<br />
− 1 1 a22 −a12<br />
Invertieren: A⋅ x = b ⇒ x = A ⋅b<br />
mit A = ⋅<br />
det A −a<br />
a<br />
−1 −1<br />
Es gilt: A⋅ A = A ⋅ A= E<br />
2.2 Determinanten<br />
Mathe-Formeln Seite 5 Lineare Algebra<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
−1 − 1<br />
=<br />
und ( A ) A<br />
<br />
21 11<br />
Definition:<br />
a11 D= det A= a21 a12<br />
a22<br />
= a11 ⋅a22 −a21 ⋅a12<br />
(nur für 2x2 Matrizen)<br />
b1 a12<br />
a11 b1<br />
a11x1+ a12x2= b1<br />
Cramer-Regel:<br />
a21x1+ a22x2= b2<br />
⇔ A⋅ x = b ⇒<br />
D b 1 2<br />
x1=<br />
=<br />
D a11 a22<br />
a12<br />
D2<br />
x2=<br />
=<br />
D<br />
a21 a11 b2<br />
a12<br />
a a<br />
a a<br />
,<br />
21 22<br />
<br />
<br />
21 22<br />
Rechenregeln: - det A det A T<br />
=<br />
- D = 0, wenn 1 Zeile oder Spalte nur 0 enthält<br />
- D = 0, wenn 2 Zeilen oder Spalten proportional oder gleich sind<br />
- Vertauscht man 2 bel. Spalten oder Zeilen, so ändert sich das Vorzeichen<br />
- gem. Faktoren einer Zeile oder Spalte können ausgeklammert werden<br />
2.3 Lineare Gleichungssysteme<br />
GAUSS-Algorithmus:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
x x x<br />
x x x<br />
x x x<br />
<br />
<br />
<br />
x<br />
x<br />
x<br />
⇒<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
x x x<br />
0 x x<br />
0 r q<br />
Lösbarkeit von n,n-Systemen: inhomogen: A⋅ x = b, b≠0<br />
homogen: A⋅ x =0<br />
det A ≠ 0 1 Lösung nur triviale Lösung<br />
det A = 0 0 Lösungen oder ∞ Lösungen ∞ Lösungen<br />
Die Determinante einer Δ-Matrix ergibt sich aus dem Produkt der Hauptdiagonalelemente!<br />
x<br />
x<br />
p<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
i = 1 ... n Zeilenindex<br />
k = 1 ... m Spaltenindex<br />
0 Lösungen für: r = q = 0 und p 0<br />
∞ Lösungen für: r = q = p = 0<br />
1 Lösung für: r = 0 und q 0
3.1 Allgemeines<br />
3. Komplexe Arithmetik<br />
Darstellungsformen: z = x+ j⋅y z* = ( x+ j⋅ y)* = x− j⋅y z = r⋅ (cosϕ+ j⋅sin<br />
ϕ) z* = r⋅(cosϕ− j⋅sin<br />
ϕ)<br />
z r e jϕ<br />
= ⋅<br />
z r e j − ϕ<br />
*= ⋅<br />
Umrechnung: x = r⋅cosϕ<br />
y = r⋅sinϕ<br />
1 = e j<br />
3.2 Rechengesetze<br />
2 2<br />
r = z = x + y<br />
0<br />
180<br />
− 1=<br />
e = e<br />
± j ° ± jπ<br />
π<br />
j<br />
90 2<br />
j °<br />
j = e = e<br />
π<br />
−j<br />
90 1 2<br />
− j °<br />
− j = e = e =<br />
j<br />
y<br />
ϕ = = = arc z arg z arctan y<br />
!!! wenn Re < z : ⇒ = arctan<br />
0 ϕ<br />
x<br />
+ 180°<br />
!!<br />
j<br />
45 4<br />
π<br />
j °<br />
1+ j = 2⋅ e = 2⋅e<br />
−j<br />
45 4<br />
π<br />
− j °<br />
1− j = 2⋅ e = 2⋅e<br />
j135°<br />
− 1+ j = 2⋅ e = 2⋅e<br />
Mathe-Formeln Seite 6 Komplexe Arithmetik<br />
3<br />
j<br />
4<br />
π<br />
− j135°<br />
−1− j = 2⋅ e = 2⋅e<br />
3<br />
− j<br />
4<br />
π<br />
Addition; Subtraktion: z ± z = ( x + j⋅ y ) ± ( x + j⋅ y ) = ( x ± x ) + j⋅ ( y ± y )<br />
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2<br />
<br />
Multiplikation: z ⋅ z = r ⋅e ⋅ r ⋅ e = r ⋅r ⋅e<br />
Division:<br />
jϕ1 jϕ2 j ϕ1+ ϕ2<br />
1 2 1 2 1 2<br />
z<br />
z<br />
1<br />
2<br />
r1⋅e =<br />
r ⋅e<br />
2<br />
jϕ1<br />
jϕ2<br />
= <br />
<br />
r1<br />
j 1 2 e<br />
r2⋅<br />
ϕ −ϕ<br />
<br />
oder durch konjugiert komplexe Erweiterung:<br />
z1<br />
x1+ j⋅y1 = =<br />
z x + j⋅y 2<br />
2 2<br />
<br />
ϕ<br />
n<br />
n jn⋅ϕ<br />
n j<br />
Potenzieren: z = r⋅ e = r ⋅e<br />
j<br />
n n<br />
Wurzelziehen: z = r ⋅e<br />
<br />
ϕ+ k⋅<br />
360°<br />
n<br />
x1+ j⋅y1 ⋅ x2 − j⋅y2 x2 + j⋅y2 ⋅ x2 − j⋅y2 <br />
k = 0, 1, 2, ... , (n-1)<br />
=<br />
1 1 2 2<br />
x<br />
x + j⋅y ⋅ x − j⋅y 2 2<br />
x + y<br />
2<br />
2
3.3 Anwendungen<br />
3.3.1 Überlagerung von Schwingungen (bei gleichem !)<br />
A B C<br />
Es gilt: A⋅ cos ωt+ ϕ + B⋅ cos ωt + ϕ = C⋅ cos ωt+ ϕ<br />
Mathe-Formeln Seite 7 Komplexe Arithmetik<br />
<br />
Ae ⋅ + Be ⋅ = Ce ⋅<br />
jϕA jϕB jϕC<br />
Vorgehensweise: 1.) Umwandlung der Zeitfunktionen in komplexe Exponentialform<br />
2.) Addition - grafisch<br />
- algebraisch durch:<br />
- Umrechnung in Komponentenform<br />
- Addition<br />
- Rückführung in Exponentialform<br />
3.) Rückführung der komplexen Form in die Zeitfunktion<br />
3.3.2 Algebraische Gleichungen<br />
Algebraische Gleichungen n-ten Grades haben immer n Lösungen. Dabei gilt:<br />
- sind alle Koeffizienten reell,<br />
dann sind die Lösungen entweder reell oder konjugiert komplex!<br />
- gibt es komplexe Koeffizienten,<br />
läßt sich keine allgemeine Aussage über die Lösungen machen!<br />
3.3.3 Nicht-Algebraische Gleichungen<br />
Lösung : - Ansatz: z = x + j y<br />
- Trennung nach Real- und Imaginärteil<br />
- Lösung des LGS<br />
Achtung: - Es kann sein, daß Real- oder Imaginärteil verschwinden: x ; y = 0!<br />
- Wenn x ; y nicht reell werden keine Lösung der Ausgangsgleichung!<br />
3.3.4 Gebiete in der Gauß´schen Zahlenebene<br />
Solche Gebiete werden durch Nicht-Algebraische Ungleichungen beschrieben.<br />
Lösung: - prinzipielle Behandlung wie bei Nicht-Algebraischen Gleichungen<br />
- dann: Testpunkt einsetzen, zur Bestimmung des Gebietes<br />
Besonderheit: Kreis: z z r<br />
− =<br />
0
4. Differentialrechnung<br />
4.1 Erste Ableitung elementarer Funktionen<br />
Potenzfunktion x n<br />
Wurzelfunktion vx <br />
Funktion f x<br />
Ableitung f x<br />
n<br />
xm<br />
n x n<br />
⋅<br />
Mathe-Formeln Seite 8 Differentialrechnung<br />
−1<br />
,<br />
v x<br />
2⋅ vx<br />
n<br />
m m<br />
⋅<br />
−<br />
1<br />
v x<br />
Gebrochene Funktion<br />
−<br />
vx <br />
vx<br />
Trigonometrische Funktionen sin x<br />
cos x<br />
cos x<br />
−sin x<br />
<br />
tan x<br />
cot x<br />
<br />
<br />
−<br />
’<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
1 2<br />
cos x<br />
xn m<br />
<br />
1<br />
2<br />
sin x<br />
1<br />
2<br />
1−x<br />
1<br />
Arkusfunktionen arcsin x<br />
arccos x<br />
arctan x<br />
arccotx −<br />
1−<br />
1<br />
1+x<br />
1<br />
−<br />
1+<br />
Expotentialfunktionen e x<br />
e x<br />
2<br />
x<br />
2<br />
2<br />
x<br />
⋅<br />
a x ln a a x<br />
Logarithmusfunktionen ln x<br />
1<br />
x<br />
Hyperbelfunktionen<br />
loga x<br />
sinh x<br />
cosh x<br />
1<br />
ln⋅ a x<br />
cosh x<br />
sinh x<br />
<br />
<br />
tanh x<br />
coth x<br />
1 2<br />
<br />
<br />
cosh x<br />
1<br />
− 2<br />
sinh x<br />
’
4.2 Differentiationsregeln<br />
, ’<br />
Faktorregel y = C⋅ f x<br />
y = C⋅ f x<br />
1 2<br />
n<br />
1 2<br />
n<br />
, ’ ’ ’<br />
Summenregel y = f x + f x + ... + f x y = f x + f x + ... + f x<br />
Produktregel y = u x ⋅v<br />
x<br />
ux<br />
Quotientenregel y = <br />
<br />
<br />
, , ,<br />
y = u x ⋅ v x + u x ⋅v<br />
x<br />
, ,<br />
, u x ⋅v x −u x ⋅v<br />
x<br />
y =<br />
vx 2<br />
dy dy du<br />
= ⋅ oder<br />
’ ’ ,<br />
f x = F u ⋅u<br />
x<br />
vx<br />
Kettenregel y = F u x<br />
Kettenregel: "Äußere Ableitung mal innere Ableitung"<br />
4.3 Implizite Differentiation<br />
Eine Funktion in impliziter Form Fx, y=0<br />
wird gliedweise nach der Variablen x differenziert,<br />
wobei y als eine von x abhängige Funktion zu betrachten ist. Desshalb muß beim Differenzieren<br />
von y die Kettenregel angewendet werden! Anschließend wird nach y' aufgelöst.<br />
Beispiel:<br />
2 2 d 2 2<br />
, , x<br />
Fx, y= x + y − 16 = 0 ⇒ x + y − 16= 2 x+ 2 y⋅ y = 0 ⇒ y = −<br />
dx y<br />
4.4 Logarithmisches Differenzieren<br />
Manche Funktionen lassen sich nicht nach den bisher bekannten Regeln differenzieren. Solche<br />
Funktionen müssen dann vorher auf geeignete weise behandelt werden.<br />
x<br />
Beispiel: y = x ( x > 0)<br />
x<br />
1.) Logarithmieren: ln y = ln x = x⋅ln x<br />
2.) Differenzieren: linke Seite:<br />
Mathe-Formeln Seite 9 Differentialrechnung<br />
dx<br />
<br />
d d y<br />
y ln <br />
<br />
rechte Seite:<br />
dx<br />
du<br />
dx<br />
ln ,<br />
dy<br />
dy dx y y<br />
= ⋅ = ⋅<br />
1<br />
<br />
<br />
d<br />
dx x x x x 1<br />
⋅ ln = ln + ⋅ = ln x + 1<br />
x<br />
<br />
d x ,<br />
x<br />
⇒ x = y = y⋅ ln x + 1 = x ⋅ ln x + 1<br />
dx
4.5 Anwendung: Kurvendiskussion<br />
4.5.1 Monotonie und Krümmung<br />
, ’<br />
Die 1. Ableitung y = f x gibt die Steigung der Kurventangente an und bestimmt somit das<br />
Monotonie-Verhalten der Funktion:<br />
, ’<br />
, ’<br />
y = f x0<br />
> 0:<br />
monoton wachsend y = f x0<br />
< 0:<br />
monoton fallend<br />
,, ’’<br />
Die 2. Ableitung y = f x bestimmt das Krümmungsverhalten der Funktion:<br />
,, ’’<br />
,, ’’<br />
y = f x0<br />
> 0:Linkskrümmung<br />
y = f x0<br />
< 0:Rechtskrümmung<br />
4.5.2 Relative Extremwerte<br />
Hinreichende Bedingungen für lokale Extremwerte:<br />
E E<br />
E E<br />
’ ’’<br />
1.) f x = 0 und f x < 0 ⇒ Hochpunkt<br />
’ ’’<br />
2.) f x = 0 und f x > 0 ⇒ Tiefpunkt<br />
4.5.3 Wendepunkte und Sattelpunkte<br />
Hinreichende Bedingung für Wendepunkte:<br />
0 0<br />
’’ ’’’<br />
f x = 0 und f x ≠ 0 (VZW (f " ) Richtung egal!)<br />
Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente. Hinreichende Bedingung:<br />
0 0 0<br />
’ ’’ ’’’<br />
f x = 0, f x = 0 und f x ≠0<br />
4.5.4 Verschiebung, Spiegelung und Streckung von Kurven<br />
Ersetzt man y = f x durch so wird die Kurve<br />
a) y = f x−x0 um x 0 in x-Richtung verschoben<br />
0<br />
b) y = f x + y<br />
um y 0 in y-Richtung verschoben<br />
c) y =−f x<br />
an der x-Achse gespiegelt<br />
d) y = f −x<br />
an der y-Achse gespiegelt<br />
e) x = f y<br />
an der 1. Winkelhalbierenden gespiegelt<br />
f) y = a⋅ f x<br />
mit dem Faktor a in y-Richtung gestreckt<br />
g) y = f b⋅x mit dem Faktor 1/b in x-Richtung gestreckt<br />
h) y f x<br />
= Teile unterhalb der x-Achse werden an ihr<br />
gespiegelt<br />
Mathe-Formeln Seite 10 Differentialrechnung
5. Integralrechnung<br />
5.1 Unbestimmtes Integral und Stammfunktion<br />
’ <br />
Eine differenzierbare Funktion F x mit F x = f x heißt Stammfunktion oder<br />
unbestimmtes Integral von f. x Man schreibt:<br />
F ’ x = f x ⇔ f x dx = F x + C<br />
wobei C die Integrationskonstante darstellt und beliebige reelle Zahlenwerte annehmen kann.<br />
Die Integration ist somit die Umkehrung der Differentiation, es gilt daher:<br />
d f x dx = f x<br />
dx<br />
5.2 Bestimmtes Integral - Flächenberechnung<br />
Ist F x Stammfunktion der stetigen positiven Funktion f, x so berechnet sich die Fläche<br />
zwischen der Kurve, der x-Achse und den Geraden x= a und x = b als bestimmtes Integral<br />
von f x in der Form:<br />
b<br />
<br />
a<br />
b a <br />
A= f x dx = F x = F b −F<br />
a<br />
Die Ableitung eines bestimmten Integrals ist immer gleich Null:<br />
Bei der Flächenberechnung gibt es zwei Vereinfachungen:<br />
a a<br />
für gerade Funktionen: f x dx = 2⋅<br />
f x dx<br />
a<br />
<br />
− <br />
0<br />
Mathe-Formeln Seite 11 Integralrechnung<br />
d<br />
dx<br />
<br />
b<br />
f x dx =0<br />
a<br />
a<br />
− a<br />
<br />
für ungerade Funktionen: f x dx =0<br />
Die Fläche zwischen zwei Kurven berechnet sich über die Intagraldifferenz:<br />
b<br />
o u<br />
a<br />
A= f x − f x dx<br />
wobei fo x und fu x die obere bzw. untere Grenzfunktion darstellen.<br />
ACHTUNG: Bei der Flächenberechnung muß prinzipell der Betrag des bestimmten Integrals<br />
gebildet werden, außerdem muß man aufgrund eventueller Vorzeichenwechsel der Funktion<br />
genau auf die Festlegung der Integrationsgrenzen achten!
5.3 Elementare Integrationsregeln für bestimmte Integrale<br />
<br />
<br />
+ = +<br />
f x dx F b F = − a<br />
f x dx = F a −F<br />
b<br />
Faktorregel k⋅ f x dx = k⋅ f x dx<br />
<br />
Summenregel f x g x dx f x dx g x dx<br />
Vertauschung der<br />
Integrationsgrenzen<br />
Aufspaltung eines<br />
bestimmten Integrals<br />
Beliebige<br />
Integrationsvariable<br />
Ableitung nach der<br />
oberen Grenze<br />
b<br />
a<br />
a<br />
b<br />
c<br />
a<br />
<br />
b<br />
= <br />
<br />
c<br />
+ <br />
<br />
a<br />
<br />
b<br />
<br />
x <br />
f t dt<br />
<br />
<br />
<br />
a <br />
f x<br />
<br />
<br />
d<br />
dx<br />
5.4 Integrationsverfahren<br />
5.4.1 Grundintegrale<br />
f x dx f x dx f x dx<br />
f x dx = f t dt = f u du =...<br />
<br />
⇒ f x dx = − f x dx<br />
Mathe-Formeln Seite 12 Integralrechnung<br />
b<br />
a<br />
a<br />
<br />
b<br />
= (siehe Flächeninhaltsfunktion)<br />
n 1 n+<br />
1<br />
x dx = ⋅ x + C<br />
n+<br />
1<br />
( n≠<br />
−1)<br />
1<br />
+ 1<br />
=<br />
2<br />
1−x<br />
−<br />
+ 2<br />
dx<br />
1<br />
dx = ln x + C<br />
x<br />
arcsin x C<br />
arccos<br />
x C<br />
1 + 1<br />
= 2 <br />
1+<br />
x −<br />
+ 2<br />
dx<br />
x x<br />
e dx = e + C<br />
arctan<br />
x C<br />
arccot x C<br />
sinh xdx= cosh<br />
x+ C<br />
x 1 x<br />
a dx = ⋅ a + C<br />
lna cosh xdx= sinh<br />
x+ C<br />
sin xdx=− cos<br />
x+ C 1<br />
dx = tanh x C<br />
2<br />
cosh +<br />
x<br />
cos xdx= sin<br />
x+ C 1<br />
dx =− coth x C<br />
2<br />
sinh +<br />
x<br />
1<br />
dx = tan x C<br />
2<br />
cos +<br />
x 1<br />
dx = arsinh x + C = lnx+<br />
2<br />
x + 1<br />
2<br />
x + 1+<br />
C<br />
1<br />
2<br />
sin<br />
dx =− cot<br />
x + C<br />
x 1<br />
dx = arcosh x + C = ln x +<br />
2<br />
x −1<br />
2<br />
x − 1+<br />
C<br />
<br />
1<br />
= 2<br />
1−x<br />
dx<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
ar tanh x<br />
1<br />
+ C = ⋅ln<br />
2<br />
1<br />
arcoth x + C = ⋅ln<br />
2<br />
1+<br />
x<br />
1− +<br />
x<br />
x + 1<br />
−1<br />
+<br />
x<br />
C<br />
C<br />
für<br />
<br />
<br />
x < 1<br />
x > 1
5.4.2 Integration durch Substitution<br />
Die Methode der Integration durch Substitution entsteht durch Umkehrung der Kettenregel der<br />
Differentialrechnung und hat zum Ziel ein Integral in einfachere Grund- oder Stammintegrale<br />
zu zerlegen. Dabei geht man nach folgenden fünf Schritten vor:<br />
<br />
= + ⇒ = +<br />
Beispiel: f x 1 3x I 1 3xdx<br />
1.) Bestimmung einer Hilfsfunktion: ux = 1+ 3x<br />
2.) Transformation des Differentials:<br />
du<br />
= 3<br />
dx<br />
⇒<br />
1<br />
dx = ⋅du<br />
3<br />
3.) Durchführung der Substitution: 1 1<br />
1+ 3xdx<br />
= u ⋅ du = ⋅ u du<br />
3 3<br />
4.) Ermittlung der Stammfunktion in u: 1 1 2 32<br />
⋅ udu= ⋅ ⋅ u + C<br />
3 3 3<br />
5.) Rücksubstitution:<br />
2<br />
32<br />
I = ⋅ 1+ 3x + C<br />
9<br />
Wichtig dabei ist der Schritt 2, die Umrechnung des alten Differentials dx in das neue<br />
Differential du; dies erhält man durch Ableitung der Substitutionsgleichung u(x).<br />
Wichtige Integralsubstitutionen:<br />
Integraltyp Substitution neues Integral<br />
fax+ b ⋅ 1<br />
dx<br />
u = a x + b; du = a ⋅dx<br />
f u du<br />
a<br />
<br />
’<br />
<br />
⋅ <br />
’ <br />
<br />
<br />
f g x<br />
,<br />
⋅g<br />
x dx u= g x ;<br />
,<br />
du= g x dx f u du<br />
f x f x dx<br />
f x<br />
f x<br />
u= f x ;<br />
’<br />
du= f x dx 1 2<br />
udu= ⋅ u + C<br />
2<br />
dx u= f x ;<br />
’<br />
du= f x dx du<br />
= ln u + C<br />
u<br />
5.4.3 Partielle Integration (Produktintegration)<br />
Die Rechenvorschrift für die Partielle Integration oder Produktintegration entsteht durch<br />
Integration der Produktregel der Differentialrechnung:<br />
<br />
<br />
, ,<br />
ux⋅ v xdx= ux⋅vx− u x⋅vxdx Die Integration gelingt, wenn sich der Integrand in Faktoren u(x) und v’(x) mit folgenden<br />
Eigenschaften zerlegen läßt: Zu v’(x) kann einfach eine Stammfunktion ermittelt werden und<br />
das Integral auf der rechten Seite läßt sich lösen!<br />
Beispiel:<br />
,<br />
u=<br />
x; u = 1<br />
<br />
,<br />
v<br />
= cos x ; v = sin<br />
x<br />
<br />
x ⋅ cos x dx = x ⋅sin x − sin x dx<br />
= x⋅ sin x + cos x + C<br />
Mathe-Formeln Seite 13 Integralrechnung
5.4.4 Integration gebrochenrationaler Funktionen - Partialbruchzerlegung<br />
Jede unecht gebrochenrationale Funktion läßt sich eindeutig darstellen als Summe einer ganzrationalen<br />
Funktion und einer echt gebrochenrationalen Funktion. Ganzrationale Funktionen<br />
lassen sich leicht integrieren, echt gebrochenrationale Funktionen müssen erst in Summen von<br />
Partialbrüchen gemäß folgender Tabelle zerlegt werden:<br />
Nennerfaktor zugehöriger Ansatz<br />
x−x0 (einfach)<br />
A<br />
x x<br />
− 0<br />
2 x−x0 (doppelt)<br />
A1<br />
x−x0 A2<br />
+<br />
2 x−x0 ... ...<br />
2<br />
x + bx+ c (einfach)<br />
Bx+ C<br />
2<br />
x + bx+ c<br />
2<br />
2 x + bx+ c<br />
(doppelt)<br />
Bx 1 + C1<br />
2<br />
x + bx+ c<br />
B2 x C2<br />
2<br />
x bx c<br />
+<br />
+<br />
+ +<br />
... ...<br />
Vorgehensweise:<br />
<br />
1.) Die gegebene Funktion muß echt gebrochenrational sein, wenn nicht Polynomdivision!!<br />
2.) Abspaltung von Linearfaktoren durch ausklammern oder probieren (Nennernullstellen!).<br />
3.) Zerlegungsansatz nach Tabelle.<br />
4.) Mit Hauptnenner durchmultiplizieren.<br />
5.) Bestimmung der Koeffizienten durch Grenzwertmethode (einsetzen der Nennernullstellen)<br />
oder einsetzen einfacher Werte (z.B. 0, 1, ...) und Lösung des entstehenden LGS.<br />
Beispiel:<br />
x−<br />
x A A<br />
f x =<br />
x + x+<br />
x x x x<br />
x A x A x<br />
=<br />
1 −1<br />
1 2<br />
= + 2<br />
5 6 + 2 + 3 + 2 + 3<br />
− 1= + 3 + + 2<br />
Grenzwertmethode:<br />
Ergebnis: f x<br />
<br />
1 2<br />
x =−2: − 3= A1 ⇒ A1<br />
=−3<br />
x =−3: − 4=−A ⇒ A = 4<br />
=<br />
2 2<br />
x−<br />
−<br />
=<br />
x + x+ x+ x<br />
+ 1 3 4<br />
2<br />
5 6 2 + 3<br />
⋅HN<br />
Mathe-Formeln Seite 14 Integralrechnung<br />
2
Die resultierenden Partialbrüche lassen sich jetzt folgendermaßen integrieren:<br />
allgemein:<br />
A<br />
dx = A⋅ln x − x0 + C<br />
x−x0 A<br />
x−x0 <br />
A<br />
1 1<br />
dx =−A⋅ ⋅<br />
m m−1<br />
x−x m − 0 1 x−x0 Bx+ C<br />
2<br />
1<br />
dx =−A⋅ x−x Bei Integralen der Form<br />
x bx c dx muß man den Bruch weiter zerlegen, und zwar so<br />
+ +<br />
daß im ersten Teil der Summe im Zähler die Ableitung des Nenners steht und der zweite Teil<br />
der Summe im Zähler eine Konstante enthält.<br />
3x−1 Beispiel: I =<br />
dx = ?<br />
2<br />
x + 2x+ 5<br />
3x−1 3 2x+ 2 4<br />
= ⋅<br />
2 2 2<br />
x + 2x+ 5 2 x + 2x+ 5 x 1 4<br />
−<br />
+ +<br />
2<br />
x<br />
Integration durch Substitution (1.Summand: u= x + 2x+ 5; 2. Summand: u = +1<br />
2 ):<br />
3 2 x+<br />
1<br />
Ergebnis: I = ⋅ lnx + 2x+ 5−2⋅arctan C<br />
2<br />
2<br />
5.5 Uneigentliche Integrale<br />
Mathe-Formeln Seite 15 Integralrechnung<br />
2<br />
+<br />
Ist b eine Unendlichkeitsstelle von f(x), so definiert man:<br />
<br />
b<br />
a<br />
<br />
<br />
u<br />
<br />
u→b− a<br />
<br />
<br />
<br />
0<br />
+ C<br />
f x dx = lim f x dx (bei b uneigentliches Integral)<br />
Existiert ein endlicher Grenzwert, so heißt das Integral konvergent; ist der Grenzwert<br />
uneigentlich, so heißt das Integral divergent.<br />
Ist a eine Unendlichkeitsstelle von f(x), so erhält man das an der unteren Grenze a<br />
uneigentliche Integral durch eine entsprechende Definition.<br />
Beispiel:<br />
I =<br />
→−<br />
1<br />
0<br />
u<br />
dx<br />
dx<br />
u<br />
⇒<br />
= arcsin x = arcsin u ⇒ I = lim arcsin u =<br />
2<br />
2<br />
0 u 1<br />
1−x1−x 2<br />
0<br />
Ist der Integrationsbereich unbeschränkt, so definiert man:<br />
<br />
∞<br />
a<br />
<br />
<br />
<br />
b b<br />
b<br />
<br />
b→∞<br />
a→−∞<br />
a<br />
−∞<br />
a<br />
π<br />
<br />
f x dx = lim f x dx ; f x dx = lim f x dx<br />
Sind die Grenzwerte endlich, so heißen die uneigentlichen Integrale konvergent, andernfalls<br />
heißen sie divergent.
5.6 Einige andere häufig benötigte Integrale<br />
<br />
n+<br />
1<br />
n ax+ b ax+ b <br />
dx=<br />
n+ 1⋅a<br />
für n ≠−1<br />
dx<br />
ax b<br />
ax+ b a<br />
= ⋅ + 1<br />
ln<br />
xdx x b<br />
ax b<br />
ax+ b a a<br />
= − ⋅ + ln 2 xdx b 1<br />
=<br />
+ ⋅ ln ax+ b<br />
2 2 2<br />
ax+ b<br />
a ⋅ ax+ b a<br />
dx 1 ax+ b<br />
=− ⋅ln<br />
x⋅ ax+ b b x<br />
<br />
2<br />
3<br />
ax+ bdx=<br />
⋅ ax+ b<br />
3a<br />
dx 1 1 ax+ b<br />
= − ⋅ln<br />
2 2<br />
x⋅ ax+ b b⋅ ax+ b b x<br />
2⋅ 3ax−2b x⋅ ax+ bdx = ⋅ ax+ b<br />
15a 2<br />
dx<br />
ax b<br />
ax+ b a<br />
3 <br />
= ⋅ + 2 dx 2⋅ ax−2b = ⋅ ax+ b<br />
x⋅ ax+ b 3a 2<br />
<br />
2 2 2 2<br />
x⋅ a + x dx = ⋅ a + x<br />
3<br />
1 xdx ⋅<br />
2 2<br />
= a + x<br />
2 2<br />
3 a + x<br />
cos ax<br />
sinax<br />
2 x sin 2 ax x sin ax cos ax<br />
dx=−<br />
sin ⋅ <br />
xdx=<br />
− = −<br />
a<br />
2 4a2 2a<br />
sin a b x sin a b x<br />
sinax sinbx<br />
− ⋅<br />
+ ⋅<br />
2 2<br />
⋅ dx=<br />
−<br />
für a ≠b<br />
2⋅a−b 2⋅<br />
a+ b<br />
ax x ax<br />
x⋅ ax dx = −<br />
a a<br />
⋅ sin cos<br />
sin<br />
<br />
ax x ax<br />
x⋅ ax dx = + 2<br />
a a<br />
⋅ cos sin<br />
cos<br />
<br />
2<br />
sin a b x sin a b x<br />
cosax cosbx<br />
− ⋅<br />
+ ⋅<br />
2 2<br />
⋅ dx=<br />
+<br />
für a ≠b<br />
2⋅a−b 2⋅<br />
a+ b<br />
sin ax<br />
cosax<br />
2 x sin 2ax<br />
x sin ax cos ax<br />
dx=<br />
cos ⋅ <br />
xdx=<br />
+ = +<br />
a<br />
2 4a2 2a<br />
<br />
<br />
2<br />
sin ax<br />
sin ax ⋅ cos ax dx=<br />
2a<br />
tanaxdx=− ⋅ln<br />
cosax<br />
a<br />
1<br />
cotaxdx=− ⋅ln<br />
sinax<br />
a<br />
1<br />
e dx<br />
a e ax ax<br />
= ⋅<br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
n+1<br />
n<br />
sin ax<br />
sin ax ⋅ cos ax dx=<br />
für n ≠−1<br />
n+ 1⋅a<br />
2 tan ax<br />
tan ax <br />
dx=<br />
−x<br />
a<br />
2 cot ax<br />
cot ax <br />
dx=−<br />
−x<br />
a<br />
<br />
ax<br />
ax<br />
e<br />
e ⋅ sinbxdx = ⋅ a⋅sinbx−b⋅cosbx 2 2<br />
a + b<br />
ax ax−1<br />
ax<br />
ax<br />
x⋅ e dx = ⋅eax<br />
e<br />
a ∫e ⋅ cos bx dx = 2 2 ⋅ a⋅ cos bx + b⋅sin bx<br />
a + b<br />
ln xdx x ln<br />
2 3<br />
= ⋅ x−1<br />
ln x dx = x⋅ ln x −2x⋅ ln<br />
x + 2x<br />
m<br />
m<br />
x<br />
x ⋅ x dx = x für m<br />
m+<br />
m<br />
⋅ − <br />
+ 1 1 <br />
ln ln<br />
ln<br />
x<br />
≠−1<br />
dx = ⋅ ln<br />
x<br />
1 + 1<br />
x<br />
1<br />
2<br />
2<br />
[ ]<br />
2 ( ) ( ) ( )<br />
<br />
<br />
Mathe-Formeln Seite 16 Integralrechnung
6. Differentialgleichungen<br />
6.1 Allgemeine DGL 1. Ordnung<br />
6.1.1 Integration durch Trennung der Variablen - Separierbare DGL<br />
Anwendung bei DGL´s der Form: y<br />
Lösung durch Einführung von: y<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
dy<br />
dx<br />
= ⇒<br />
<br />
= +<br />
<br />
f x g y<br />
= y = y = f x ⋅g<br />
y<br />
g y f x<br />
, , ,<br />
,<br />
= dadurch ergibt sich: g y dy = f x dx<br />
<br />
durch Integration ergibt sich: g y dy f x dx G y F x C<br />
<br />
Häufig ergeben sich Terme der Form:<br />
dy<br />
=<br />
y<br />
dx ⇒ ln y = x + ln C<br />
*<br />
hier ist es sinnvoll eine Integrationskonstante mit ln *<br />
C zu wählen, dadurch ergibt sich:<br />
6.1.2 Integration durch Substitution<br />
y<br />
C<br />
ln *<br />
<br />
,<br />
Typ I: DGL´s der Form: y = f ax+ by+ c<br />
* x x<br />
x y C e y C e<br />
= ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅<br />
<br />
Substitution: u= ax+ by+ c u= u x , y = y x (*)<br />
, ,<br />
differenzieren nach x: u = a+ b⋅y , ,<br />
mit y = f u ergibt sich u = a+ b⋅ f u<br />
<br />
du<br />
du<br />
⇒ separierbare DGL: ⇒ = a+ b⋅ f u ⇒ dx =<br />
dx<br />
a+ b⋅ f u<br />
Integration ergibt u. x<br />
Rücksubstitution: u x in Substitutionsgleichung (*) einsetzen<br />
und nach y x auflösen.<br />
Typ II: DGL´s der Form:<br />
Substitution:<br />
, y<br />
y = f<br />
<br />
x<br />
y<br />
u =<br />
x<br />
Ähnlichkeitsdgl.<br />
u= u x , y = y x<br />
(*)<br />
damit: y = x⋅u differenzieren ergibt:<br />
, ,<br />
y = u+ x⋅u mit y f u<br />
<br />
du dx<br />
f u − u x<br />
=<br />
<br />
, , ,<br />
= ergibt sich: f u = u+ x⋅u ⇒ x⋅ u = f u −u<br />
⇒ separierbare DGL:<br />
Rücksubstitution ergibt y x<br />
du<br />
⋅ x = f u<br />
dx<br />
−u ⇒<br />
.<br />
Mathe-Formeln Seite 17 Differentialgleichungen
6.2 Lineare DGL 1. Ordnung<br />
, <br />
DGL´s der Form: y x + g x ⋅ y x = r x<br />
1. Schritt: Lösung der homogenen DGL<br />
y , x + g x ⋅ y x =0 separierbar! dy<br />
dy<br />
=−g x ⋅y x ⇒ =−<br />
dx<br />
y<br />
ln ln *<br />
−G<br />
x<br />
y =− G x + C ⇒ yh x = C ⋅ e<br />
<br />
= C ⋅y1<br />
x<br />
<br />
<br />
2. Schritt: Lösung der inhomogenen DGL durch Variation der Konstanten<br />
Ansatz: y x = C x ⋅y1 x (*)<br />
<br />
, ′<br />
,<br />
= ⋅ 1+ ⋅ 1<br />
y x C x y x C x y x<br />
einsetzen in inhomogene DGL:<br />
1 1 1<br />
<br />
<br />
′ rx<br />
rx<br />
C x<br />
C x<br />
y x<br />
y x <br />
<br />
1 1<br />
<br />
<br />
rx<br />
y x<br />
y x <br />
1<br />
′<br />
,<br />
C x ⋅ y x + C x ⋅ y x + g x ⋅ y x = r x<br />
⇒ = ⇒ = dx + K<br />
einsetzen in Ansatz (*): ⇒ = +<br />
⋅ dx K y1 x<br />
<br />
[...] = 0 !!! (siehe DGL)<br />
g x dx<br />
Allgemein: y x = yh x + yp x<br />
r x<br />
G x<br />
mit yh x K y x yp x y <br />
−<br />
= ⋅ = x ⋅ dx und y x e<br />
y = <br />
1 ,<br />
1<br />
1<br />
1 x<br />
Eine andere Möglichkeit bietet auch ein geeigneter "Störansatz" zur Bestimmung von yp x<br />
(siehe Lineare DGL n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten)<br />
6.3 Lineare DGL 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten<br />
, <br />
DGL´s der Form: y x + a⋅ y x = r x<br />
1. Schritt: Lösung der homogenen DGL<br />
, h<br />
y x + a⋅ y x = 0 ⇒ y x = C⋅e 2. Schritt: Lösung der inhomogenen DGL<br />
Mathe-Formeln Seite 18 Differentialgleichungen<br />
−ax ⋅<br />
Möglichkeit 1: Variation der Konstanten (s.o.)<br />
Möglichkeit 2: "Störansatz"
6.4 DGL 2. Ord. die auf 1. Ord. zurückgeführt werden können<br />
durch Substitution in zwei besonderen Fällen:<br />
Typ A: y f x, y<br />
= (... y fehlt!)<br />
,, ,<br />
Substitution: u = y<br />
,<br />
2<br />
,, ,<br />
Beispiel: y + y = 0<br />
Sub: u = y<br />
, ,, , du<br />
du 2<br />
⇒ y = u = ⇒ + u = 0<br />
dx<br />
dx<br />
<br />
separierbage DGL: −<br />
du<br />
= 2<br />
u<br />
dx ⇒<br />
1<br />
= x+ C<br />
u<br />
Rücksub: dx<br />
y = u⋅ dx = = ln x+ C1 x+ C1<br />
+ C2<br />
,,<br />
Typ B: y = f y (... x und y´ fehlen!)<br />
Multiplikation mit y´ ("integrierender Faktor")<br />
<br />
<br />
<br />
, ,, , , ,, ,<br />
⇒ y ⋅ y = f y ⋅y ⇒ y ⋅y ⋅ dx = f y ⋅y ⋅dx<br />
mit<br />
, dy<br />
y =<br />
dx<br />
⇒ y ⋅ dy = f y ⋅dy<br />
wegen:<br />
d , y<br />
dx<br />
, ,,<br />
y y<br />
2<br />
= 2⋅<br />
⋅ ⇒ y 1<br />
⋅ dy = ⋅<br />
2<br />
y<br />
⇒<br />
1 ,<br />
2<br />
⋅ y = f y ⋅dy<br />
2<br />
Beispiel: y<br />
,, <br />
,, ,<br />
1<br />
=− ; y 0 = 2; y 0 = 1<br />
y<br />
,, ,<br />
Mathe-Formeln Seite 19 Differentialgleichungen<br />
<br />
2 Multiplikation mit y´:<br />
<br />
y<br />
dy<br />
⇒ y ⋅ y =− ⇒ y ⋅ dy =− ⇒ ⋅ y = +<br />
y<br />
y<br />
y C<br />
,<br />
,, ,<br />
,, 1 ,<br />
2 1<br />
2 2<br />
2<br />
<br />
,<br />
mit y 0 = 2; y 0 = 1 ergibt sich<br />
, 2<br />
⇒ y = ⇒<br />
y<br />
3<br />
2<br />
2<br />
⇒ ⋅ y2 = 2⋅<br />
x+ C2 ⇒ y = ⋅ 2⋅<br />
x+ K<br />
3<br />
3<br />
1<br />
2<br />
2<br />
<br />
1<br />
= + C1 ⇒ C1<br />
= 0<br />
2<br />
, dy<br />
mit y = ⇒ y⋅ dy = 2⋅dx<br />
dx<br />
<br />
<br />
2<br />
3<br />
0<br />
2<br />
3<br />
!<br />
2 8 <br />
<br />
1<br />
<br />
2<br />
mit y = K = ⇒ K = ⇒ y x = ⋅ 2⋅ x+<br />
8<br />
3<br />
<br />
2<br />
3<br />
1
6.5 Lineare DGL n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten<br />
( n)<br />
( n−1)<br />
,<br />
DGL´s der Form: a y + a y + ... + a y + a y = r x<br />
n<br />
n−1<br />
1 0 <br />
1. Schritt: Lösung der homogenen DGL mit charakteristischer Gleichung<br />
Ansatz: aus der n-ten Ableitung von y wird die n-te Potenz von λ<br />
( n)<br />
( n−1)<br />
,<br />
a y + a y + ... + a y + a y =<br />
n<br />
n−1<br />
1 0 0<br />
n<br />
( n−1)<br />
⇒ a λ + a λ + ... + a λ+<br />
a =<br />
n<br />
n−1<br />
1 0 0<br />
⇒ jedes Polynom n-ten Grades hat genau n Nullstellen λ k , die entweder reell<br />
oder paarweise konjugiert komplex sind. Zu jedem λ k gehört eine<br />
Fundamentallösung: y e<br />
k<br />
k x<br />
= λ<br />
2<br />
,,<br />
+ 1<br />
,<br />
+ 0 = 0<br />
Beispiel DGL 2. Ordnung: a y a y a y<br />
(Euler-Ansatz)<br />
2<br />
⇒ charakteristische Gleichung: a λ + a λ+<br />
a =<br />
2<br />
1 0 0<br />
Lösung dieser Quadratischen Gleichung unterscheidet 3 Fälle:<br />
Fall 1: λ1 ≠λ2 ∈R ⇒ allgemeine Lösung: yh = C1⋅ e + C2⋅e λ1⋅x λ2⋅x<br />
λ⋅x<br />
<br />
ax ⋅ 1 cos 2 sin <br />
Fall 2: λ1 = λ2 = λ∈R<br />
⇒ allgemeine Lösung: yh = C1+ C2⋅x ⋅e<br />
Fall 3: λ12 , = a± jb∈C ⇒ allgemeine Lösung: y = e ⋅ C ⋅ bx+ C ⋅ bx<br />
Wenn a0 = 0 (kein y in DGL) λ = 0,<br />
λ = ? y = C + C ⋅e<br />
1 2<br />
Mathe-Formeln Seite 20 Differentialgleichungen<br />
h<br />
h<br />
1 2<br />
2. Schritt: Lösung der inhomogenen DGL mit "Störansatz"<br />
Man ermittelt eine allgemeine Form für yp , die der Form der Störfunktion r(x) angepaßt ist,<br />
und führt einen sinnvollen Koeffizientenvergleich durch. Dabei sind zwei Fälle zu unterscheiden:<br />
Normalfall und Resonanzfall. Besteht die Störfunktion aus zwei oder mehreren<br />
additiven Anteilen r1 (x) und r2 (x), so ermittelt man zwei unterschiedliche partikuläre<br />
Lösungen yp1 und yp2 und addiert sie. Anschließend muß man den Ansatz n mal ableiten und<br />
in die DGL einsetzen. Nach Vereinfachung führt man den Koeffizientenvergleich durch.<br />
Störfunktion r(x) Ansatz yp ohne Resonanz<br />
a A<br />
x n<br />
a + a x+ ... + a x<br />
0 1<br />
a e kx ⋅<br />
⋅<br />
a⋅cos mx<br />
a⋅sinmx a ⋅ cos mx + a ⋅sin<br />
mx<br />
1 2<br />
kx ⋅<br />
a⋅e ⋅cos<br />
mx<br />
kx ⋅<br />
a⋅e ⋅sin<br />
mx<br />
n<br />
kx ⋅ kx ⋅<br />
a ⋅e⋅ cos mx + a ⋅e⋅sin mx<br />
1 2<br />
n<br />
A + A x+ ... + A x<br />
0 1<br />
Ae kx ⋅<br />
⋅<br />
A ⋅ cos mx + A ⋅sinmx<br />
1 2<br />
n<br />
n<br />
λ2⋅x<br />
kx ⋅ kx ⋅<br />
A ⋅e⋅ cos mx + A ⋅e⋅sin mx<br />
1 2
Achtung: Resonanzfall!<br />
Im Resonanzfall muß ein modifizierter Ansatz durchgeführt werden. Resonanz liegt vor, wenn<br />
die (oder ein Teil der) Störfunktion einer Fundamentallösung der DGL entspricht oder wenn<br />
eine der folgenden Situationen vorliegt:<br />
Störfunktion r(x) Ansatz yp mit Resonanz<br />
a0 x⋅A0 a + a x+ ... + a x<br />
0 1<br />
a) = 0 einfacher Eigenwert<br />
b) = 0 s-facher Eigenwert<br />
n<br />
kx ⋅ kx ⋅<br />
a ⋅e⋅ cos mx + a ⋅e⋅sin mx<br />
1 2<br />
a) = k jm einfache Eigenwerte<br />
b) = k jm s-fache Eigenwerte<br />
n<br />
,, ,<br />
Beispiel: y −6y − 16y = 3+ 2x<br />
n 0 1 ... n <br />
n 0 1 ... n <br />
x⋅ A + A x+ + A x<br />
s<br />
x ⋅ A + A x+ + A x<br />
1 2 <br />
1 2 <br />
kx ⋅ kx ⋅<br />
x⋅ A ⋅e ⋅ cos mx + A ⋅e ⋅sinmx<br />
s k⋅x k⋅x x ⋅ A ⋅e ⋅ cos mx + A ⋅e ⋅sinmx<br />
2<br />
1. Schritt: char. Gl. λ −6λ− 16= 0 ⇒ λ = − 2, λ = 8<br />
2. Schritt: rx = 3+ 2x ⇒ keine Resonanz<br />
1 2<br />
−2<br />
⇒ y = C ⋅ e + C ⋅e<br />
, ,,<br />
⇒ y = A + Ax, y = A , y =<br />
p 0 1 p 1 p 0<br />
in DGL: −6A −16A − 16Ax = 3+ 2x<br />
1 0 1<br />
Koeffizientenvergleich:<br />
1<br />
x : − 16 A1<br />
= 2<br />
0<br />
x : −6A − 16A = 3<br />
1 0<br />
9 1<br />
⇒ yp =− − x<br />
64 8<br />
−2x<br />
8x<br />
9 1<br />
3. Schritt: y = yh + yp = C1⋅ e + C2⋅e − − x<br />
64 8<br />
Mathe-Formeln Seite 21 Differentialgleichungen<br />
<br />
<br />
<br />
h<br />
1<br />
x 8x<br />
2<br />
1 9<br />
⇒ A1 = − , A2<br />
= −<br />
8 64
Komplexer Ansatz für die partikuläre Lösung<br />
1 2 <br />
kx ⋅<br />
p=<br />
⋅ 1⋅ cos<br />
= Re p= Rep kx ⋅<br />
+ 2⋅<br />
sin = ⋅ ⋅ cos kx ⋅ jmx = ⋅ ⋅<br />
+ Φ<br />
<br />
<br />
kx ⋅ jmx<br />
p<br />
+ ϕ<br />
= ⋅ ⋅<br />
<br />
+ ϕ<br />
kx ⋅ kx ⋅<br />
Störfunktionen der Form: r x = e ⋅ a ⋅ cos mx + a ⋅ sinmx = a ⋅e⋅ cos mx + Φ<br />
zugehöriger Ansatz: y x e A mx A mx A e mx<br />
komplexe Darstellung: r x r x mit r x a e e<br />
y x y x mit y x A e e<br />
Ableiten von yp x und einsetzen in die zugehörige komplexe DGL führt zu einer komplexen<br />
Bestimmungsgleichung für A und .<br />
Beispiel:<br />
,, ,<br />
−x<br />
y + 4y + 3y = 8e ⋅cos<br />
2 x (Eigenwerte -1,-3; keine Resonanz!)<br />
−x −x j x j x<br />
rx e x e e<br />
2 = ⋅ = ⋅<br />
<br />
= e<br />
2 −1<br />
8 cos 2 8 8<br />
<br />
− x j x j j x<br />
Ansatz: yp x Ae e<br />
2 + ϕ<br />
= ⋅<br />
ϕ<br />
= Ae ⋅e<br />
2 −1<br />
y x<br />
jϕ j x<br />
Ae e<br />
2 −1<br />
= ⋅<br />
<br />
⋅ 2j−1 Ableiten: ,<br />
p<br />
,,<br />
p<br />
<br />
jϕ j x j j x<br />
2 −1 2 ϕ<br />
= ⋅ ⋅ − = ⋅<br />
2 −1<br />
2 1<br />
<br />
⋅−3−4 <br />
y x Ae e j Ae e j<br />
in DGL:<br />
,, ,<br />
−x j2x y + 4y + 3y = 8e ⋅ e<br />
2j−1 x<br />
= 8e<br />
⇒ Ae<br />
ϕ<br />
⋅e 2 −1 ⋅ −3− 4j+ 4⋅ 2j− 1 + 3<br />
2 −1 = 8e<br />
2<br />
e<br />
−1<br />
6.6 Euler´sche DGL<br />
Mathe-Formeln Seite 22 Differentialgleichungen<br />
<br />
:<br />
4 4 8 4 2<br />
3π<br />
j<br />
4 8<br />
j j x j x j x<br />
jϕ jϕ<br />
⇒ Ae ⋅ − + j = ⇒ Ae ⋅ ⋅ e =<br />
⇒<br />
3π<br />
−j<br />
jϕ<br />
8 4 Ae = ⋅e 4 2<br />
⇒ A = 2,<br />
3π<br />
ϕ = −<br />
4<br />
⇒ y =<br />
3π<br />
−j<br />
4 2j−1x 2⋅e ⋅ e =<br />
3π<br />
j 2x−<br />
−<br />
⋅ ⋅<br />
x<br />
4<br />
2 e e<br />
p<br />
2 2 <br />
−x<br />
⇒ y = Re y= ⋅e ⋅cos x−<br />
p p<br />
n ( n)<br />
2 ,, ,<br />
DGL´s der Form: a x y + ... + a x y + a xy + a y = r x y = f x !<br />
n<br />
2<br />
3π<br />
4<br />
<br />
1 0 <br />
t<br />
y<br />
y y<br />
Substitution: x = e y = y = t t<br />
e<br />
e<br />
−<br />
, ,, <br />
;<br />
;<br />
2<br />
Einsetzen in DGL ergibt eine DGL mit konstanten Koeffizienten für y(t)!<br />
yt =...<br />
Rücksubstitution: über: t =lnx ergibt Lösung: y = f(x)!<br />
(ersetze alle eat durch xa !)
6.7 Anfangs- Rand- und Eigenwertprobleme<br />
Anfangswertproblem<br />
Merkmal: mehrere Bedingungen an der gleichen Stelle x0 :<br />
<br />
,<br />
Bsp. DGL 2. Ordnung: 2 Anfangsbedingungen yx = y; y x = y<br />
0 0 0 1<br />
Randwertproblem<br />
Merkmal: mehrere Bedingungen an unterschiedlichen Stellen a, b:<br />
,,<br />
Bsp.: y + y =0 allg. Lösung: yx = C1cos x+ C2sin x<br />
a) y= 0 0 ⇒ 0= C1cos0+ C2sin 0 ⇒ C1<br />
= 0<br />
<br />
π π π<br />
y 1 1 C cos C sin C<br />
2<br />
2 2<br />
<br />
1 2 2<br />
= ⇒ = + ⇒ =<br />
⇒ y = sin x<br />
P<br />
b) y= 0 0 ⇒ 0= C1cos0+ C2sin 0 ⇒ C1<br />
= 0<br />
y= π 1 ⇒ 1= C1cosπ+ C2sin π ⇒ C1<br />
= −1<br />
Widerspruch! keine Lösung für dieses RWP!<br />
c) y= 0 0 ⇒ 0= C1cos0+ C2sin 0 ⇒ C1<br />
= 0<br />
y= π 0 ⇒ 0= C1cosπ+ C2sin π ⇒ C1<br />
= 0<br />
Eigenwertproblem<br />
,, 2<br />
Bsp. schwingende Saite: y + ω y =<br />
kein Widerspruch! C 2 ist frei wählbar!<br />
allg. Lösung für dieses RWP: yP = C2⋅sin x<br />
0 allg. Lösung: y = C cos ωx + C sin ωx<br />
y= 0 0 ⇒ 0= C1⋅ 1+ C2⋅0 ⇒ C1<br />
= 0<br />
<br />
C sinωl yl = 0 ⇒ 0= C1cos ωl+ C2sin ωl<br />
Mathe-Formeln Seite 23 Differentialgleichungen<br />
1<br />
<br />
1 2<br />
mit C1 = 0 ⇒ 0= 2⋅<br />
nichttrivial lösbar falls: sinωl=0 ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅<br />
⇒<br />
ω l n π<br />
yP = C2⋅sinωx n π<br />
ω<br />
l<br />
⇒ yn ⇒ C2 = beliebig<br />
n⋅π<br />
= Cn⋅sin<br />
⋅x<br />
l<br />
∞<br />
n⋅π<br />
Gesamtschwingungsbild: yx = ∑Cn⋅sin ⋅x<br />
l n=<br />
1
6.8 Anwendung: Schwingungs - DGL<br />
6.8.1 Freie Schwingungen<br />
DGL´s der Form: ax + bx + cx=0<br />
b<br />
c<br />
2 2<br />
δ<br />
Mit den Abkürzungen: δ = ; ω0 = ; ωd = ω0 − δ ; D=<br />
2a<br />
a<br />
ω<br />
2<br />
2 2<br />
ergibt sich: x+ 2δx+ ω0x = 0 mit den Lösungen: λ12 , δ δ ω0<br />
=− ± −<br />
Fall 1: δ = 0 ⇔ D= 0<br />
ungedämpfte Schwingung<br />
<br />
λ12 , =± j⋅ω0⇒ x t = C1cos ω0t + C2sin ω0t<br />
Fall 2: 0< δ< ω ⇔ 0< D< 1<br />
schwache Dämpfung<br />
0<br />
<br />
−δt<br />
λ12 , =− δ± j⋅ωd ⇒ x t = e ⋅ C1cos ωd t + C2sin ωd<br />
t<br />
Fall 3: δ = ω ⇔ D= 1<br />
Grenzfall<br />
λ , δ =− ⇒ = + ⋅ −<br />
0<br />
<br />
δ<br />
12 xt C1 Ct 2 e t<br />
Fall 4: δ> ω ⇔ D> 1<br />
starke Dämpfung<br />
0<br />
<br />
2 2<br />
λ12 , δ δ ω0<br />
1 2<br />
=− ± − ⇒ = +<br />
xt Ce Ce<br />
6.8.2 Erzwungene Schwingungen<br />
λ t λ t<br />
1 2<br />
<br />
2 2<br />
DGL´s der Form: x+ δx+ ω x = ω x⋅cos ω t<br />
2 0 0 E E<br />
p= p⋅cosωE −ϕ<br />
mit Lösung: x t x t<br />
Allgemeiner Fall: δ > 0 ⇔ D><br />
0<br />
Fall 1: ω ω ϕ π<br />
E < 0 ⇒ 0<<br />
<<br />
2<br />
unterkritisch<br />
Fall 2: ωE > ω0<br />
⇒<br />
π<br />
< ϕ< π<br />
2<br />
überkritisch<br />
Fall 3: ω ω ϕ π<br />
E = 0 ⇒ =<br />
2<br />
⇒ xp=<br />
2<br />
ω ⋅ 0 xE<br />
2 2<br />
2<br />
2 2<br />
ω − ω + 4δ<br />
ω<br />
;<br />
2δωE<br />
tanϕ<br />
= 2 2<br />
ω0 −ωE<br />
0 E E<br />
ω<br />
x<br />
E<br />
δ<br />
<br />
Mit den Abkürzungen: u= ; D= ; V =<br />
ω<br />
ω<br />
x<br />
ergibt sich: V<br />
=<br />
0 0<br />
<br />
1<br />
1− u + 4D<br />
u<br />
2 2<br />
2 2<br />
2Du<br />
; tanϕ = 2<br />
1−u<br />
Mathe-Formeln Seite 24 Differentialgleichungen<br />
p<br />
E<br />
0<br />
V ... Amplitudengang<br />
... Phasengang
6.9 DGL - Systeme<br />
6.9.1 Normalform einer DGL n-ter Ordnung<br />
Jede DGL n-ter Ordnung läßt sich in ein System von DGLs 1. Ordnung umwandeln.<br />
Man führt dazu Zustandsgrößen ein, und erhält ein System der Zustandsgleichungen:<br />
<br />
Geg: y x= f xyy , , ,..., y<br />
<br />
( n) , ( n−1)<br />
y = y1<br />
,<br />
y =<br />
,<br />
y = y<br />
,,<br />
y =<br />
,<br />
y = y<br />
,,,<br />
y =<br />
,<br />
y = y<br />
1 2<br />
2 3<br />
3 4<br />
: : :<br />
<br />
( n)<br />
,<br />
y = y = f x, y , y ,..., y<br />
n 1 2 n<br />
Bsp. x − 3x+ 2x = t ⇒ x = − 2x+ 3x+<br />
t<br />
x = x<br />
x<br />
x = x = x<br />
⇔ x<br />
x = x = x<br />
x<br />
x = x = − x + x + t<br />
= <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
− <br />
⋅<br />
1<br />
1<br />
0 1 0<br />
1<br />
2<br />
2<br />
0 0 1<br />
2<br />
3<br />
3<br />
2 3 0<br />
3<br />
2 1 3 2<br />
In kompakter Matrixschreibweise: x = A⋅ x+ r t<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Normalform<br />
x<br />
x<br />
x t<br />
+<br />
1 0<br />
2 0 <br />
<br />
Mathe-Formeln Seite 25 Differentialgleichungen<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
3<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
6.9.2 Systeme linearer DGL 1.Ordnung mit konstanten Koeffizienten<br />
h p<br />
DGL´s der Form: x = A⋅ x+ r t haben die Lösung: xt = x t + x t<br />
1. Schritt: Lösung des homogenen Systems<br />
1.) x = A⋅x 2.) x = c⋅ e ; x = λc⋅e<br />
λt λt<br />
0 nichttrivial lösbar für<br />
− λ = 0 charakt. Gleichung n Eigenwerte<br />
3.) λc= A⋅c ⇔ A−λE ⋅ c=<br />
4.) det A E<br />
5.) λ1,..., λn<br />
einsetzen in (3) c (i)<br />
6.)<br />
7.)<br />
() i () i λit<br />
x = c e Fundamentallösungsvektoren<br />
( 1)<br />
( 2)<br />
( n)<br />
x= t K1x + K2 x + ... + Knx Dieses Schema funktioniert für einfache reelle Eigenwerte!
Bsp: x1 = 2x1+<br />
x2<br />
x2 = 3x1+ 4x2<br />
⇒ = ⋅ = x A x mit<br />
⇒ det A− λE=<br />
0!<br />
2 1<br />
A ⇒ A−λE⋅ c = 0!<br />
3 4<br />
2−λ 1 2<br />
⇒<br />
= λ − 6λ+ 5= 0<br />
3 4−λ<br />
⇒ λ1 = 5; λ2<br />
= 1 (Eigenwerte)<br />
3 1 1<br />
mit λ1 = 5 ⇒ 0<br />
3 1 2<br />
− <br />
−⋅<br />
<br />
=<br />
:<br />
c<br />
c<br />
1 1 1<br />
mit λ2 = 1 ⇒ 0<br />
3 3 2<br />
<br />
⋅ <br />
=<br />
:<br />
c<br />
c<br />
⇒ =<br />
1 1<br />
5t<br />
t<br />
xt K1 e + K2 e<br />
3 −1<br />
<br />
<br />
Wahl: c1 = 1 c2 = 3 ⇒ = c () 1 1<br />
3<br />
( ) <br />
Wahl: c1 = 1 c2 = -1 ⇒ c =<br />
−<br />
2 1<br />
1<br />
Neben reellen, kann A auch einfache Paare konjugiert Komplexer Eigenwerte besitzen:<br />
Zu 1,2 = a jb erhält man komplexe Fundamentallösungsvektoren: <br />
sind dann die reellen Fundamentallösungsvektoren.<br />
() 1 ( 2)<br />
x = Re x ; x = Im x<br />
Beispiel:<br />
<br />
<br />
⇔ <br />
<br />
− = − λ<br />
1 λ 4<br />
x1 = x1+ 4x2 x1<br />
1 4<br />
x2 =− x1+ x2<br />
x2<br />
1 1<br />
= −<br />
<br />
⋅ x<br />
x<br />
⇔ x= A⋅x x = ce<br />
( a± jb) t<br />
Mathe-Formeln Seite 26 Differentialgleichungen<br />
1<br />
2<br />
<br />
<br />
2<br />
det A E = λ − 2λ+ 5= 0 ⇒ λ12<br />
, = 1± 2 j<br />
−1 1−λ<br />
Einsetzen von λ1 = 1+ 2 j in LGS: − <br />
− − ⋅ <br />
= ⇒ = 2 j 4 c1<br />
2<br />
j<br />
0 c<br />
1 2 j c2<br />
−1<br />
j<br />
( j) t 2<br />
1+ 2 t<br />
Komplexer Lösungsvektor: x= ce = ⋅e ⋅ cos 2t+ j⋅sin 2t<br />
−1<br />
sin t jcos t sin t cos t<br />
t− + t t<br />
x = e<br />
e<br />
je<br />
−cos t− jsin t cos t sin t<br />
= −<br />
<br />
−<br />
+<br />
2 2 2 2 2 2 2<br />
2<br />
2 2<br />
2 −<br />
2<br />
Lösung als Linearkombination:<br />
t<br />
() 1<br />
( 2) x t e K t K t<br />
xt 1= − 2 1sin 2 + 2 2cos<br />
2 <br />
= Kx 1 + K2 x ⇔ <br />
t<br />
x t = e −K cos 2t −K<br />
sin 2t<br />
Stabilität von DGL-Systemen:<br />
Ein DGL-System x = A⋅ x heißt:<br />
<br />
<br />
2 1 2<br />
a) stabil, wenn alle Lösungsfunktionen beschränkt sind,<br />
b) asymtotisch stabil, wenn gilt: Re
2. Schritt: Lösung des inhomogenen Systems<br />
Zur Lösung der inhomogenen DGL x = A⋅ x+ r t wird ein geeigneter Störansatz gemäß der<br />
Form der Störfunktion r(t) gemacht:<br />
p1t<br />
t<br />
Fall 1.) Störfunktion von der Form: rt <br />
<br />
= <br />
α<br />
: e<br />
p (i) vom Grad m<br />
p t<br />
<br />
n<br />
<br />
a) = 0, und = 0 kein Eigenwert! (keine Resonanz)<br />
q<br />
1 t<br />
⇒ = <br />
x p : alle q (i) vom Grad = m!<br />
q t<br />
<br />
n<br />
<br />
b) 0, und = kein Eigenwert! (keine Resonanz)<br />
q<br />
1 t<br />
⇒ = <br />
αt<br />
x p : e<br />
alle q (i) vom Grad = m!<br />
q t<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
n<br />
Fall 2.) Störfunktion von der Form: rt<br />
() 1<br />
= a cos βt ( 2)<br />
+ a sin βt<br />
Voraussetzung: λ =± β j kein Eigenwert! (keine Resonanz)<br />
⇒ x<br />
() 1<br />
= d cos βt ( 2)<br />
+ d sin βt<br />
= <br />
<br />
<br />
p<br />
<br />
<br />
<br />
Bsp:<br />
t<br />
x x e<br />
t<br />
t<br />
⋅ −<br />
+ −<br />
2 1 3<br />
3 4 3 5<br />
1. homogene Lösung siehe oben: xh= t K e K e<br />
2. inhomogene Lösung: Ansatz mit<br />
1 5 1<br />
1 + 2<br />
3 −1<br />
x<br />
p<br />
=<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
t t<br />
a a t<br />
a a a t<br />
e x<br />
b b t b b b t e<br />
0 + 1<br />
− −<br />
−t 1 0 1 −t<br />
⇒ p =<br />
(Kettenregel!)<br />
0 + 1 1− 0 − 1<br />
einsetzen in DGL und :e t −<br />
⇒<br />
⇒<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
= <br />
⋅ 2 1<br />
3 4<br />
<br />
<br />
− −<br />
+<br />
− −<br />
+ − a1 a0 a1t a0 a1t 3t<br />
b1 b0 b1t b0 b1t 3t+ 5<br />
3a0 − a1+ b0 + 3a1+<br />
b1 t <br />
<br />
3t<br />
=<br />
3a − b + 5b + 3a + 5b<br />
t 3t+ 5<br />
Koeffizientenvergleich ergibt: a 0; a 1; b 1; b 0 x<br />
<br />
Mathe-Formeln Seite 27 Differentialgleichungen<br />
<br />
<br />
<br />
0 1 0 1 1<br />
t t<br />
0 = 1 = 0 = 1 = ⇒ p = e<br />
1<br />
−<br />
t t t t<br />
= h + p = e<br />
1 1<br />
5 <br />
−<br />
1 + 2 <br />
Allgemeine Lösung: x x x K e K e<br />
3 −1<br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
+
7. Potenz- und Fourier-Reihen<br />
7.1 Allgemeine Konvergenzkriterien<br />
7.1.1 Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen<br />
Für alternierende Reihen gilt:bilden die Koeffizienten a k eine monoton fallende Nullfolge,<br />
so ist die Reihe konvergent.<br />
7.1.2 Quotienten- und Wurzelkriterium<br />
q<br />
ak<br />
+ lim<br />
k a<br />
1 qW = lim k a<br />
k→∞<br />
Q =<br />
→∞<br />
7.2 Potenzreihen<br />
k<br />
7.2.1 Allgemeine Form der Potenzreihe<br />
k<br />
q < 1 Konvergenz<br />
q > 1 Divergenz<br />
q = 1 keine Aussage möglich !<br />
∞<br />
k<br />
∑akx− x0 k=<br />
0<br />
2<br />
= a0 + a1x− x0+ a2x− x0<br />
+ ... ( x0 ist Entwicklungspunkt ! )<br />
7.2.2 Konvergenzradien von Potenzreihen<br />
r<br />
a<br />
lim<br />
k a<br />
= →∞<br />
k<br />
k + 1<br />
7.2.3 Taylor-Reihe<br />
bzw. r = lim<br />
k→∞<br />
k a<br />
1<br />
Die Funktion f(x) sei in der Umgebung der Stelle x 0 beliebig oft differenzierbar, dann gilt:<br />
<br />
f x<br />
∞ ( k)<br />
′′<br />
f x0<br />
k<br />
′<br />
f x0<br />
2<br />
= ∑ ⋅ x− x0 = f x0 + f x0 ⋅ x− x0<br />
+ ⋅ x− x0<br />
+ ...<br />
k!<br />
2!<br />
k=<br />
0<br />
Mathe-Formeln Seite 28 Potenz- und Fourier-Reihen<br />
<br />
<br />
<br />
k
7.2.4 Rechenregeln für Potenzreihen<br />
Potenzreihen dürfen innerhalb ihres Konvergenzbereiches beliebig oft gliedweise<br />
differenziert und integriert werden. Der Konvergenzbereich ändert sich dadurch nicht.<br />
Potenzreihen mit gleichem Entwicklungspunkt dürfen in ihrem gemeinsamen Konvergenzbereich<br />
addiert, subtrahiert und multipliziert werden. Der neue Konvergenzbereich ist<br />
der kleinste von den ursprünglichen ( r = min(r 1 , r 2 ) ) !<br />
<br />
ux<br />
Den Quotienten zweier Potenzreihen f x = bildet man nach folgendem Schema:<br />
vx <br />
Umformung: f x ⋅ v x = u x , mit allgemeinem f(x) das Produkt f x ⋅ v x ausrechnen<br />
und anschließender Koeffizientenvergleich mit u(x).<br />
Dabei grenzen die Nullstellen des Nenners den Konvergenzbereich ein!<br />
Bei einfachen Funktionen erhält man die Potenzreihe oft durch geeignete Substitution und<br />
anschließendes Einsetzen in bekannte Potenzreihen.<br />
Vorsicht bei Substitutionen mit Winkelfunktionen!!!<br />
Berechnung nicht-elementarer Integrale: häufig durch Substitution ersetzte Potenzreihe<br />
gliedweise integrieren und Integrationsgrenzen einsetzen, z.B.:<br />
x<br />
2<br />
0<br />
−t<br />
e dt<br />
mit der Reihe für e x und der Substitution z = -t 2 ergibt sich:<br />
4 6<br />
2<br />
− t<br />
2 t t<br />
e = 1−<br />
t + − + ... durch Integration und Einsetzen der Integrationsgrenzen:<br />
2! 3!<br />
<br />
x<br />
−t<br />
x x x<br />
e dt = x−<br />
+<br />
⋅ − ⋅ +<br />
3 5 7<br />
2<br />
...<br />
3 2! 5 3! 7<br />
0<br />
ux<br />
Berechnung von Grenzwerten unbestimmter Ausdrücke: z.B.: lim<br />
x→0vx<br />
<br />
entscheidend sind nach der Potenzreihenentwicklung für u(x) und v(x) die Koeffizienten der<br />
niedrigsten Potenzen!<br />
7.2.5 Fehlerabschätzung, Genauigkeit der Reihenentwicklung bis zum n-ten Glied<br />
Für alternierende Reihen gilt nach Leibniz: Fehler < a n < "Fehlergrenze"<br />
(der Unterschied zwischen Reihengrenzwert und Teilsummengrenzwert ist kleiner als das<br />
erste vernachlässigte Glied!)<br />
Durch Lösung der Ungleichung a n < "Fehlergrenze" erhält man die<br />
Anzahl der Glieder, die notwendig sind, um die Reihensumme mit einer bestimmten<br />
Genauigkeit zu berechnen.<br />
Mathe-Formeln Seite 29 Potenz- und Fourier-Reihen
7.2.6 Spezielle Potenzreihen<br />
1<br />
1+<br />
x<br />
2<br />
x<br />
2+<br />
x<br />
=<br />
e<br />
x<br />
−<br />
2<br />
=<br />
<br />
2<br />
∞<br />
k<br />
∑<br />
<br />
k=<br />
0<br />
k<br />
... r = 1<br />
2<br />
2 4 6<br />
= − 1 x = 1−<br />
x + x − x +−<br />
∞<br />
∑<br />
k=<br />
0<br />
∞<br />
∑<br />
k=<br />
0<br />
<br />
−x −2x<br />
e = e =<br />
k<br />
−1<br />
( k+<br />
1)<br />
2<br />
2 3 4<br />
( k+<br />
1)<br />
x x x x<br />
⋅ x = − + − +−...<br />
2 4 8 16<br />
r = 2<br />
k<br />
− k x x x<br />
⋅ x = − + −<br />
k<br />
⋅k<br />
⋅ +−<br />
2 3<br />
1<br />
1 ... 3<br />
2 ! 2 8 2 3!<br />
r =∞<br />
∞<br />
∑<br />
k=<br />
0<br />
<br />
k k<br />
3<br />
−1 ⋅2<br />
k 4 2 2 3<br />
⋅ x = 1− 2x+<br />
x − x +−...<br />
k!<br />
2!<br />
3!<br />
r =∞<br />
∑ r=∞<br />
( 2k 1)<br />
3 5<br />
x k x x x x<br />
sin = −1<br />
= − + ...<br />
( 2k 1)<br />
5<br />
2 2 2k + 1 ! 2 8⋅ 3! 2 ⋅5! −+<br />
∞<br />
+<br />
+<br />
k=<br />
0<br />
4 5 2 5 25 2 125 3<br />
+ x = + x− x + x −+ ...<br />
4 64 512<br />
r = 1<br />
4 3 4 5<br />
2⋅sin x⋅ cos x = 2x−<br />
x + x −+ ...<br />
3 15<br />
r=∞<br />
sin x<br />
2 5 3 5 4 101 5 101 6<br />
x x x x x x ...<br />
1−<br />
x 6 6 120 120<br />
= + + + + + + r =1<br />
cos x x x x<br />
= − x + − + −+ ...<br />
x<br />
e<br />
1<br />
3 4 5<br />
3 6 30<br />
x<br />
e<br />
2 1 3 19<br />
= 1+<br />
x+ x + x + x + x + x + ...<br />
cos x<br />
3 2 10 90<br />
<br />
ln 1+<br />
x<br />
2<br />
1−x<br />
r=∞<br />
2 3 4 5 6 r = π<br />
1 2 4 3 3 4 23 5 11 6<br />
= x− x + x − x + x − x +−...<br />
2 3 4 15 12<br />
Mathe-Formeln Seite 30 Potenz- und Fourier-Reihen<br />
2<br />
r =1<br />
1+<br />
x 2 3 2 5<br />
ln = 2x+<br />
x + x + ...<br />
1−<br />
x 3 5<br />
r =1
7.3 Fourier-Reihen<br />
7.3.1 Fourier-Reihen für 2-periodische Funktionen<br />
Jede in - < x < definierte, stückweise stetige Funktion f(x) läßt sich darstellen als<br />
konvergente trigonometrische Reihe der Form:<br />
∞<br />
a0<br />
f x = + ∑ak<br />
cosk x+ bk sink<br />
x<br />
2<br />
k=<br />
1<br />
1<br />
mit: a = f x ⋅ cos k x dx k = 0123 , , , ,...<br />
k<br />
π<br />
− π π<br />
1<br />
−<br />
<br />
b = f x ⋅ sin k x dx k = 123 , , ,...<br />
k<br />
π<br />
π π<br />
<br />
1<br />
speziell: a = f x dx<br />
0<br />
π<br />
− π π<br />
( Das Absolutglied a 0<br />
ist der Mittelwert / Gleichanteil /<br />
2<br />
Offstet der periodischen Funktion f(x). )<br />
Die Fourier-Reihe konvergiert für jedes x gegen:<br />
a) f(x) an jeder Stetigkeitsstelle<br />
b)<br />
1<br />
2<br />
fx0+ + fx0− an jeder Sprungstelle x0 Da die Integranden 2-periodisch sind, kann auch jedes andere Intervall der Länge 2 als<br />
Integrationsintervall verwendet werden.<br />
7.3.2 Spezialfälle 2-periodischer Funktionen<br />
a) f(x) ist eine gerade Funktion ( f(x) = f(-x) ):<br />
π<br />
2<br />
ak = f x ⋅ cos k xdx π<br />
k = 0123 , , , ,... bk = 0 k = 1, 2, 3,...<br />
0<br />
<br />
∞<br />
a0<br />
⇒ f x = + ∑ak<br />
cos k x<br />
2 =<br />
k<br />
1<br />
b) f(x) ist eine ungerade Funktion ( f(x) = -f(-x) ):<br />
ak = 0 k = 0,, 1 2,,... 3<br />
π<br />
2<br />
bk = f x ⋅ sin k xdx π<br />
k = 123 , , ,...<br />
<br />
∞<br />
∑ <br />
k 1<br />
⇒ f x = bksin k x<br />
=<br />
0<br />
Mathe-Formeln Seite 31 Potenz- und Fourier-Reihen
7.3.3 Fourier-Reihen für T-periodische Funktionen<br />
Allgemein läßt sich eine T-periodische Funktionen mit T =<br />
durch:<br />
∞<br />
a0<br />
fx= + ∑ ancosnωx+ bnsinnωx 2<br />
mit: a<br />
b<br />
und: a<br />
n<br />
n<br />
0<br />
n=<br />
1<br />
<br />
T<br />
−T<br />
2<br />
<br />
2<br />
2<br />
= f x ⋅ cos nω x dx n = 123 , , ,...<br />
T<br />
T<br />
−T<br />
2<br />
<br />
2<br />
2<br />
= f x ⋅ sin nω x dx n = 123 , , ,...<br />
T<br />
2<br />
=<br />
T<br />
T<br />
−<br />
2<br />
<br />
T<br />
2<br />
f x dx<br />
7.3.4 Spezialfälle T-periodischer Funktionen<br />
2 π<br />
π<br />
, bzw ω =<br />
ω 2<br />
T darstellen<br />
a) f(x) ist eine gerade Funktion ( f(x) = f(-x) ):<br />
<br />
T<br />
2<br />
4<br />
an<br />
= f x ⋅ cos nωxdx n = 0123 , , , ,...<br />
T<br />
bn = 0 n=<br />
1, 2, 3,...<br />
0<br />
<br />
∞<br />
a0<br />
⇒ f x = + ∑ancos<br />
nωx 2 =<br />
n 1<br />
b) f(x) ist eine ungerade Funktion ( f(x) = -f(-x) ):<br />
an = 0 n=<br />
0123 , , , ,... <br />
T<br />
2<br />
4<br />
bn<br />
= f x ⋅ sin nωxdx T<br />
n = 123 , , ,...<br />
<br />
∞<br />
∑ <br />
n 1<br />
⇒ f x = bnsin nωx =<br />
0<br />
Mathe-Formeln Seite 32 Potenz- und Fourier-Reihen
7.3.5 Komplexe Form der Fourier-Reihen<br />
Über die Eulersche Formel lassen sich sin- und cos-Funktion darstellen als:<br />
jnx jnx<br />
cosnx= e+ e − 1<br />
2<br />
j jnx jnx<br />
sin nx =− e −e −<br />
2<br />
Damit läßt sich eine beliebige reelle Fourier-Reihe mit der Periode 2 entwickeln zu:<br />
∞<br />
a0<br />
fx= + ∑ancosnx+<br />
bnsinnx 2<br />
Dabei gilt:<br />
<br />
n=<br />
1<br />
jnx<br />
= c + c ⋅ e + c ⋅e<br />
∞<br />
∑<br />
f x = c ⋅e<br />
c<br />
0<br />
weiter gilt:<br />
0<br />
n<br />
n=−∞<br />
∞<br />
∑ n<br />
∞<br />
∑<br />
n=<br />
1 n=<br />
1<br />
jnx<br />
−n<br />
−jnx<br />
<br />
a0<br />
1<br />
* 1<br />
= ; c = a − jb ; c− = c = a + jb<br />
2<br />
2<br />
2<br />
n n n n n n n<br />
<br />
<br />
cn + c−n *<br />
= cn + cn = 2 Re cn = an<br />
c − c = c<br />
*<br />
− c = 2 jIm c = −jb<br />
n −n<br />
n n n n<br />
Komplexe Fourier-Reihe mit Periode 2<br />
∞<br />
∑<br />
f= x cn⋅e n=−∞<br />
π<br />
−<br />
<br />
jnx<br />
jnx<br />
cn = f x ⋅e dx<br />
−<br />
1<br />
2π π<br />
Komplexe Fourier-Reihe mit Periode T<br />
∞<br />
∑<br />
f= t cn⋅e c<br />
n<br />
jnωt n=−∞<br />
T<br />
2<br />
−T<br />
2<br />
jnωt = f t ⋅e dt<br />
T<br />
− 1<br />
<br />
<br />
<br />
π<br />
ω = 2<br />
T<br />
a = 2 Re c<br />
b =−2<br />
Im c<br />
n n<br />
n n<br />
Mathe-Formeln Seite 33 Potenz- und Fourier-Reihen<br />
⇒
7.3.6 Zusammenhang zwischen komplexer und reeller Darstellung<br />
Es gilt:<br />
∞<br />
∞<br />
∞<br />
a0<br />
a0<br />
fx= + ∑ancosnωx+ bnsinnωx= + ∑An⋅ cosnωx+<br />
ϕn=<br />
∑cn⋅e<br />
2 n=<br />
1<br />
2 n=<br />
1<br />
n=−∞<br />
mit: An =<br />
2 2<br />
an + bn = 2 cn<br />
und<br />
bn<br />
ϕn =− arctan = arc cn<br />
an<br />
Weiter gilt:<br />
−jnx<br />
jnx * jnx jnx<br />
jnx<br />
c−n⋅ e + cn⋅ e = cn⋅ e + cn⋅ e = 2 Recn⋅e<br />
<br />
1<br />
<br />
= 2 Re an − jbn⋅ cosnx+ jsinnx 2<br />
= a cos nx + b sin nx<br />
7.3.7 Fourier-Transformation<br />
<br />
n n<br />
Im Gegensatz zur Fourier-Reihe, die eine periodische Funktion als Summe von<br />
harmonischen Schwingungen mit einem diskreten Frequenzspektrum darstellt, stellt das<br />
Fourier-Integral die Entwicklung einer nichtperiodischen Funktion in ein kontinuierliches<br />
Spektrum mit stetig variierender Frequenz dar.<br />
Dabei nennt man den Übergang von der einen zur anderen Form Fourier-Transformation.<br />
Formeln:<br />
<br />
∞<br />
−∞<br />
∞<br />
−∞<br />
<br />
jωt F ω = f t ⋅e dt<br />
−<br />
<br />
1<br />
jωt f t = F ω ⋅e<br />
dω<br />
2π<br />
("Fourier-Integral")<br />
dabei ist f(t) die Zeitfunktion und F() ist die Spektraldichte oder "Fourier-Transformierte".<br />
In der Technik wird häufig statt der Kreisfrequenz die Frequenz f = ω<br />
2 π<br />
eingesetzt.<br />
Dadurch ergibt sich eine andere Darstellungsform:<br />
2π<br />
−∞<br />
∞<br />
j2πf t<br />
−∞<br />
∞<br />
<br />
j f t<br />
S f = s t ⋅e dt<br />
−<br />
<br />
st = S f ⋅edf<br />
Mathe-Formeln Seite 34 Potenz- und Fourier-Reihen<br />
jnωx
8. Laplacetransformation<br />
8.1 Einführungsbemerkungen und Definition<br />
Im Gegensatz zur Fouriertransformation, die eine zweiseitige Transformation darstellt und<br />
bei der die Zeitfunktionen im Bereich - < t < definiert sein können, stellt die Laplacetransformation<br />
eine einseitige Transformation dar, bei der nur Zeitfunktionen für t ≥ 0<br />
zugelassen sind. Damit auch anwachsende Funktionen transformiert weden können, wird<br />
zusätzlich ein konvergenzerzeugender Faktor e t −α eingeführt. Die Laplacetransformation wird<br />
dann durch eine Fouriertransformation dieser erweiterten Funktion f * (t) definiert:<br />
mit: f t<br />
* 0<br />
= <br />
αt<br />
f t ⋅e für t < 0<br />
für t ≥0<br />
<br />
<br />
− <br />
∞<br />
2<br />
t=−∞<br />
* * − j π ft − α+ j2π f t<br />
ergibt sich: f t = f t ⋅ e dt = f t ⋅e<br />
dt<br />
Durch Einführung der komplexen (Kreis-)Frequenz p= α+ j2 π f = α+ jω<br />
ergibt sich:<br />
∞<br />
*<br />
<br />
−pt<br />
f t = f t ⋅ e dt = F p = f t<br />
0 t=<br />
Mathe-Formeln Seite 35 Laplacetransformation<br />
∞<br />
t=<br />
0<br />
(Laplace-Integral)<br />
Hiermit ist die Laplacetransformation definiert. Dabei ist zu beachten, daß:<br />
p C ist und Re{p} = > 0 (statt "p" wird oft auch "s" verwendet!)<br />
die Funktion f (t) definiert ist als: f t<br />
= <br />
<br />
= ⋅σ 0 für t < 0<br />
f t für t ≥0<br />
oder als: f t f t t<br />
(Der Teil σ t wird oft weggelassen, man muß ihn sich aber immer dazudenken! Wenn<br />
ein Verschiebeanteil vorhanden ist muß σ t−T auf jeden Fall geschrieben werden!)<br />
Dabei ist σ t die Einheitssprungfunktion und definiert als: σ t<br />
= <br />
<br />
0 für t < 0<br />
1 für t ≥0<br />
Die Einheitssprungfunktion wird zur Darstellung von abschnittsweise definierten Funktionen<br />
verwendet, z.B.:<br />
f t = σ t −σ t−Ti <br />
Der Einheitsimpuls oder Dirac-Impuls (t) ist die Ableitung der Einheitssprungfunktion.<br />
δ t = σ t<br />
<br />
Verschiedene Vorgehensweisen zur Laplace-Transformation und -Rücktransformation:<br />
f t F p<br />
F p f t<br />
1.) Korrespondenzentabellen 1.) Korrespondenzentabellen<br />
2.) Sätze zur Laplacetransformation 2.) Sätze: vor allem Faltung und PBZ<br />
3.) Laplace-Integral 3.) Integral (für uns nicht lösbar)
8.2 Sätze zur Laplacetransformation<br />
(1) Linearität + Additionssatz a ⋅ f t + a ⋅ f t<br />
f t<br />
F p<br />
a1⋅ F1 p + a2⋅F2 p<br />
1 1 2 2<br />
(2) Ähnlichkeitssatz fat; a >0<br />
<br />
Mathe-Formeln Seite 36 Laplacetransformation<br />
1<br />
a<br />
p<br />
F<br />
a<br />
⋅ <br />
⋅ <br />
−ap<br />
(3) Verschiebungssatz f t−a ⋅σ t− a ; a > 0 e F p<br />
<br />
(4) Dämpfungssatz<br />
−at<br />
e ⋅ f t<br />
F p+ a<br />
(5) 1. Differentiationssatz f ’ t<br />
p⋅F p − f 0+<br />
(6) 2. Differentiationssatz −t ⋅ f t<br />
t<br />
(7) Integrationssatz f d<br />
<br />
n ( n<br />
F ) p<br />
0 τ τ<br />
1<br />
⋅F p<br />
p<br />
<br />
1 2<br />
f t = p⋅Fp (8) Faltungssatz f t * f t<br />
F p ⋅F<br />
p<br />
1 2<br />
(9) 1. Endwertsatz lim lim<br />
t→∞ p→0<br />
(10) 2. Endwertsatz lim f t = lim p⋅F p<br />
t→ p→∞<br />
0 <br />
8.2.1 Korrespondenzen zum 1. Differentiationssatz<br />
f t<br />
F p<br />
f ’ t<br />
p⋅F p − f0+<br />
<br />
f ’’ 2<br />
’<br />
t<br />
p ⋅Fp− p⋅ f0+ − f0+<br />
<br />
f<br />
’’’<br />
3 2<br />
’ ’’<br />
t<br />
p ⋅F p − p ⋅ f 0+ − p⋅ f 0+ − f 0+<br />
... ... ...<br />
<br />
<br />
( n<br />
f ) n n−1 n−2 ’<br />
n−1<br />
t p ⋅F p − p ⋅ f 0+ − p ⋅ f 0+ −− f 0+<br />
8.2.2 Rücktransformation mit Hilfe der Partialbruchzerlegung<br />
Eine komplizierte gebrochenrationale Funktion im Frequenzbereich läßt sich nicht so ohne<br />
weiteres in den Zeitbereich zurücktransformieren. Um eine Rücktransformation durchführen<br />
zu können, ist es erforderlich die Funktion in Teilfunktionen zu zerlegen (PBZ). Diese werden<br />
dann einzeln über Tabellen und Sätze zurücktransformiert und am Schluß alle addiert.
8.2.3 Faltung und Faltungssatz<br />
Definition: Unter der Faltung zweier Funktionen f1 (t) und f2 (t) versteht man die Operation:<br />
f1 t f2 ∞<br />
* t = f1 τ ⋅ f2t−τdτ τ=−∞<br />
Das Ergebnis der Faltung ist eine Funktion in Abhängigkeit von t.<br />
Bestimmung des Terms f t −τ<br />
1.) Spiegelung von f2 an der y-Achse<br />
τ<br />
es entsteht f2 −τ<br />
2.) Verschiebung von f 2 −τ<br />
2<br />
aus f <br />
<br />
2 τ<br />
<br />
2 −τ <br />
um t in -Richtung ergibt f t<br />
dabei gilt:<br />
t > 0: Verschiebung nach rechts!<br />
t < 0: Verschiebung nach links!<br />
Bei stückweise definierten Funktionen<br />
sind Fallunterscheidungen bezüglich der<br />
Integrationsgrenzen zu machen!<br />
in zwei Schritten:<br />
<br />
Weiter gilt: die Faltung ist kommutativ f t * f t = f t * f t<br />
1 2 2 1<br />
Aufgrund dieser Kommutativität ist es ratsam, zu überlegen welche der beiden Funktionen<br />
man verschiebt. Meistens lassen sich e-Funktionen mit Verschiebeanteil relativ leicht<br />
integrieren, hingegen ist es oft sehr schwierig, trigonometrische Funktionen mit<br />
Phasenverschiebung zu integrieren.<br />
1 2<br />
<br />
* = ∞<br />
σ− − ⋅ −t−τ ⋅ − <br />
τ=−∞<br />
<br />
0 = 0<br />
= t<br />
−tτ −t<br />
1⋅e⋅ e dτ = 1−e <br />
⋅ ⋅ = − <br />
0<br />
T<br />
−tτ −t<br />
T<br />
1 e e dτ e e1 0<br />
für<br />
für<br />
für<br />
t < 0<br />
0≤<br />
t < T<br />
t ≥T<br />
−t Beispiel: f t = e ⋅ σ t ; f t = σ t −σ t −T<br />
f t f t τ σ τ T e σ t τ dτ<br />
2 1<br />
Faltungssatz:<br />
Die Multiplikation im p-Bereich entspricht der Faltung im t-Bereich (und umgekehrt).<br />
F1 p ⋅F2 p f1 t f2 ∞<br />
* t = f1 τ ⋅ f2t−τdτ τ=−∞<br />
Mathe-Formeln Seite 37 Laplacetransformation
8.3 Wichtige Korrespondenzen<br />
F p<br />
f t<br />
F p<br />
f t<br />
1) 1 δ t 18)<br />
2)<br />
3)<br />
4)<br />
5)<br />
6)<br />
7)<br />
8)<br />
9)<br />
10)<br />
11)<br />
12)<br />
13)<br />
14)<br />
15)<br />
16)<br />
17)<br />
1<br />
p<br />
1 2<br />
p<br />
1 1<br />
p n+<br />
a<br />
2 2<br />
p + a<br />
p<br />
2 2<br />
p + a<br />
a<br />
2 2<br />
p −a<br />
p<br />
2 2<br />
p −a<br />
1<br />
p−a 1<br />
pp−a <br />
1 2<br />
1 ⋅σ t 19)<br />
t ⋅σ t 20)<br />
n<br />
t<br />
n!<br />
21)<br />
sin at 22)<br />
cos at 23)<br />
sinh at 24)<br />
cosh at 25)<br />
e<br />
e at<br />
at −1<br />
a<br />
p−a t e at<br />
⋅<br />
p<br />
p−a <br />
1<br />
1+ ap<br />
1<br />
p 1+<br />
a p<br />
2 1+at eat<br />
26)<br />
27)<br />
28)<br />
29)<br />
1<br />
a e<br />
t<br />
⋅ a<br />
−<br />
1− −<br />
e<br />
1<br />
1+<br />
ap<br />
p<br />
1+<br />
ap<br />
<br />
<br />
2<br />
2<br />
1<br />
p−a p−b <br />
1 3<br />
a<br />
1 2<br />
a<br />
⋅t⋅e −<br />
30)<br />
t<br />
a 31)<br />
t<br />
a<br />
32)<br />
t<br />
− a−te a 33)<br />
e −e<br />
a−b at bt<br />
34)<br />
p<br />
p−a p−b <br />
1<br />
1+ ap 1+<br />
bp<br />
p<br />
1+ ap 1+<br />
bp<br />
a<br />
p− b + a<br />
<br />
<br />
ae −be<br />
a−b at bt<br />
t t<br />
− −<br />
b<br />
a e −e<br />
a−b t t<br />
− −<br />
a<br />
b ae −be<br />
ab a−b <br />
2 2<br />
bt<br />
e ⋅sin at<br />
p−b p− b + a<br />
2 2<br />
bt<br />
e ⋅cos at<br />
Mathe-Formeln Seite 38 Laplacetransformation<br />
1<br />
p<br />
1<br />
p+ a<br />
p + a<br />
ab<br />
p<br />
p<br />
+ b<br />
p + a p + b<br />
2 2 2 2<br />
2 2 2 2<br />
2<br />
p<br />
2 2 2 2 p + a p + b<br />
3<br />
p<br />
2 2 2 2 p + a p + b<br />
3<br />
a<br />
2 2<br />
p a<br />
2 + <br />
ap<br />
2 2<br />
p a<br />
2 + <br />
2<br />
ap<br />
2 2<br />
p a<br />
2 + <br />
3<br />
p<br />
2 2<br />
p a<br />
2<br />
+<br />
1<br />
2<br />
p + 2a<br />
p+ 1<br />
2 2<br />
a + b<br />
p−a p−b p−c 1<br />
π t<br />
−at<br />
e<br />
πt<br />
a⋅sin bt−b⋅sin at<br />
2 2<br />
a −b<br />
cos bt−cos at<br />
2 2<br />
a −b<br />
a⋅sin at−b⋅sin bt<br />
2 2<br />
a −b<br />
2 2<br />
a ⋅cos at−b ⋅cos<br />
bt<br />
2 2<br />
a −b<br />
1sin<br />
at−at⋅cos at<br />
2<br />
t<br />
at<br />
2 ⋅sin<br />
<br />
1<br />
sin at+ at⋅cos at<br />
2<br />
at<br />
cos at−<br />
⋅sin<br />
2<br />
<br />
−<br />
1<br />
b<br />
−at<br />
⋅e ⋅sin<br />
bt<br />
at<br />
<br />
<br />
c− b e + a− c e + b−a e<br />
a−b a−c b−c at bt ct
8.4 Ergänzungen<br />
8.4.1 Laplacetransformation eines Rechteckimpulses<br />
f t<br />
T<br />
für t Ti<br />
1<br />
0<<br />
<<br />
= <br />
= σ t −σt−Ti 0<br />
sonst<br />
1− −<br />
e<br />
p<br />
Verschiebt man diesen Impuls um T so erhält man nach dem Verschiebungssatz:<br />
f t T −<br />
T<br />
1−<br />
e<br />
p<br />
−Tp<br />
i<br />
⋅e<br />
−Tp<br />
8.4.2 Laplacetransformation periodischer Funktionen<br />
Die Funktion f0 (t) sei auf 0 < t < T definiert, außerhalb dieses Intervalls sei f0 (t)=0.<br />
Durch periodische Fortsetzung für t > 0 entsteht die Funktion f(t) mit f(t+T)=f(t).<br />
Für die zugehörige Laplacetransformierten gilt nun:<br />
f0 t F0 p<br />
f t F p 0<br />
1 ⋅ −<br />
1−<br />
e Tp<br />
Beispiel: periodischer Rechteckimpuls<br />
A für t Ti<br />
f 0<<br />
≤<br />
t = <br />
ft + T= f t<br />
0 für T < t ≤T<br />
<br />
A e<br />
F= p ⋅<br />
p e<br />
− 1<br />
1−<br />
i<br />
−Tp<br />
i<br />
−Tp<br />
8.4.3 Sprungfunktionen mit Verschiebeanteil<br />
<br />
2<br />
ACHTUNG: Funktionen wie z.B. f t = t ⋅σ t−1<br />
lassen sich nicht direkt mit Hilfe<br />
des Verschiebungssatzes transformieren (weil einmal t und einmal t-1 als<br />
Funktionsargument steht)!<br />
Hier geht man z.B. folgendermaßen vor:<br />
1.) Verschiebung der Funktion f(t) im t-Bereich, so daß die Sprungfunktion zu σ t wird:<br />
Mathe-Formeln Seite 39 Laplacetransformation<br />
Tp i<br />
* 2 2 <br />
f t = t + 1 ⋅ σ t = t + 2t + 1 ⋅σ<br />
t<br />
2.) Transformation von f*(t): F *= 2 2 1<br />
p + +<br />
3 2<br />
p p p<br />
3.) Zurückschieben der Funktion im p-Bereich durch Anwendung des Verschiebungssatzes:<br />
<br />
−p * −p<br />
2 2 1<br />
F p = e ⋅ F p = e ⋅ + +<br />
3 2<br />
p p p<br />
Man kann diese Funktion natürlich auch direkt über das Laplace-Integral transformieren,<br />
häufig ist aber die Anwendung von Sätzen und Korrespondenzentabellen schneller!
8.5 Anwendung: Lösung von DGL und DGL-Systemen<br />
8.5.1 Allgemeines Lösungsverfahren<br />
1.) Ausgangspunkt ist eine lineare DGL mit konstanten Koeffizienten.<br />
2.) Die DGL mittels Laplacetransformation in eine algebraische Gleichung umformen.<br />
3.) Lösung der algebraischen Gleichung im p-Bereich (Frequenzbereich).<br />
4.) Rücktransformation dieser Lösungsfunktion in den t-Bereich ergibt die Lösung der DGL.<br />
8.5.2 Lineare DGL 1. Ordnung<br />
,<br />
Ausgangs-DGL: y + ay = g t Anfangsbedingung: y(0)<br />
<br />
G p y + 0<br />
=<br />
Laplacetransformierte: pYp ⋅ − y0 + aYp ⋅ = Gp<br />
Lösung im p-Bereich: Y p<br />
8.5.3 Lineare DGL 2. Ordnung<br />
p+ a<br />
,, ,<br />
Ausgangs-DGL: y + ay + by = g t<br />
Anfangsbedingungen: y(0), y'(0)<br />
<br />
,<br />
G p y p a y<br />
+ 0 ⋅ + + 0<br />
=<br />
2<br />
,<br />
Laplacetransformierte: p ⋅Y p − p⋅y 0 − y 0 + a⋅ p⋅Y p − y 0 + b⋅ Y p = G p<br />
Lösung im p-Bereich: Y p<br />
2<br />
p + a p+ b<br />
8.5.4 Zusätzliche Bemerkungen<br />
1.) Die Lösung von DGL mit der Laplacetransformation ist vor allem dann vorteilhaft, wenn<br />
man stückweise stetige Störfunktionen hat.<br />
2.) Bei dieser Vorgehensweise werden die Anfangsbedingungen automatisch mit berücksichtigt.<br />
Sind die Anfangswerte unbekannt, oder nicht an der Stelle t = 0 gegeben, so schreibt<br />
man statt der Terme y(0) bzw. y'(0) die Konstanten C1 bzw. C2 und erhält damit die allgemeine<br />
Lösung der DGL. Durch einsetzen der Anfangsbedingungen erhält man nun die<br />
Bestimmungsgleichungen für die Koeffizienten und damit die spezielle Lösung des AWP.<br />
Häufig ergibt sich aber mit dem Verschiebungssatz eine einfachere Lösungsmöglichkeit!<br />
3.) Betrachtet man die Lösung der Bildfunktion (Gleichung im p-Bereich), so findet sich in<br />
deren Nenner das charakteristische Polynom der DGL; die Nennernullstellen sind deren<br />
Eigenwerte!<br />
4.) Außerdem braucht man sich bei dieser Methode keine Gedanken über Resonanz machen,<br />
da auch diese automatisch mitberücksichtigt wird.<br />
8.5.5 Lösung von DGL-Systemen<br />
Prinzip: 1.) DGL´s transformieren.<br />
2.) Lösung des entstehenden LGS und damit Bestimmung der Bildfunktionen.<br />
3.) Rücktransformation aller Bildfunktionen<br />
oder Rücktransformation nur einer Bildfunktion und Bestimmung der anderen<br />
Lösungsfunktionen über die DGL.<br />
Mathe-Formeln Seite 40 Laplacetransformation
8.5.6 Beispiel:<br />
Bestimmung von x(t), y(t) und z(t) aus folgendem DGL-System mit Anfangsbedingungen:<br />
Transformation:<br />
<br />
x =<br />
y = 2x z ,<br />
,<br />
x 0 = 0<br />
y<br />
0 = 0<br />
z = − y+ z , z 0 = 5<br />
<br />
<br />
pX p − 0=<br />
pY p − 0 = 2 X p<br />
Z p<br />
pZ p − 5 = − Y p + Z p<br />
<br />
Mathe-Formeln Seite 41 Laplacetransformation<br />
⇒<br />
⇒<br />
⇒<br />
<br />
<br />
pX<br />
− X + pY<br />
− Z =<br />
=<br />
⋅<br />
⋅p<br />
Y p Z<br />
+<br />
2<br />
0<br />
0<br />
2<br />
+ − 1 = 5<br />
<br />
_________________________________________________________<br />
2<br />
p Y − 2Z = 0<br />
Y + p− 1 Z = 5 ⋅ −p<br />
<br />
_________________________________________________________<br />
2 <br />
−p p−1 − 2 Z = −5p<br />
2 2<br />
⇒ =<br />
− + =<br />
− + =<br />
=<br />
+ ⋅ − + + +<br />
2<br />
2<br />
2<br />
5p<br />
5p<br />
5p<br />
A Bp + C<br />
Z p 2<br />
3 2<br />
2 2<br />
p p 1 2 p p 2 p 1p 2p 2 p 1 p − 2p+ 2<br />
<br />
2 2<br />
PBZ: 5p = A p − 2p+ 2 + B p p+ 1 + C p+<br />
1<br />
p=− 1: 5= 5A ⇒ A=<br />
1<br />
p= p= 0: 1: 0= 2⋅ 1+ C<br />
5= 1+ 2B+ 2⋅−2 ⇒<br />
⇒<br />
C = −2<br />
B=<br />
4<br />
⇒ =<br />
+ +<br />
−<br />
− + =<br />
+ + ⋅<br />
1 4p 2 1<br />
Z p<br />
p 1 p 2 p 2 p 1<br />
p−<br />
p − p+<br />
+<br />
4<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2<br />
2 1 1<br />
<br />
Z p<br />
<br />
<br />
p<br />
=<br />
p+<br />
p p<br />
+ ⋅<br />
1 −<br />
+ ⋅ ⋅<br />
1 − + − +<br />
4<br />
1 1 1<br />
4 2 2<br />
1 1 2 1 1<br />
Rücktransformation:<br />
−t<br />
t t<br />
zt = e + 4⋅e⋅ cos t+ 2⋅e⋅sin<br />
t<br />
aus DGL:<br />
−t t t −t<br />
t t t t<br />
y = z− z= e + 4⋅e ⋅ cos t + 2⋅e ⋅sin t− − e + 4⋅ e ⋅cos t−e ⋅ sin t + 2⋅<br />
e ⋅ sin t+ e ⋅cos<br />
t<br />
−t<br />
t t<br />
yt = 2⋅ e + 4⋅e⋅sin t−2⋅e⋅cos t<br />
<br />
<br />
+<br />
<br />
<br />
1 1 −t<br />
t t t t<br />
x = ⋅ y = −2⋅ e + 4⋅ e ⋅ sin t+ e ⋅cos t −2⋅ e ⋅cos t−e ⋅sin<br />
t<br />
2 2<br />
−t<br />
t t<br />
xt =− e + 3⋅e⋅ sin t+ e⋅cos t<br />
(beim hinteren Term "4"<br />
ausklammern und Nenner<br />
quadratisch ergänzen!)<br />
(den mittleren Term auf<br />
"cos-Form" bringen und<br />
den "Rest" wieder dazuzählen.)
9. Vektoranalysis<br />
9.1 Differentialrechnung bei Funktionen mehrerer Variabler<br />
9.1.1 Partielle Differentiation<br />
Eine Funktion mehrerer Variabler wird partiell differenziert, indem man jeweils eine Variable<br />
als veränderliche Variable und die anderen als Konstanten betrachtet. Am Beispiel einer<br />
Funktion mit zwei Variablen sind dann:<br />
∂ f<br />
∂ f<br />
fxx, y=<br />
= fx<br />
und fyx, y=<br />
= fy<br />
∂x<br />
∂y<br />
nach der<br />
die partiellen Ableitungen (Ableitungsfunktionen) der Funktion z = f x, y<br />
Variablen x bzw. y, wobei die andere Variable (hier y bzw. x) als Konstante betrachtet wird.<br />
Bei der Berechnung sind die üblichen Ableitungsregeln zu beachten!<br />
Die partielle Ableitung einer Funktion wird in der Regel an einem bestimmten Punkt<br />
P0 x0, y0<br />
entsprechenden Richtung. Man schreibt dann:<br />
benötigt und entspricht dann dem Tangens des Steigungswinkels der Kurve in der<br />
<br />
∂ f ∂ f<br />
fx x0, y0 = fx P0<br />
= x0, y0<br />
= = tan α<br />
∂x<br />
∂x<br />
x0, y0<br />
<br />
∂ f ∂ f<br />
fy x0, y0 = fy P0<br />
= x0, y0<br />
= = tan β<br />
∂y<br />
∂y<br />
x0, y0<br />
wobei α den Richtungswinkel in der y,z-Ebene und β den Richtungswinkel in der x,z-Ebene<br />
darstellt.<br />
Den Wert der pariellen Ableitung erhält man durch einsetzen der Koordinaten des Punktes.<br />
9.1.2 Tangentialebene und totales Differential<br />
Die Gleichung der Tangentialebene einer Funktion z = f x, y<br />
mit z = f x , y<br />
berechnet sich zu:<br />
0 x 0, 0 0 y<br />
0, 0 0<br />
0 0 0<br />
z = z + f x y ⋅ x− x + f x y ⋅ y− y<br />
in einem Punkt P0x0, y0, z0<br />
in<br />
Die Tangentialebene entspricht einer linearisierten Näherung der Funktion z = f x, y<br />
einem bestimmten Punkt P0x0, y0, z0.<br />
Unter dem totalen Differential dz einer Funktion z = f x, y<br />
versteht man den Zuwachs längs der Tagentialebene:<br />
dz = f x , y dx+ f x , y dy<br />
x 0 0 y 0 0<br />
zu den Zuwächsen dx und dy<br />
totales Differential an der Stelle (x 0 , y 0 )<br />
f<br />
dz<br />
x dx<br />
∂ ∂ f<br />
= + dy = f x dx + f y dy<br />
∂ ∂y<br />
totales Differential an der beliebigen Stelle (x, y)<br />
Mathe-Formeln Seite 42 Vektoranalysis
Beispiel:<br />
Partielle Ableitungen der Funktion z = f x, y = x + x y<br />
2<br />
f = 4x+ y ⇒ f P = 4⋅ 3+ − 1 = 13<br />
x x<br />
f = 2x y ⇒ f P = 2⋅3⋅ − 1 = −6<br />
y y<br />
Totales Differential: dz dx dy<br />
9.1.3 Kettenregel für Funktionen von 2 Variablen<br />
2 2 2 0<br />
0<br />
2 <br />
<br />
im Punkt P03/−1 3/ − 1= 13 −6<br />
Hängen die Variablen x und y der Funktion z = f x, y<br />
man eine Abhängigkeit der z-Werte von diesem Parameter:<br />
<br />
z= zt = f xt, yt<br />
von einem Parameter t ab, so erhält<br />
Formales Dividieren des totalen Differentials dz durch dt liefert die Kettenregel für<br />
Funktionen von 2 Variablen:<br />
dz<br />
dt<br />
∂ f dx ∂ f dy<br />
= ⋅ + ⋅<br />
∂xdt<br />
∂ydt<br />
9.1.4 Höhere partielle Ableitungen und Satz von Schwarz<br />
und fx y<br />
ebenfalls wieder Funktionen von 2<br />
Bilden die partiellen Ableitungen fx x, y<br />
y ,<br />
Variablen, so heißen deren partielle Ableitungen dann partielle Ableitungen 2. bzw. (noch)<br />
höherer Ordnung.<br />
In der Index-Schreibweise ergeben sich hier vier partielle Ableitungen der Form:<br />
xx xx xy xy yx<br />
yx yy<br />
f = f ; f = f ; f = f ; f = f<br />
In der Differentialschreibweise erhält man hier (Reihenfolge beachten!):<br />
f<br />
xy = ∂<br />
∂<br />
∂ x<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
∂ f ∂ f ∂ ∂ f ∂ f ∂ ∂ f ∂ f ∂<br />
∂ x<br />
∂ x ∂ y ∂ x ∂y∂x ∂x<br />
∂y<br />
∂x∂y ∂y<br />
=<br />
=<br />
=<br />
2<br />
; ; ;<br />
2<br />
2<br />
f<br />
und f<br />
∂y∂x yx = ∂<br />
Mathe-Formeln Seite 43 Vektoranalysis<br />
<br />
<br />
yy<br />
<br />
<br />
∂ f ∂ f<br />
∂y<br />
∂y<br />
= 2<br />
2 2 2<br />
2<br />
f<br />
heißen gemischte partielle Ableitungen.<br />
∂x∂y Nach dem Satz von Schwarz sind gemischte partielle Ableitungen unabhängig von ihrer<br />
Reihenfolge, falls sie stetig sind.<br />
Beispiel: f = f f = f = f<br />
; (falls die Funktionen stetig sind!)<br />
xy yx xxy xyx yxx
9.2 Darstellungsformen von Kurven<br />
In der Ebene Im Raum<br />
Explizite Form: y = f x<br />
z = fx, y<br />
Implizite Form: Fxy , = 0 Fxyz , , =0<br />
<br />
xt<br />
<br />
<br />
=<br />
yt <br />
<br />
<br />
<br />
xt<br />
<br />
<br />
rt =<br />
<br />
<br />
yt <br />
zt<br />
<br />
Parameterdarstellung: x = x t ; y = y t x = x t ; y = y t ; z = z t<br />
Vektorielle Darstellung:<br />
9.3 Tangentenvektor<br />
<br />
<br />
<br />
rt<br />
xt <br />
<br />
<br />
dx dy dz<br />
rt yt xt i yt j zt k i j<br />
dt dt dt<br />
zt <br />
k<br />
=<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
= ⋅ + ⋅ + ⋅<br />
= ⋅ + ⋅ + ⋅<br />
<br />
9.4 Gradient<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Bei einer Funktion zt = f rt = f xt, yt ist die Ableitung von z(t) nach t gleich der<br />
Steigungsänderung von z(t) längs r(t). Die Berechnung erfolgt über das totale Differential und<br />
die Kettenregel:<br />
dz<br />
dt<br />
∂ f<br />
∂x<br />
Dabei heißt grad f<br />
dx<br />
dt<br />
∂ f<br />
∂y<br />
dy<br />
dt<br />
f<br />
x x<br />
∂ ∂ f<br />
y fx x fy y<br />
∂ ∂y<br />
= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = <br />
= <br />
<br />
f x<br />
f y<br />
=<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
∂ f<br />
∂ x<br />
∂ f<br />
∂ y<br />
Für Höhenlinien gilt: fx, y= const und<br />
⇒ grad f<br />
<br />
⊥ r t<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Mathe-Formeln Seite 44 Vektoranalysis<br />
f<br />
f<br />
x<br />
y<br />
x<br />
y ⋅ <br />
= ⋅<br />
<br />
Gradient (Gradientenvektor) von z = fx, y.<br />
dz<br />
dt<br />
<br />
= 0=<br />
grad f ⋅r<br />
t<br />
grad f r t<br />
und ist in jedem Punkt P 0 senkrecht zur Höhenlinie<br />
Daraus ergibt sich: Der Vektor grad f hat stets die Richtung des stärksten Anstiegs von<br />
z = f x, y<br />
fx, y= const .
9.5 Vektorfelder und Potentialfelder<br />
9.5.1 Skalar- und Vektorfelder<br />
<br />
Wird jedem Punkt Pxy , (, z) R R<br />
so spricht man von einem Skalarfeld. Die Zahl u= f x, y, z<br />
Wird jedem Punkt<br />
<br />
<br />
<br />
so spricht man von einem<br />
9.5.2 Potentialfelder<br />
<br />
∈<br />
∈ 2 3 eine reelle Zahl zugeordnet,<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
Pxy , R<br />
ein Vektor<br />
3<br />
Pxyz , , ∈R<br />
<br />
<br />
<br />
Ein stetiges Vektorfeld F x, y(, z)<br />
wenn ein Potential u= f x, y(, z)<br />
<br />
<br />
heißt Potential.<br />
F x, y<br />
Fxy , <br />
<br />
=<br />
Fx, y<br />
Fx, y, z<br />
, , Fx, y, z<br />
Fx, y, z<br />
<br />
1<br />
<br />
2 1 <br />
= <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 <br />
<br />
3<br />
<br />
Fxyz<br />
Mathe-Formeln Seite 45 Vektoranalysis<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
ebenen<br />
räumlichen<br />
Vektorfeld.<br />
Fx,<br />
y(, z)<br />
<br />
1<br />
= Fx,<br />
y(, z)<br />
<br />
2<br />
<br />
heißt Potentialfeld,<br />
Fx, y(, z)<br />
<br />
3<br />
existiert, für das gilt: F x, y(, z) grad u<br />
∂ f<br />
∂ f ∂ f<br />
; F f ; F f<br />
∂x<br />
∂y<br />
∂z<br />
= .<br />
Daraus folgt: F = f = = = = =<br />
1 x 2 y 3 z<br />
zugeordnet,<br />
<br />
Integrabilitätsbedingungen: F ist ein Potentialfeld, falls im:<br />
ebenen Vektorfeld räumlichen Vektorfeld<br />
∂F1<br />
∂F2<br />
fxy<br />
= = = fyx<br />
∂y<br />
∂x<br />
∂F1<br />
∂F2<br />
∂F1<br />
∂F3<br />
f xy = = = f yx<br />
fxz<br />
= = = fzx<br />
∂y∂x<br />
∂z<br />
∂x<br />
∂F2<br />
∂F3<br />
fyz<br />
= = = fzy<br />
∂z<br />
∂y<br />
Die Potentialfunktion f x, y(, z)<br />
<br />
f x, y<br />
=<br />
<br />
<br />
<br />
erhält man durch Integration über die Feldkoordinaten:<br />
Fx, y, zdx + g y, z<br />
, + <br />
1<br />
1<br />
<br />
fx, y, z=<br />
F x, y, z dy g x, z<br />
, + <br />
2<br />
+ 2<br />
<br />
<br />
F x, y, zdz + g x, y 3<br />
3<br />
<br />
F x y dx g y<br />
1 1<br />
F x y dy g x<br />
2 2
Beispiel:<br />
Gegeben ist ein Vektorfeld F =<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
F<br />
F <br />
F<br />
=<br />
1<br />
2<br />
3<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
xy+ z x x<br />
x + z<br />
y+ x =<br />
2 2 sin cos<br />
2<br />
2<br />
sin<br />
Mathe-Formeln Seite 46 Vektoranalysis<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
∂f<br />
∂x<br />
∂f<br />
∂y<br />
∂f<br />
∂z<br />
Handelt es sich um ein Potentialfeld? Wenn ja, wie lautet die Potentialfunktion?<br />
1.) Die Integrabilitätsbedingungen ergeben:<br />
∂ F1<br />
∂ F2<br />
= 2x= ;<br />
∂ y ∂ x<br />
∂ F1<br />
∂ F3<br />
= 2sin x cos x = ;<br />
∂ z<br />
∂ x<br />
∂ F2<br />
∂ F3<br />
= 1=<br />
∂ z ∂ y<br />
d.h. es handelt sich um ein Potentialfeld.<br />
2.) Zur Bestimmung der Potentialfunktion geht man hier am einfachsten so vor:<br />
es gilt:<br />
2 ∂ f<br />
F2= x + z = ⇒<br />
∂y<br />
f x, y, z =<br />
2<br />
x + z dy+ g x, z<br />
2<br />
= x y+ zy + g x, z<br />
<br />
(1)<br />
<br />
∂ f ! ∂gxz<br />
,<br />
weiter gilt: F1= 2xy+ 2zsin x cos x = = 2xy+<br />
(aus (1))<br />
∂x<br />
∂x<br />
∂gxz<br />
, ⇒ = 2 zsin x cos<br />
x<br />
(2)<br />
∂x<br />
<br />
<br />
2 ∂ f ! ∂gxz<br />
,<br />
und: F3= y+ sin x = = y+<br />
∂z<br />
∂z<br />
∂gxz<br />
, 2<br />
⇒ = sin x<br />
∂z<br />
2<br />
= = ⋅ +<br />
<br />
gxz , !<br />
′<br />
= 2zsin x cos<br />
x + h x = 2zsin<br />
x cos<br />
x<br />
∂ x<br />
′<br />
h x h x c<br />
2<br />
jetzt wird aus (3): gxz , sin xdz zsin x hx<br />
und aus (4), (2):<br />
aus (1), (4) und (5) folgt schließlich:<br />
∂<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
(aus (1))<br />
⇒ = 0 ⇒ =<br />
(5)<br />
<br />
2 2<br />
f x, y, z = x y + zy + z ⋅ sin x + c<br />
(3)<br />
(4)
9.6 Linienintegrale (Arbeits-/Kurvenintegrale)<br />
9.6.1 Definition des Linienintegrals<br />
Es sei Fxyz , , ein Vektorfeld, rt eine Raumkurve C (mit t1 ≤t ≤ t2)<br />
und rt der<br />
Tangentenvektor an diese Kurve, dann ist das Linienintegral des Vektorfeldes F längs der<br />
Kurve C definiert als:<br />
t2<br />
t2<br />
C C<br />
<br />
W= F r t dr= F dx+ F dy+ F dz = F ⋅ x+ F ⋅ y + F ⋅ z dt = F t ⋅rdt<br />
<br />
<br />
<br />
9.6.2 Bemerkungen zum Linienintegral<br />
1 2 3 1 2 3<br />
t1<br />
1.) Es gilt:<br />
<br />
<br />
dr<br />
r =<br />
dt<br />
⇒<br />
dx xdt <br />
<br />
dr = dy<br />
ydt r dt<br />
<br />
<br />
<br />
dz<br />
zdt <br />
= <br />
<br />
<br />
= ⋅<br />
<br />
<br />
<br />
2.) Ist C geschlossen, also rt<br />
<br />
= rt , so schreibt man das Umlaufintegral C<br />
1 2<br />
+<br />
<br />
= +<br />
<br />
K ⋅ F dr = K⋅ F dr<br />
<br />
<br />
Mathe-Formeln Seite 47 Vektoranalysis<br />
<br />
<br />
t1<br />
<br />
<br />
Fdr<br />
3.) Wird C in umgekehrter Richtung durchlaufen (Schreibweise: -C),<br />
−C C <br />
dann gilt: Fdr=− Fdr<br />
4.) Weiter gilt:<br />
C <br />
F1 <br />
F2 dr<br />
C <br />
F1dr C <br />
F2dr ;<br />
C1 C2 Fdr+ C1 C2<br />
Fdr= <br />
Fdr<br />
+<br />
C C<br />
<br />
5.) Das Linienintegral hängt im allgemeinen stets vom gewählten Weg ab!!!<br />
9.6.3 Wegunabhängiges Linienintegral im Potentialfeld<br />
Gegeben ist ein Vektorfeld Fxyz , , und ein Skalarfeld fx, y, z.<br />
Das Linienintegral<br />
<br />
t<br />
C <br />
<br />
Fdr= F⋅rdt t<br />
<br />
2<br />
ist wegunabhängig, wenn:<br />
1<br />
<br />
1.) Fdr das totale Differential du der Funktion u= fx, y, z<br />
ist:<br />
<br />
du = F dr = F1dx + F2dy + F3dz = f x dx + f y dy + f z dz<br />
<br />
2.) F als Gradient einer Potentialfunktion u= fx, y, z<br />
darstellbar ist:<br />
F f<br />
<br />
F = F f grad u<br />
<br />
<br />
<br />
F <br />
f<br />
=<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
=<br />
1 1<br />
2 2<br />
3 3<br />
3.) die Integrabilitätsbedingungen erfüllt sind, d.h. des Vektorfeld ein Potentialfeld ist.<br />
Folgerungen der Wegunabhängigkeit:<br />
<br />
1.) Es gilt: Fdr=0,<br />
falls keine Singularität im innern des Integrationsweges liegt!<br />
2.) Das Linienintegral läßt sich über die Potentialdifferenz zweier Punkte berechnen:<br />
P<br />
<br />
2<br />
<br />
c Fdr = fP2− fP1 P<br />
1
Beispiele:<br />
1.) Gegeben: xy<br />
Fxyz , , = 2<br />
x + yz <br />
xz<br />
nun ist:<br />
<br />
<br />
Frt<br />
=<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
t⋅ −t<br />
t t<br />
<br />
<br />
t<br />
t + − ⋅t<br />
t t<br />
<br />
<br />
t⋅t <br />
t<br />
=<br />
2<br />
1 −<br />
<br />
<br />
2 2<br />
2 3<br />
<br />
<br />
1 2 −<br />
<br />
<br />
2<br />
3<br />
<br />
und<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
und C: r t t<br />
t<br />
t<br />
= 1− 2<br />
1≤ ≤2<br />
Mathe-Formeln Seite 48 Vektoranalysis<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
t<br />
1<br />
rt = −1<br />
2t<br />
2<br />
C <br />
⇒ Fdr= Frt ⋅ rtdt 2 2 3 3<br />
= 1⋅ t−t−1⋅ 2t − t + 2tt ⋅ dt=<br />
10, 65<br />
1<br />
1<br />
2.) Wichtig ist für diese Vorgehensweise, daß die Kurve in Parameterform oder in<br />
vektorieller Darstellung gegeben und der Wertebereich des Parameters angegeben ist.<br />
Ist die Kurve anders definiert, so muß ein Parameter eingeführt werden, z.B.:<br />
Gegebene Kurve C: Gerade zwischen A(1/0) und B(0/1)<br />
⇒ = <br />
xt<br />
rt <br />
<br />
yt <br />
werden, daß zur Zeit t : r t A<br />
<br />
dies ist erfüllt für: rt<br />
mit Parameter t1 ≤t ≤ t2<br />
, nun muß x(t) und y(t) so bestimmt<br />
1<br />
0<br />
1 = = und zur Zeit t2 r= t B=<br />
1<br />
wird;<br />
1−t<br />
= 0≤t≤1 t<br />
3.) Ein magnetisches Feld um einen geraden stromdurchflossenen Leiter auf der z-Achse<br />
<br />
1<br />
hat die Form: Hx, y, z=<br />
−y; x;<br />
0<br />
2 2<br />
x + y<br />
Das Linienintegral eines Kreises um den Leiter wird mit C: cos<br />
t<br />
<br />
r <br />
<br />
t = sin<br />
t <br />
0<br />
0≤t ≤2π<br />
und:<br />
<br />
<br />
Hrt<br />
=<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
−sin<br />
t<br />
cos<br />
t<br />
0<br />
,<br />
<br />
<br />
rt <br />
=<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
−sin<br />
t<br />
cos t<br />
0<br />
zu:<br />
: <br />
<br />
<br />
0<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2π<br />
<br />
2 2<br />
Hdr= sin t + cos t dt=<br />
2π<br />
wenn C den Leiter in z-Richtung umschließt (Singularität)!<br />
Für jede andere geschlossene Kurve, die den Leiter nicht umschließt gilt:<br />
0<br />
<br />
Hdr=0<br />
4.) Das elektrische Feld um eine Punktladung hat die Form: 1<br />
E = K⋅<br />
2 2 2<br />
x + y + z<br />
3<br />
<br />
*<br />
1<br />
Die Potentialfunktion lautet: − ϕ P = ϕ<br />
P = −K⋅ 2 2 2 x + y + z <br />
3<br />
2 1<br />
Damit ergibt sich eine Spannung als Potentialdifferenz: U = ϕ P −ϕ<br />
P<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
x<br />
y<br />
z
10.1 Kombinatorik<br />
10. Wahrscheinlichkeitsrechnung<br />
10.1.1 Geordnete Stichproben ohne Zurücklegen<br />
Die Anzahl N der möglichen Variationen von k aus n Elementen ist:<br />
(Variationen ohne Wiederholung)<br />
n!<br />
N = = n k n−k !<br />
Sonderfall k = n:<br />
Anzahl der Permutationen n verschiedener Elemente:<br />
N = n!<br />
10.1.2 Ungeordnete Stichproben ohne Zurücklegen<br />
Die Anzahl N der möglichen Kombinationen von k aus n Elementen ist:<br />
(Kombinationen ohne Wiederholung)<br />
k Elemente<br />
n n n n n n n k<br />
k<br />
N =<br />
k k k n k<br />
k<br />
= = =<br />
⋅ −<br />
⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − +<br />
! 1 2... 1<br />
;<br />
! ! ! 123 ⋅ ⋅ ⋅... ⋅<br />
<br />
n<br />
k = <br />
Für die Anzahl N der Permutationen von n Elementen mit 1, 2, ... Gruppen von n1 , n2 , ...<br />
gleichen Elementen gilt:<br />
n!<br />
N =<br />
n ! ⋅n ! ⋅...<br />
1 2<br />
10.1.3 Geordnete Stichproben mit Zurücklegen<br />
Es werden k von n Elementen gezogen; Anzahl N der möglichen Anordnungen:<br />
(Variationen mit Wiederholung)<br />
N n n n n k<br />
= ⋅ ⋅ ⋅ ... =<br />
10.1.4 Ungeordnete Stichproben mit Zurücklegen<br />
Es werden k von n Elementen gezogen; Anzahl N der möglichen Anordnungen:<br />
(Kombinationen mit Wiederholung)<br />
N =<br />
<br />
<br />
n+ k−1<br />
k<br />
10.1.5 Überlegung mit Baumdiagramm<br />
<br />
<br />
n<br />
n−k Sehr schnell geht so eine Überlegung, wenn man sich ein Baumdiagramm erstellt, und dann<br />
die Zahl der Äste pro Ebene miteinander multipliziert! Dies ist natürlich nur bei einer relativ<br />
kleinen Ereignismenge möglich.<br />
Mathe-Formeln Seite 49 Wahrscheinlichkeitsrechnung
10.2 Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten<br />
10.2.1 Gleichwahrscheinlichkeit<br />
Es gilt:<br />
A<br />
pA = Ω<br />
und<br />
Ω −A<br />
pA = = − pA <br />
Ω<br />
<br />
und: p Ω = 1; p ∅ = 0; 0≤ p A ≤1<br />
10.2.2 Additionssatz<br />
<br />
1 Ω ... Ereignismenge<br />
<br />
pAB= pA+ pB− pAB mit: pAB= pAB oder mit Gegenereignis für drei Ereignisse<br />
<br />
pABC= 1−<br />
pABC<br />
Wenn sich die Ereignisse gegenseitig ausschließen (disjunkte Ereignisse!), gilt: pAB =0<br />
10.2.3 Multiplikationssatz<br />
<br />
<br />
pAB / <br />
pA <br />
<br />
Wahrscheinlichkeit von A, wenn B schon eingetreten ist: pA/ B<br />
Wahrscheinlichkeit von B, wenn A schon eingetreten ist: pB A<br />
Außerdem gilt: pAB= pA⋅ pB/ A= pB⋅pA/ B<br />
pAB<br />
= =<br />
pB<br />
= =<br />
Zwei Ereignisse A, B mit pA ≠∅ und pB ≠∅ heißen unabhängig, falls:<br />
<br />
/ = <br />
/ = <br />
pAB= pA⋅pB oder pA B pA<br />
pB A pB<br />
10.2.4 Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit<br />
Gegeben seien die Ereignisse A1 , A2 , ... , An mit:<br />
A1A2... An<br />
=Ω und Ai Aj<br />
=∅ für i≠ j<br />
Dann gilt für ein beliebiges Ereignis B ⊂Ω:<br />
1 1<br />
n n n<br />
∑ k<br />
k<br />
k=<br />
1<br />
= 1 2 ... n<br />
p B = p A ⋅ p B/ A + ... + p A ⋅ p B/ A = p A ⋅p<br />
B/ A<br />
Disjunkte Zerlegung: B A B A B A B<br />
Mathe-Formeln Seite 50 Wahrscheinlichkeitsrechnung<br />
AB<br />
B<br />
AB<br />
A<br />
Ω
10.2.5 Zusammengesetzte Zufallsexperimente<br />
Bei einem zusammengesetzten Zufallsexperiment erhält man<br />
1.) die Wahrscheinlichkeit für Elementarereignisse, indem man die Wahrscheinlichkeiten<br />
längs des zugehörigen Pfades im Baumdiagramm multipliziert (Pfadregel).<br />
2.) die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis A, indem man die Wahrscheinlichkeiten aller<br />
zu A gehörenden Elementarereignisse addiert (Summenregel).<br />
10.2.6 Satz von Bayes<br />
pA pB/ A ⋅ <br />
=<br />
pB <br />
pA/ B<br />
Zerlegung von Ω in Ω=A1 A2<br />
mit A1 = A und A2 A =<br />
<br />
/ pA ⋅ pB / A<br />
pA ⋅ pB / A+ pA ⋅pB / A<br />
⇒ pB = pA⋅ pB/ A+ pA ⋅pB/<br />
A<br />
⇒ pA B=<br />
10.2.7 Binomialverteilungen<br />
Wahrscheinlichkeit, bei n Versuchen mit den Einzelwahrscheinlichkeiten p<br />
- genau k mal Erfolg zu haben:<br />
n−k k<br />
B<br />
<br />
pA<br />
n<br />
k<br />
= ⋅ ⋅ − = ≤ ≤<br />
k<br />
p 1 p f k; n; p 0 k n<br />
<br />
f k; n; p = f n−k; n; 1−<br />
p<br />
B B<br />
- höchstens k mal Erfolg zu haben (kein mal, ein mal, zwei mal, ... , k mal):<br />
<br />
k<br />
∑ <br />
i 0<br />
px≤ k = fBinp ; ;<br />
=<br />
- mindestens k mal Erfolg zu haben:<br />
<br />
n<br />
∑<br />
i k<br />
<br />
<br />
k−1<br />
∑ <br />
i 0<br />
px≥ k = fBinp ; ;<br />
=<br />
px≥ k = 1− px≤ k− 1 = 1−<br />
px< k = fBinp ; ;<br />
=<br />
- mindestens k mal und höchstens m mal Erfolg zu haben (k < m):<br />
<br />
m<br />
∑<br />
i k<br />
<br />
pk≤ x≤ m = fBinp ; ;<br />
=<br />
Mathe-Formeln Seite 51 Wahrscheinlichkeitsrechnung
Besondere Werte trigonometrischer Funktionen<br />
-330° -315° -300° -270° -240° -225° -210° -180° -150° -135° -120° -90° -60° -45° -30° 0°<br />
15° 20° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°<br />
π<br />
12<br />
π<br />
9<br />
π<br />
6<br />
π<br />
4<br />
π<br />
3<br />
π<br />
2<br />
2π<br />
3<br />
3π<br />
4<br />
5π<br />
6<br />
π<br />
7π<br />
6<br />
5π<br />
4<br />
4π<br />
3<br />
3π<br />
2<br />
5π<br />
3<br />
7π<br />
4<br />
11π<br />
6<br />
2π<br />
0,2617 0,3490 0,5235 0,7853 1,0471 1,5707 2,0943 2,3561 2,6179<br />
3,1415<br />
3,6651 3,9269 4,1887 4,7123 5,2359 5,4977 5,7595 6,2831<br />
− 11π<br />
6<br />
− 7π<br />
4<br />
− 5π<br />
3<br />
− 3π<br />
2<br />
− 4π<br />
3<br />
− 5π<br />
4<br />
− 7π<br />
6 −π − 5π<br />
6<br />
− 3π<br />
4<br />
− 2π<br />
3<br />
− π<br />
2<br />
− π<br />
3<br />
− π<br />
4<br />
− π<br />
6<br />
0<br />
sin 0,2588 0,3420<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2 2<br />
1<br />
2 3 1<br />
1<br />
2 3<br />
1<br />
2 2<br />
1<br />
2<br />
0 − 1<br />
2<br />
− 1<br />
2<br />
2<br />
1<br />
−<br />
2 3 -1 − 1<br />
2 3 − 1<br />
2 2 − 1<br />
2<br />
0<br />
cos 0,9659 0,9396 1<br />
2 3<br />
1<br />
2 2<br />
1<br />
2<br />
0 − 1<br />
2<br />
− 1<br />
2<br />
2<br />
1<br />
−<br />
2 3 -1 − 1<br />
2<br />
1<br />
3 −<br />
2<br />
2<br />
1<br />
−<br />
2<br />
0<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2 2<br />
1<br />
2 3 1<br />
tan 0,2679 0,3639<br />
1<br />
3<br />
1 3 - − 3 -1 − 1<br />
3<br />
0<br />
1<br />
3<br />
1 3 - − 3 -1 − 1<br />
3<br />
0<br />
cot 3,7320 2,7474 3 1<br />
1<br />
3<br />
0 − 1<br />
3<br />
-1 − 3 - 3 1<br />
1<br />
3<br />
0 − 1<br />
3<br />
-1 − 3 -<br />
1<br />
2<br />
− 5π<br />
2<br />
2 = 0, 7071<br />
−2π<br />
1<br />
2<br />
1997 by Frank Flatten<br />
3 = 0, 8660 3 = 1, 7320<br />
− 3π<br />
2<br />
−π<br />
− π<br />
2<br />
0<br />
π<br />
2<br />
<br />
1<br />
= 0, 5773 sin= x cos x−<br />
3<br />
π<br />
2<br />
π<br />
3π<br />
2π 5π<br />
2<br />
2<br />
<br />
cos= x sin x+<br />
π<br />
2<br />
sin x<br />
tan<br />
x =<br />
cos x<br />
<br />
α⋅π b=<br />
180°<br />
180°⋅b α =<br />
π