Formelsammlung Mathematik I - III

Formelsammlung
zu den Vorlesungen
Mathematik I - III
in den Studiengängen
Technische Informatik
und
Nachrichtentechnik
der FHTE

Vorwort zur 2. Auflage
Diese Formel- und Verfahrenssammlung ist entstanden aus den Vorlesungen von Prof.
Dr.-Ing. Bernhard Bauer im Zeitraum WS 94/95 - WS 95/96. Sie hat zum Ziel, den
behandelten Stoff in kurzer, prägnanter Form zusammenzufassen, und erhebt keinen
Anspruch auf Vollständigkeit. Als ideale Ergänzung empfiehlt sich die "Mathematische
Formelsammlung für Ingenieure und Naturwissenschaftler" von Lothar Papula.
Aufgrund der guten Resonanz der 1. Auflage habe ich die vorliegende 2. Auflage im Stoff von
Mathe I um die Kapitel Differential- und Integralrechnung und um den Stoff von Mathe III
erweitert. Verbesserungsvorschläge bitte per e-mail an: tiw4frfl@rz.fht-esslingen.de.
Mathematik I
Inhaltsverzeichnis
Copyright 1997 by Frank Flatten
1. Vektorrechnung .......................................................................................................... 1
1.1 Allgemeines ....................................................................................................... 1
1.2 Skalarprodukt .................................................................................................... 1
1.3 Kreuzprodukt ..................................................................................................... 2
1.4 Spatprodukt ....................................................................................................... 2
Zusammenfassung der Produktanwendungen ................................................... 2
1.5 Anwendungen in der analytischen Geometrie ................................................... 3
1.5.1 Darstellung von Geraden und Ebenen ................................................. 3
1.5.2 Umwandlung PAR PARFREI ........................................................ 3
1.5.3 Umwandlung PARFREI PAR ........................................................ 3
1.5.4 Schnitte ............................................................................................... 4
1.5.5 Abstände .............................................................................................. 4
1.5.6 Winkel ................................................................................................. 4
2. Lineare Algebra .......................................................................................................... 5
2.1 Matrizen ............................................................................................................ 5
2.2 Determinanten ................................................................................................... 5
2.3 Lineare Gleichungssysteme ............................................................................... 5
Mathe-Formeln Seite I Inhalt

3. Komplexe Arithmetik ................................................................................................. 6
3.1 Allgemeines ....................................................................................................... 6
3.2 Rechengesetze ................................................................................................... 6
3.3 Anwendungen .................................................................................................... 7
3.3.1 Überlagerung von Schwingungen ....................................................... 7
3.3.2 Algebraische Gleichungen .................................................................. 7
3.3.3 Nicht-algebraische Gleichungen ......................................................... 7
3.3.4 Gebiete in der Gauß´schen Zahlenebene ............................................. 7
4. Differentialrechnung ................................................................................................... 8
4.1 Erste Ableitung elementarer Funktionen ........................................................... 8
4.2 Differentiationsregeln ........................................................................................ 9
4.3 Implizite Differentiation .................................................................................... 9
4.4 Logarithmisches Differenzieren ........................................................................ 9
4.5 Anwendung: Kurvendiskussion ...................................................................... 10
4.5.1 Monotonie und Krümmung ............................................................... 10
4.5.2 Relative Extremwerte ........................................................................ 10
4.5.3 Wendepunkte und Sattelpunkte ........................................................ 10
4.5.4 Verschiebung, Spiegelung und Streckung von Kurven .................... 10
5. Integralrechnung ....................................................................................................... 11
5.1 Unbestimmtes Integral und Stammfunktion ................................................... 11
5.2 Bestimmtes Integral - Flächeninhalt ................................................................ 11
5.3 Elementare Integrationsregeln für bestimmte Integrale .................................. 12
5.4 Integrationsverfahren ....................................................................................... 12
5.4.1 Grundintegrale .................................................................................. 12
5.4.2 Integration durch Substitution ........................................................... 13
5.4.3 Partielle Integration (Produktintegration) ......................................... 13
5.4.4 Integration gebrochenrationaler Funktionen - Partialbruchzerlegung 14
5.5 Uneigentliche Integrale ................................................................................... 15
5.6 Einige andere häufig benötigte Integrale ......................................................... 16
Mathematik II
6. Differentialgleichungen und DGL-Systeme ............................................................ 17
6.1 Allgemeine DGL 1. Ordnung .......................................................................... 17
6.1.1 Integration durch Trennung der Variablen ........................................ 17
6.1.2 Integration durch Substitution ........................................................... 17
Mathe-Formeln Seite II Inhalt

6.2 Lineare DGL 1. Ordnung ................................................................................ 18
6.3 Lineare DGL 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten ................................. 18
6.4 DGL 2. Ordnung, die auf DGL 1. Ordnung zurückgeführt werden können ... 19
6.5 Lineare DGL n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten ............................ 20
Homogene Lösung und Störansatz .................................................................. 20
Resonanzfall .................................................................................................... 21
Komplexer Ansatz für partikuläre Lösung ...................................................... 22
6.6 Euler´sche DGL ............................................................................................... 22
6.7 Anfangs- Rand- und Eigenwertprobleme ........................................................ 23
6.8 Anwendung: Schwingungs-DGL .................................................................... 24
6.8.1 Freie Schwingung .............................................................................. 24
6.8.2 Erzwungene Schwingung .................................................................. 24
6.9 DGL-Systeme .................................................................................................. 25
6.9.1 Normalform einer DGL n-ter Ordnung ............................................. 25
6.9.2 Systeme linearer DGL 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten .... 25
Stabilität von DGL-Systemen ........................................................... 26
7. Potenz- und Fourier-Reihen ..................................................................................... 28
7.1 Allgemeine Konvergenzkriterien .................................................................... 28
7.1.1 Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen....................................... 28
7.1.2 Quotienten- und Wurzelkriterium...................................................... 28
7.2 Potenzreihen .................................................................................................... 28
7.2.1 Allgemeine Form der Potenzreihe .................................................... 28
7.2.2 Konvergenzradien von Potenzreihen ................................................ 28
7.2.3 Taylor-Reihe ..................................................................................... 28
7.2.4 Rechenregeln für Potenzreihen ......................................................... 29
7.2.5 Fehlerabschätzung ............................................................................. 29
7.2.6 Spezielle Potenzreihen ...................................................................... 30
7.3 Fourier-Reihen ................................................................................................ 31
7.3.1 Fourier-Reihen für 2-periodische Funktionen ................................ 31
7.3.2 Spezialfälle 2-periodische Funktionen ............................................ 31
7.3.3 Fourier-Reihen für T-periodische Funktionen .................................. 32
7.3.4 Spezialfälle T-periodische Funktionen ............................................. 32
7.3.5 Komplexe Form der Fourier-Reihe ................................................... 33
7.3.6 Zusammenhang zwischen komplexer und reeller Darstellung .......... 34
7.3.7 Fourier-Transformation ..................................................................... 34
Mathe-Formeln Seite III Inhalt

Mathematik III
8. Laplacetransformation ............................................................................................. 35
8.1 Einführungsbemerkungen und Definition ....................................................... 35
8.2 Sätze zur Laplacetransformation ..................................................................... 36
8.2.1 Korrespondenzen zum 1. Differentiationssatz .................................. 36
8.2.2 Rücktransformation mit Hilfe der Partialbruchzerlegung ................. 36
8.2.3 Faltung und Faltungssatz .................................................................. 37
8.3 Wichtige Korrespondenzen ............................................................................. 38
8.4 Ergänzungen .................................................................................................... 39
8.4.1 Laplacetransformation eines Rechteckimpulses ............................... 39
8.4.2 Laplacetransformation periodischer Funktionen ............................... 39
8.4.3 Sprungfunktionen mit Verschiebeanteil ............................................ 39
8.5 Anwendung: Lösung von DGL und DGL-Systemen ...................................... 40
8.5.1 Allgemeines Lösungsverfahren ......................................................... 40
8.5.2 Lineare DGL 1. Ordnung .................................................................. 40
8.5.3 Lineare DGL 2. Ordnung .................................................................. 40
8.5.4 Zusätzliche Bemerkungen ................................................................. 40
8.5.5 Lösung von DGL-Systemen .............................................................. 40
8.5.6 Beispiel .............................................................................................. 41
9. Vektoranalysis ........................................................................................................... 42
9.1 Differentialrechnung bei Funktionen mehrerer Variabler ............................... 42
9.1.1 Partielle Differentiation ..................................................................... 42
9.1.2 Tangentialebene und totales Differential .......................................... 42
9.1.3 Kettenregel für Funktionen von 2 Variablen .................................... 43
9.1.4 Höhere partielle Ableitungen und Satz von Schwarz ....................... 43
9.2 Darstellung von Kurven .................................................................................. 44
9.3 Tangentenvektor .............................................................................................. 44
9.4 Gradient ........................................................................................................... 44
9.5 Vektorfelder und Potentialfelder ..................................................................... 45
9.5.1 Skalar- und Vektorfelder ................................................................... 45
9.5.2 Potentialfelder ................................................................................... 45
9.6 Liniennintegrale (Arbeits-/Kurvenintegrale) ................................................... 47
9.6.1 Definition des Linienintegrals ........................................................... 47
9.6.2 Bemerkungen zum Linienintegral ..................................................... 47
9.6.3 Wegunabhängiges Linienintegral im Potentialfeld ........................... 47
Mathe-Formeln Seite IV Inhalt

10. Wahrscheinlichkeitsrechnung ................................................................................. 49
10.1 Kombinatorik .................................................................................................. 49
10.1.1 Geordnete Stichprobe ohne Zurücklegen .......................................... 49
10.1.2 Ungeordnete Stichprobe ohne Zurücklegen ...................................... 49
10.1.3 Geordnete Stichprobe mit Zurücklegen ............................................ 49
10.1.4 Ungeordnete Stichprobe mit Zurücklegen ........................................ 49
10.1.5 Überlegung mit Baumdiagramm ....................................................... 49
10.2 Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten ................................................................. 50
10.2.1 Gleichwahrscheinlichkeit .................................................................. 50
10.2.2 Additionssatz ..................................................................................... 50
10.2.3 Multiplikationssatz ............................................................................ 50
10.2.4 Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit ........................................... 50
10.2.5 Zusammengesetzte Zufallsexperimente ............................................ 51
10.2.6 Satz von Bayes .................................................................................. 51
10.2.7 Binomialverteilung ............................................................................ 51
Anhang: Besondere Werte trigonometrischer Funktionen
Mathe-Formeln Seite V Inhalt

1.1 Allgemeines
Betrag:
1. Vektorrechnung
a = a + a + a = a⋅ a = a
2 2 2 2
x y z
a = a⋅ a = a
2 2
Richtungswinkel: cosα = ax
a
cosβ = ay
a
cosγ = az
a
ax = a ⋅cosα
ay = a ⋅cosβ
az = a ⋅cosγ
Addition, Subtraktion:
2 2 2
cos α+ cos β+ cos γ = 1
z
a
x
a
y
az
ax
bx
a± b = ay
by
a b
± =
S-Multiplikation: λ ⋅ a =
1.2 Skalarprodukt
Berechnung:
Orthogonalität:
Schnittwinkel: cosϕ =
Projektion:
z
λ ⋅
λ ⋅
λ ⋅
a ± b
a ± b
a ± b
x x
y y
z z
ax
bx
a⋅ b = ay
by
a b a b a b
az
bz
⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅
a⋅ b = a ⋅b ⋅cosϕ
a⋅ b = 0 ⇐ a⊥b
a⋅b
a ⋅ b
x x y y z z
a⋅b
ab
ba
= ⋅a
b b
2 a= ⋅ =
a
a
⋅
cosϕ Vorzeichen Richtung!
Mathe-Formeln Seite 1 Vektorrechnung
b
a+ b
a
a−b Projektion:
ϕ
b
b a
a

1.3 Kreuzprodukt
Berechnung:
Besonderheiten:
Kollinearität:
i
a× b = ax
j
ay
k
az
= i ⋅ a b −a b
− j⋅ a b − a b
+ k ⋅ a b −a
b
bx by bz
a× b = a ⋅b ⋅sinϕ
a× b ⊥ a ∧
a× b ⊥ b
a× a =0
a× b = − b × a
λ⋅ a× b = λ⋅ a × b = a× λ⋅b
0 oder
ab 1
a× b = ⇐ a b
Anwendungen: AParallelogramm = a× b = ⋅ a+ b × a−b 2
1
ADreieck = ⋅ a× b
2
1.4 Spatprodukt
Berechnung:
Besonderheiten:
Komplanarität:
Anwendungen: VSpat a b c =
senkrecht
parallel
in einer Ebene
linear abhängig
linear unabhängig
abc = a⋅ b× c⋅cosϕ
ϕ =∠ ×
ab , c
y z z y x z z x x y y x
besser Berechnung über Determinante (siehe Kreuzprodukt)!
abc
= a⋅ b× c =
bca
= b⋅ c× a =
cab
= c⋅ a× b
(zyklische Vertauschung)
abc
abc
=− bac
=−acb (Vertauschung von benachbarten Vektoren
ändert das Vorzeichen des Vektorprodukts!)
abc = 0 ⇔ abc , , liegen in einer Ebene!
VTetraeder = ⋅ a b c
1
6
2 Vektoren 3 Vektoren
a⋅ b =0
a× b =0
abc =0
a× b =0
abc =0
a× b ≠0
abc ≠0
× i j
k
i 0 k − j
j −k 0 i
k j −i 0
a⋅ b = a ⋅b ⋅cosϕ
a× b = a ⋅b ⋅sinϕ
abc = a⋅ b× c
abc = a⋅ b× c⋅cosϕ
abc =−bac
Mathe-Formeln Seite 2 Vektorrechnung

1.5 Anwendungen: analytische Geometrie
1.5.1 Darstellung von Geraden und Ebenen
Gerade:
x = x +
⋅a
Ebene:
0 λ Parameterdarstellung (PAR)
Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D1
= 0 (Gerade als Schnitt zwischen 2 Ebenen)
Ax 2 + By 2 + Cz 2 + D2
= 0 Parameterfreie Darstellung (PARFREI)
x = x
+ μ ⋅ a+ μ ⋅b
Parameterdarstellung (PAR)
0 1 2
Ax + By + Cz + D =0 Parameterfreie Darstellung (PARFREI)
1.5.2 Umwandlung: PAR → PARFREI
Gerade: Prinzip:3 skalare Gleichungen mit 4 Unbekannten werden auf
2 Gleichungen mit 3 Unbekannten zurückgeführt.
(eine Gleichung nach λ auflösen und in die anderen einsetzen!)
Ebene:
Bsp:
x
y
z
=
2
1
0
2
+ λ⋅ 1 ⇒
−1
x = 2+ 2λ
y = 1+
λ
z =−λ ⇒ λ =−z
x = x0 + μ1⋅ a+ μ2⋅b
⇒ a× b = n ⇒ nx⋅ x+ ny⋅ y+ nz⋅ z+ d = 0
Punktprobe mit x0 ergibt d!
1.5.3 Umwandlung: PARFREI → PAR
Gerade: Prinzip:Parameter einführen
Bsp. 1: x = z+ 5 , y = 4−2z ⇒ z = λ ⇒
Bsp. 2:
x−x a
y y
=
a
−
z z
=
a
−
= ⇒
0 0 0 λ
x y z
Ebene: Prinzip:2 Parameter einführen
Ax By Cz D
D B C
x y
A A A z
+ + + = 0 ⇒ = − − −
y = μ1
z = μ
2
x = 5+
λ
y = 4−2λ ⇒
z = λ
x = x0 + λ⋅a
y = y0 + λ⋅a
z = z + λ⋅a
Mathe-Formeln Seite 3 Vektorrechnung
⇒
0
=
x
y
z
z
x
y
D
−
A
0
0
⇒
=
x
y
z
5
4
0
x = 2−2z y = 1−z
1
+ λ⋅
−2
1
B
− A
+ ⋅
μ
1 1 + μ2⋅
0
C
−
A
0
1

1.5.4 Schnitte
Gerade - Gerade:
geg: g: xg = x1+ λ⋅ a1 , h: xh = x2 + μ⋅a2
Annahme: g, h liegen in einer Ebene → x
= x ⇒
x + λ⋅ a
= x
+ μ⋅a
g h 1 1 2 2
→ 3 Gleichungen für 2 Unbekannte (λ, μ)
⇒ LGS muß komplett lösbar sein, sonst sind Geraden windschief!!!
(Anmerkung: PARFREI in PAR umwandeln)
Gerade - Ebene: 1. Weg: Gerade und Ebene in PAR:
g = E ⇒ x0 + λ⋅ a = x1+ μ1⋅ b + μ2⋅c
→ 3 Gleichungen für 3 Unbekannte (λ, μ1, μ2
)
⇒ LGS nach λ auflösen und in g einsetzen ⇒ Schnittpunkt
2. Weg: Gerade in PAR, Ebene in PARFREI: (Seite 63 Bsp. 38)
g in 3 skalare Gleichungen zerlegen und in E einsetzen
→ nach λ auflösen und in g einsetzen ⇒ Schnittpunkt
(gilt für beide Wege: falls LGS nicht lösbar → kein Schnittpunkt! → g parallel E!)
Ebene - Ebene: 1. Weg: E1, E2
in PARFREI: (Seite 65)
stellt bereits die Schnittgarade dar falls Darstellung in PAR
verlangt: Parameter einführen (z = λ). Man erhält ein
LGS (x = f λ , y = f λ , z = λ)
⇒ Gerade in PAR
2. Weg: E1: xE1 = x1+ μ1⋅ a + μ2⋅ b , E2: xE2 = x2 + λ1⋅ c + λ2⋅d
gleichsetzen: E1 = E2
(Seite 66 Bsp. 40)
1.5.5 Abstände
Punkt - Ebene: HNF: d =
→ 3 Gleichungen für 4 Unbekannte
⇒ Lösung des LGS in Abhängigkeit einer Unbekannten (z.B. λ 2 )
setzt man nun λ 1 und λ 2 = p in E 2 ein, erhält man g in PAR
A⋅ Px + B⋅ Py + C⋅ Pz + D
2 2 2
A + B + C
Punkt - Ebene mit Lotfußpunkt: 1.) g ermitteln aus Normalenvektor von E und Punkt P
2.) Q durch Schnitt g, E (siehe oben 2. Weg)
3.) d = Q− P
Punkt - Gerade: 1.) E⊥ g durch P (Richtungsvektor = Normalenvektor + Punktprobe P)
2.) Q durch Schnitt g, E (siehe oben 2. Weg)
3.) d = Q− P
1.5.6 Winkel
a1⋅a2 Gerade - Gerade: Winkel zwischen den Richtungsvektoren: cosϕ =
a ⋅ a
1 2
Gerade - Ebene: Gegenwinkel (zu 90°) zwischen Richtungsvektor der Geraden
a⋅n und Normalenvektor der Ebene: sinϕ =
a ⋅ n
n1⋅n2 Ebene - Ebene: Winkel zwischen den Normalenvektoren der Ebenen: cosϕ =
n ⋅ n
1 2
Mathe-Formeln Seite 4 Vektorrechnung

2.1 Matrizen
Schreibweisen: A= ( a ) =
Rechenregeln: A± B= ( a ± b )
2. Lineare Algebra
ik
a11 ... a1... a1
: : :
a 1 ... a ... a
: : :
a ... a ... a
ik ik
k n
i ik in
m1mk mn
p⋅ A= p⋅ ( a ) = ( p⋅a )
ik ik
= A = ( a )
( mn , ) ik ( m, n)
A( mn , ) ⋅ B( nq , ) = C(
mq , ) (dabei ist cik das Skalarprodukt
Wichtig: A⋅B≠ B⋅A der i. Zeile von A mit der k. Spalte von B.)
T
Transponieren: A( mn , ) = A(
nm , )
(x-te Zeile wird zur x-ten Spalte!)
−1
− 1 1 a22 −a12
Invertieren: A⋅ x = b ⇒ x = A ⋅b
mit A = ⋅
det A −a
a
−1 −1
Es gilt: A⋅ A = A ⋅ A= E
2.2 Determinanten
Mathe-Formeln Seite 5 Lineare Algebra
−1 − 1
=
und ( A ) A
21 11
Definition:
a11 D= det A= a21 a12
a22
= a11 ⋅a22 −a21 ⋅a12
(nur für 2x2 Matrizen)
b1 a12
a11 b1
a11x1+ a12x2= b1
Cramer-Regel:
a21x1+ a22x2= b2
⇔ A⋅ x = b ⇒
D b 1 2
x1=
=
D a11 a22
a12
D2
x2=
=
D
a21 a11 b2
a12
a a
a a
,
21 22
21 22
Rechenregeln: - det A det A T
=
- D = 0, wenn 1 Zeile oder Spalte nur 0 enthält
- D = 0, wenn 2 Zeilen oder Spalten proportional oder gleich sind
- Vertauscht man 2 bel. Spalten oder Zeilen, so ändert sich das Vorzeichen
- gem. Faktoren einer Zeile oder Spalte können ausgeklammert werden
2.3 Lineare Gleichungssysteme
GAUSS-Algorithmus:
x x x
x x x
x x x
x
x
x
⇒
x x x
0 x x
0 r q
Lösbarkeit von n,n-Systemen: inhomogen: A⋅ x = b, b≠0
homogen: A⋅ x =0
det A ≠ 0 1 Lösung nur triviale Lösung
det A = 0 0 Lösungen oder ∞ Lösungen ∞ Lösungen
Die Determinante einer Δ-Matrix ergibt sich aus dem Produkt der Hauptdiagonalelemente!
x
x
p
i = 1 ... n Zeilenindex
k = 1 ... m Spaltenindex
0 Lösungen für: r = q = 0 und p 0
∞ Lösungen für: r = q = p = 0
1 Lösung für: r = 0 und q 0

3.1 Allgemeines
3. Komplexe Arithmetik
Darstellungsformen: z = x+ j⋅y z* = ( x+ j⋅ y)* = x− j⋅y z = r⋅ (cosϕ+ j⋅sin
ϕ) z* = r⋅(cosϕ− j⋅sin
ϕ)
z r e jϕ
= ⋅
z r e j − ϕ
*= ⋅
Umrechnung: x = r⋅cosϕ
y = r⋅sinϕ
1 = e j
3.2 Rechengesetze
2 2
r = z = x + y
0
180
− 1=
e = e
± j ° ± jπ
π
j
90 2
j °
j = e = e
π
−j
90 1 2
− j °
− j = e = e =
j
y
ϕ = = = arc z arg z arctan y
!!! wenn Re < z : ⇒ = arctan
0 ϕ
x
+ 180°
!!
j
45 4
π
j °
1+ j = 2⋅ e = 2⋅e
−j
45 4
π
− j °
1− j = 2⋅ e = 2⋅e
j135°
− 1+ j = 2⋅ e = 2⋅e
Mathe-Formeln Seite 6 Komplexe Arithmetik
3
j
4
π
− j135°
−1− j = 2⋅ e = 2⋅e
3
− j
4
π
Addition; Subtraktion: z ± z = ( x + j⋅ y ) ± ( x + j⋅ y ) = ( x ± x ) + j⋅ ( y ± y )
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
Multiplikation: z ⋅ z = r ⋅e ⋅ r ⋅ e = r ⋅r ⋅e
Division:
jϕ1 jϕ2 j ϕ1+ ϕ2
1 2 1 2 1 2
z
z
1
2
r1⋅e =
r ⋅e
2
jϕ1
jϕ2
=
r1
j 1 2 e
r2⋅
ϕ −ϕ
oder durch konjugiert komplexe Erweiterung:
z1
x1+ j⋅y1 = =
z x + j⋅y 2
2 2
ϕ
n
n jn⋅ϕ
n j
Potenzieren: z = r⋅ e = r ⋅e
j
n n
Wurzelziehen: z = r ⋅e
ϕ+ k⋅
360°
n
x1+ j⋅y1 ⋅ x2 − j⋅y2 x2 + j⋅y2 ⋅ x2 − j⋅y2
k = 0, 1, 2, ... , (n-1)
=
1 1 2 2
x
x + j⋅y ⋅ x − j⋅y 2 2
x + y
2
2

3.3 Anwendungen
3.3.1 Überlagerung von Schwingungen (bei gleichem !)
A B C
Es gilt: A⋅ cos ωt+ ϕ + B⋅ cos ωt + ϕ = C⋅ cos ωt+ ϕ
Mathe-Formeln Seite 7 Komplexe Arithmetik
Ae ⋅ + Be ⋅ = Ce ⋅
jϕA jϕB jϕC
Vorgehensweise: 1.) Umwandlung der Zeitfunktionen in komplexe Exponentialform
2.) Addition - grafisch
- algebraisch durch:
- Umrechnung in Komponentenform
- Addition
- Rückführung in Exponentialform
3.) Rückführung der komplexen Form in die Zeitfunktion
3.3.2 Algebraische Gleichungen
Algebraische Gleichungen n-ten Grades haben immer n Lösungen. Dabei gilt:
- sind alle Koeffizienten reell,
dann sind die Lösungen entweder reell oder konjugiert komplex!
- gibt es komplexe Koeffizienten,
läßt sich keine allgemeine Aussage über die Lösungen machen!
3.3.3 Nicht-Algebraische Gleichungen
Lösung : - Ansatz: z = x + j y
- Trennung nach Real- und Imaginärteil
- Lösung des LGS
Achtung: - Es kann sein, daß Real- oder Imaginärteil verschwinden: x ; y = 0!
- Wenn x ; y nicht reell werden keine Lösung der Ausgangsgleichung!
3.3.4 Gebiete in der Gauß´schen Zahlenebene
Solche Gebiete werden durch Nicht-Algebraische Ungleichungen beschrieben.
Lösung: - prinzipielle Behandlung wie bei Nicht-Algebraischen Gleichungen
- dann: Testpunkt einsetzen, zur Bestimmung des Gebietes
Besonderheit: Kreis: z z r
− =
0

4. Differentialrechnung
4.1 Erste Ableitung elementarer Funktionen
Potenzfunktion x n
Wurzelfunktion vx
Funktion f x
Ableitung f x
n
xm
n x n
⋅
Mathe-Formeln Seite 8 Differentialrechnung
−1
,
v x
2⋅ vx
n
m m
⋅
−
1
v x
Gebrochene Funktion
−
vx
vx
Trigonometrische Funktionen sin x
cos x
cos x
−sin x
tan x
cot x
−
’
2
1 2
cos x
xn m
1
2
sin x
1
2
1−x
1
Arkusfunktionen arcsin x
arccos x
arctan x
arccotx −
1−
1
1+x
1
−
1+
Expotentialfunktionen e x
e x
2
x
2
2
x
⋅
a x ln a a x
Logarithmusfunktionen ln x
1
x
Hyperbelfunktionen
loga x
sinh x
cosh x
1
ln⋅ a x
cosh x
sinh x
tanh x
coth x
1 2
cosh x
1
− 2
sinh x
’

4.2 Differentiationsregeln
, ’
Faktorregel y = C⋅ f x
y = C⋅ f x
1 2
n
1 2
n
, ’ ’ ’
Summenregel y = f x + f x + ... + f x y = f x + f x + ... + f x
Produktregel y = u x ⋅v
x
ux
Quotientenregel y =
, , ,
y = u x ⋅ v x + u x ⋅v
x
, ,
, u x ⋅v x −u x ⋅v
x
y =
vx 2
dy dy du
= ⋅ oder
’ ’ ,
f x = F u ⋅u
x
vx
Kettenregel y = F u x
Kettenregel: "Äußere Ableitung mal innere Ableitung"
4.3 Implizite Differentiation
Eine Funktion in impliziter Form Fx, y=0
wird gliedweise nach der Variablen x differenziert,
wobei y als eine von x abhängige Funktion zu betrachten ist. Desshalb muß beim Differenzieren
von y die Kettenregel angewendet werden! Anschließend wird nach y' aufgelöst.
Beispiel:
2 2 d 2 2
, , x
Fx, y= x + y − 16 = 0 ⇒ x + y − 16= 2 x+ 2 y⋅ y = 0 ⇒ y = −
dx y
4.4 Logarithmisches Differenzieren
Manche Funktionen lassen sich nicht nach den bisher bekannten Regeln differenzieren. Solche
Funktionen müssen dann vorher auf geeignete weise behandelt werden.
x
Beispiel: y = x ( x > 0)
x
1.) Logarithmieren: ln y = ln x = x⋅ln x
2.) Differenzieren: linke Seite:
Mathe-Formeln Seite 9 Differentialrechnung
dx
d d y
y ln
rechte Seite:
dx
du
dx
ln ,
dy
dy dx y y
= ⋅ = ⋅
1
d
dx x x x x 1
⋅ ln = ln + ⋅ = ln x + 1
x
d x ,
x
⇒ x = y = y⋅ ln x + 1 = x ⋅ ln x + 1
dx

4.5 Anwendung: Kurvendiskussion
4.5.1 Monotonie und Krümmung
, ’
Die 1. Ableitung y = f x gibt die Steigung der Kurventangente an und bestimmt somit das
Monotonie-Verhalten der Funktion:
, ’
, ’
y = f x0
> 0:
monoton wachsend y = f x0
< 0:
monoton fallend
,, ’’
Die 2. Ableitung y = f x bestimmt das Krümmungsverhalten der Funktion:
,, ’’
,, ’’
y = f x0
> 0:Linkskrümmung
y = f x0
< 0:Rechtskrümmung
4.5.2 Relative Extremwerte
Hinreichende Bedingungen für lokale Extremwerte:
E E
E E
’ ’’
1.) f x = 0 und f x < 0 ⇒ Hochpunkt
’ ’’
2.) f x = 0 und f x > 0 ⇒ Tiefpunkt
4.5.3 Wendepunkte und Sattelpunkte
Hinreichende Bedingung für Wendepunkte:
0 0
’’ ’’’
f x = 0 und f x ≠ 0 (VZW (f " ) Richtung egal!)
Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente. Hinreichende Bedingung:
0 0 0
’ ’’ ’’’
f x = 0, f x = 0 und f x ≠0
4.5.4 Verschiebung, Spiegelung und Streckung von Kurven
Ersetzt man y = f x durch so wird die Kurve
a) y = f x−x0 um x 0 in x-Richtung verschoben
0
b) y = f x + y
um y 0 in y-Richtung verschoben
c) y =−f x
an der x-Achse gespiegelt
d) y = f −x
an der y-Achse gespiegelt
e) x = f y
an der 1. Winkelhalbierenden gespiegelt
f) y = a⋅ f x
mit dem Faktor a in y-Richtung gestreckt
g) y = f b⋅x mit dem Faktor 1/b in x-Richtung gestreckt
h) y f x
= Teile unterhalb der x-Achse werden an ihr
gespiegelt
Mathe-Formeln Seite 10 Differentialrechnung

5. Integralrechnung
5.1 Unbestimmtes Integral und Stammfunktion
’
Eine differenzierbare Funktion F x mit F x = f x heißt Stammfunktion oder
unbestimmtes Integral von f. x Man schreibt:
F ’ x = f x ⇔ f x dx = F x + C
wobei C die Integrationskonstante darstellt und beliebige reelle Zahlenwerte annehmen kann.
Die Integration ist somit die Umkehrung der Differentiation, es gilt daher:
d f x dx = f x
dx
5.2 Bestimmtes Integral - Flächenberechnung
Ist F x Stammfunktion der stetigen positiven Funktion f, x so berechnet sich die Fläche
zwischen der Kurve, der x-Achse und den Geraden x= a und x = b als bestimmtes Integral
von f x in der Form:
b
a
b a
A= f x dx = F x = F b −F
a
Die Ableitung eines bestimmten Integrals ist immer gleich Null:
Bei der Flächenberechnung gibt es zwei Vereinfachungen:
a a
für gerade Funktionen: f x dx = 2⋅
f x dx
a
−
0
Mathe-Formeln Seite 11 Integralrechnung
d
dx
b
f x dx =0
a
a
− a
für ungerade Funktionen: f x dx =0
Die Fläche zwischen zwei Kurven berechnet sich über die Intagraldifferenz:
b
o u
a
A= f x − f x dx
wobei fo x und fu x die obere bzw. untere Grenzfunktion darstellen.
ACHTUNG: Bei der Flächenberechnung muß prinzipell der Betrag des bestimmten Integrals
gebildet werden, außerdem muß man aufgrund eventueller Vorzeichenwechsel der Funktion
genau auf die Festlegung der Integrationsgrenzen achten!

5.3 Elementare Integrationsregeln für bestimmte Integrale
+ = +
f x dx F b F = − a
f x dx = F a −F
b
Faktorregel k⋅ f x dx = k⋅ f x dx
Summenregel f x g x dx f x dx g x dx
Vertauschung der
Integrationsgrenzen
Aufspaltung eines
bestimmten Integrals
Beliebige
Integrationsvariable
Ableitung nach der
oberen Grenze
b
a
a
b
c
a
b
=
c
+
a
b
x
f t dt
a
f x
d
dx
5.4 Integrationsverfahren
5.4.1 Grundintegrale
f x dx f x dx f x dx
f x dx = f t dt = f u du =...
⇒ f x dx = − f x dx
Mathe-Formeln Seite 12 Integralrechnung
b
a
a
b
= (siehe Flächeninhaltsfunktion)
n 1 n+
1
x dx = ⋅ x + C
n+
1
( n≠
−1)
1
+ 1
=
2
1−x
−
+ 2
dx
1
dx = ln x + C
x
arcsin x C
arccos
x C
1 + 1
= 2
1+
x −
+ 2
dx
x x
e dx = e + C
arctan
x C
arccot x C
sinh xdx= cosh
x+ C
x 1 x
a dx = ⋅ a + C
lna cosh xdx= sinh
x+ C
sin xdx=− cos
x+ C 1
dx = tanh x C
2
cosh +
x
cos xdx= sin
x+ C 1
dx =− coth x C
2
sinh +
x
1
dx = tan x C
2
cos +
x 1
dx = arsinh x + C = lnx+
2
x + 1
2
x + 1+
C
1
2
sin
dx =− cot
x + C
x 1
dx = arcosh x + C = ln x +
2
x −1
2
x − 1+
C
1
= 2
1−x
dx
ar tanh x
1
+ C = ⋅ln
2
1
arcoth x + C = ⋅ln
2
1+
x
1− +
x
x + 1
−1
+
x
C
C
für
x < 1
x > 1

5.4.2 Integration durch Substitution
Die Methode der Integration durch Substitution entsteht durch Umkehrung der Kettenregel der
Differentialrechnung und hat zum Ziel ein Integral in einfachere Grund- oder Stammintegrale
zu zerlegen. Dabei geht man nach folgenden fünf Schritten vor:
= + ⇒ = +
Beispiel: f x 1 3x I 1 3xdx
1.) Bestimmung einer Hilfsfunktion: ux = 1+ 3x
2.) Transformation des Differentials:
du
= 3
dx
⇒
1
dx = ⋅du
3
3.) Durchführung der Substitution: 1 1
1+ 3xdx
= u ⋅ du = ⋅ u du
3 3
4.) Ermittlung der Stammfunktion in u: 1 1 2 32
⋅ udu= ⋅ ⋅ u + C
3 3 3
5.) Rücksubstitution:
2
32
I = ⋅ 1+ 3x + C
9
Wichtig dabei ist der Schritt 2, die Umrechnung des alten Differentials dx in das neue
Differential du; dies erhält man durch Ableitung der Substitutionsgleichung u(x).
Wichtige Integralsubstitutionen:
Integraltyp Substitution neues Integral
fax+ b ⋅ 1
dx
u = a x + b; du = a ⋅dx
f u du
a
’
⋅
’
f g x
,
⋅g
x dx u= g x ;
,
du= g x dx f u du
f x f x dx
f x
f x
u= f x ;
’
du= f x dx 1 2
udu= ⋅ u + C
2
dx u= f x ;
’
du= f x dx du
= ln u + C
u
5.4.3 Partielle Integration (Produktintegration)
Die Rechenvorschrift für die Partielle Integration oder Produktintegration entsteht durch
Integration der Produktregel der Differentialrechnung:
, ,
ux⋅ v xdx= ux⋅vx− u x⋅vxdx Die Integration gelingt, wenn sich der Integrand in Faktoren u(x) und v’(x) mit folgenden
Eigenschaften zerlegen läßt: Zu v’(x) kann einfach eine Stammfunktion ermittelt werden und
das Integral auf der rechten Seite läßt sich lösen!
Beispiel:
,
u=
x; u = 1
,
v
= cos x ; v = sin
x
x ⋅ cos x dx = x ⋅sin x − sin x dx
= x⋅ sin x + cos x + C
Mathe-Formeln Seite 13 Integralrechnung

5.4.4 Integration gebrochenrationaler Funktionen - Partialbruchzerlegung
Jede unecht gebrochenrationale Funktion läßt sich eindeutig darstellen als Summe einer ganzrationalen
Funktion und einer echt gebrochenrationalen Funktion. Ganzrationale Funktionen
lassen sich leicht integrieren, echt gebrochenrationale Funktionen müssen erst in Summen von
Partialbrüchen gemäß folgender Tabelle zerlegt werden:
Nennerfaktor zugehöriger Ansatz
x−x0 (einfach)
A
x x
− 0
2 x−x0 (doppelt)
A1
x−x0 A2
+
2 x−x0 ... ...
2
x + bx+ c (einfach)
Bx+ C
2
x + bx+ c
2
2 x + bx+ c
(doppelt)
Bx 1 + C1
2
x + bx+ c
B2 x C2
2
x bx c
+
+
+ +
... ...
Vorgehensweise:
1.) Die gegebene Funktion muß echt gebrochenrational sein, wenn nicht Polynomdivision!!
2.) Abspaltung von Linearfaktoren durch ausklammern oder probieren (Nennernullstellen!).
3.) Zerlegungsansatz nach Tabelle.
4.) Mit Hauptnenner durchmultiplizieren.
5.) Bestimmung der Koeffizienten durch Grenzwertmethode (einsetzen der Nennernullstellen)
oder einsetzen einfacher Werte (z.B. 0, 1, ...) und Lösung des entstehenden LGS.
Beispiel:
x−
x A A
f x =
x + x+
x x x x
x A x A x
=
1 −1
1 2
= + 2
5 6 + 2 + 3 + 2 + 3
− 1= + 3 + + 2
Grenzwertmethode:
Ergebnis: f x
1 2
x =−2: − 3= A1 ⇒ A1
=−3
x =−3: − 4=−A ⇒ A = 4
=
2 2
x−
−
=
x + x+ x+ x
+ 1 3 4
2
5 6 2 + 3
⋅HN
Mathe-Formeln Seite 14 Integralrechnung
2

Die resultierenden Partialbrüche lassen sich jetzt folgendermaßen integrieren:
allgemein:
A
dx = A⋅ln x − x0 + C
x−x0 A
x−x0
A
1 1
dx =−A⋅ ⋅
m m−1
x−x m − 0 1 x−x0 Bx+ C
2
1
dx =−A⋅ x−x Bei Integralen der Form
x bx c dx muß man den Bruch weiter zerlegen, und zwar so
+ +
daß im ersten Teil der Summe im Zähler die Ableitung des Nenners steht und der zweite Teil
der Summe im Zähler eine Konstante enthält.
3x−1 Beispiel: I =
dx = ?
2
x + 2x+ 5
3x−1 3 2x+ 2 4
= ⋅
2 2 2
x + 2x+ 5 2 x + 2x+ 5 x 1 4
−
+ +
2
x
Integration durch Substitution (1.Summand: u= x + 2x+ 5; 2. Summand: u = +1
2 ):
3 2 x+
1
Ergebnis: I = ⋅ lnx + 2x+ 5−2⋅arctan C
2
2
5.5 Uneigentliche Integrale
Mathe-Formeln Seite 15 Integralrechnung
2
+
Ist b eine Unendlichkeitsstelle von f(x), so definiert man:
b
a
u
u→b− a
0
+ C
f x dx = lim f x dx (bei b uneigentliches Integral)
Existiert ein endlicher Grenzwert, so heißt das Integral konvergent; ist der Grenzwert
uneigentlich, so heißt das Integral divergent.
Ist a eine Unendlichkeitsstelle von f(x), so erhält man das an der unteren Grenze a
uneigentliche Integral durch eine entsprechende Definition.
Beispiel:
I =
→−
1
0
u
dx
dx
u
⇒
= arcsin x = arcsin u ⇒ I = lim arcsin u =
2
2
0 u 1
1−x1−x 2
0
Ist der Integrationsbereich unbeschränkt, so definiert man:
∞
a
b b
b
b→∞
a→−∞
a
−∞
a
π
f x dx = lim f x dx ; f x dx = lim f x dx
Sind die Grenzwerte endlich, so heißen die uneigentlichen Integrale konvergent, andernfalls
heißen sie divergent.

5.6 Einige andere häufig benötigte Integrale
n+
1
n ax+ b ax+ b
dx=
n+ 1⋅a
für n ≠−1
dx
ax b
ax+ b a
= ⋅ + 1
ln
xdx x b
ax b
ax+ b a a
= − ⋅ + ln 2 xdx b 1
=
+ ⋅ ln ax+ b
2 2 2
ax+ b
a ⋅ ax+ b a
dx 1 ax+ b
=− ⋅ln
x⋅ ax+ b b x
2
3
ax+ bdx=
⋅ ax+ b
3a
dx 1 1 ax+ b
= − ⋅ln
2 2
x⋅ ax+ b b⋅ ax+ b b x
2⋅ 3ax−2b x⋅ ax+ bdx = ⋅ ax+ b
15a 2
dx
ax b
ax+ b a
3
= ⋅ + 2 dx 2⋅ ax−2b = ⋅ ax+ b
x⋅ ax+ b 3a 2
2 2 2 2
x⋅ a + x dx = ⋅ a + x
3
1 xdx ⋅
2 2
= a + x
2 2
3 a + x
cos ax
sinax
2 x sin 2 ax x sin ax cos ax
dx=−
sin ⋅
xdx=
− = −
a
2 4a2 2a
sin a b x sin a b x
sinax sinbx
− ⋅
+ ⋅
2 2
⋅ dx=
−
für a ≠b
2⋅a−b 2⋅
a+ b
ax x ax
x⋅ ax dx = −
a a
⋅ sin cos
sin
ax x ax
x⋅ ax dx = + 2
a a
⋅ cos sin
cos
2
sin a b x sin a b x
cosax cosbx
− ⋅
+ ⋅
2 2
⋅ dx=
+
für a ≠b
2⋅a−b 2⋅
a+ b
sin ax
cosax
2 x sin 2ax
x sin ax cos ax
dx=
cos ⋅
xdx=
+ = +
a
2 4a2 2a
2
sin ax
sin ax ⋅ cos ax dx=
2a
tanaxdx=− ⋅ln
cosax
a
1
cotaxdx=− ⋅ln
sinax
a
1
e dx
a e ax ax
= ⋅
1
n+1
n
sin ax
sin ax ⋅ cos ax dx=
für n ≠−1
n+ 1⋅a
2 tan ax
tan ax
dx=
−x
a
2 cot ax
cot ax
dx=−
−x
a
ax
ax
e
e ⋅ sinbxdx = ⋅ a⋅sinbx−b⋅cosbx 2 2
a + b
ax ax−1
ax
ax
x⋅ e dx = ⋅eax
e
a ∫e ⋅ cos bx dx = 2 2 ⋅ a⋅ cos bx + b⋅sin bx
a + b
ln xdx x ln
2 3
= ⋅ x−1
ln x dx = x⋅ ln x −2x⋅ ln
x + 2x
m
m
x
x ⋅ x dx = x für m
m+
m
⋅ −
+ 1 1
ln ln
ln
x
≠−1
dx = ⋅ ln
x
1 + 1
x
1
2
2
[ ]
2 ( ) ( ) ( )
Mathe-Formeln Seite 16 Integralrechnung

6. Differentialgleichungen
6.1 Allgemeine DGL 1. Ordnung
6.1.1 Integration durch Trennung der Variablen - Separierbare DGL
Anwendung bei DGL´s der Form: y
Lösung durch Einführung von: y
dy
dx
= ⇒
= +
f x g y
= y = y = f x ⋅g
y
g y f x
, , ,
,
= dadurch ergibt sich: g y dy = f x dx
durch Integration ergibt sich: g y dy f x dx G y F x C
Häufig ergeben sich Terme der Form:
dy
=
y
dx ⇒ ln y = x + ln C
*
hier ist es sinnvoll eine Integrationskonstante mit ln *
C zu wählen, dadurch ergibt sich:
6.1.2 Integration durch Substitution
y
C
ln *
,
Typ I: DGL´s der Form: y = f ax+ by+ c
* x x
x y C e y C e
= ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅
Substitution: u= ax+ by+ c u= u x , y = y x (*)
, ,
differenzieren nach x: u = a+ b⋅y , ,
mit y = f u ergibt sich u = a+ b⋅ f u
du
du
⇒ separierbare DGL: ⇒ = a+ b⋅ f u ⇒ dx =
dx
a+ b⋅ f u
Integration ergibt u. x
Rücksubstitution: u x in Substitutionsgleichung (*) einsetzen
und nach y x auflösen.
Typ II: DGL´s der Form:
Substitution:
, y
y = f
x
y
u =
x
Ähnlichkeitsdgl.
u= u x , y = y x
(*)
damit: y = x⋅u differenzieren ergibt:
, ,
y = u+ x⋅u mit y f u
du dx
f u − u x
=
, , ,
= ergibt sich: f u = u+ x⋅u ⇒ x⋅ u = f u −u
⇒ separierbare DGL:
Rücksubstitution ergibt y x
du
⋅ x = f u
dx
−u ⇒
.
Mathe-Formeln Seite 17 Differentialgleichungen

6.2 Lineare DGL 1. Ordnung
,
DGL´s der Form: y x + g x ⋅ y x = r x
1. Schritt: Lösung der homogenen DGL
y , x + g x ⋅ y x =0 separierbar! dy
dy
=−g x ⋅y x ⇒ =−
dx
y
ln ln *
−G
x
y =− G x + C ⇒ yh x = C ⋅ e
= C ⋅y1
x
2. Schritt: Lösung der inhomogenen DGL durch Variation der Konstanten
Ansatz: y x = C x ⋅y1 x (*)
, ′
,
= ⋅ 1+ ⋅ 1
y x C x y x C x y x
einsetzen in inhomogene DGL:
1 1 1
′ rx
rx
C x
C x
y x
y x
1 1
rx
y x
y x
1
′
,
C x ⋅ y x + C x ⋅ y x + g x ⋅ y x = r x
⇒ = ⇒ = dx + K
einsetzen in Ansatz (*): ⇒ = +
⋅ dx K y1 x
[...] = 0 !!! (siehe DGL)
g x dx
Allgemein: y x = yh x + yp x
r x
G x
mit yh x K y x yp x y
−
= ⋅ = x ⋅ dx und y x e
y =
1 ,
1
1
1 x
Eine andere Möglichkeit bietet auch ein geeigneter "Störansatz" zur Bestimmung von yp x
(siehe Lineare DGL n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten)
6.3 Lineare DGL 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
,
DGL´s der Form: y x + a⋅ y x = r x
1. Schritt: Lösung der homogenen DGL
, h
y x + a⋅ y x = 0 ⇒ y x = C⋅e 2. Schritt: Lösung der inhomogenen DGL
Mathe-Formeln Seite 18 Differentialgleichungen
−ax ⋅
Möglichkeit 1: Variation der Konstanten (s.o.)
Möglichkeit 2: "Störansatz"

6.4 DGL 2. Ord. die auf 1. Ord. zurückgeführt werden können
durch Substitution in zwei besonderen Fällen:
Typ A: y f x, y
= (... y fehlt!)
,, ,
Substitution: u = y
,
2
,, ,
Beispiel: y + y = 0
Sub: u = y
, ,, , du
du 2
⇒ y = u = ⇒ + u = 0
dx
dx
separierbage DGL: −
du
= 2
u
dx ⇒
1
= x+ C
u
Rücksub: dx
y = u⋅ dx = = ln x+ C1 x+ C1
+ C2
,,
Typ B: y = f y (... x und y´ fehlen!)
Multiplikation mit y´ ("integrierender Faktor")
, ,, , , ,, ,
⇒ y ⋅ y = f y ⋅y ⇒ y ⋅y ⋅ dx = f y ⋅y ⋅dx
mit
, dy
y =
dx
⇒ y ⋅ dy = f y ⋅dy
wegen:
d , y
dx
, ,,
y y
2
= 2⋅
⋅ ⇒ y 1
⋅ dy = ⋅
2
y
⇒
1 ,
2
⋅ y = f y ⋅dy
2
Beispiel: y
,,
,, ,
1
=− ; y 0 = 2; y 0 = 1
y
,, ,
Mathe-Formeln Seite 19 Differentialgleichungen
2 Multiplikation mit y´:
y
dy
⇒ y ⋅ y =− ⇒ y ⋅ dy =− ⇒ ⋅ y = +
y
y
y C
,
,, ,
,, 1 ,
2 1
2 2
2
,
mit y 0 = 2; y 0 = 1 ergibt sich
, 2
⇒ y = ⇒
y
3
2
2
⇒ ⋅ y2 = 2⋅
x+ C2 ⇒ y = ⋅ 2⋅
x+ K
3
3
1
2
2
1
= + C1 ⇒ C1
= 0
2
, dy
mit y = ⇒ y⋅ dy = 2⋅dx
dx
2
3
0
2
3
!
2 8
1
2
mit y = K = ⇒ K = ⇒ y x = ⋅ 2⋅ x+
8
3
2
3
1

6.5 Lineare DGL n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten
( n)
( n−1)
,
DGL´s der Form: a y + a y + ... + a y + a y = r x
n
n−1
1 0
1. Schritt: Lösung der homogenen DGL mit charakteristischer Gleichung
Ansatz: aus der n-ten Ableitung von y wird die n-te Potenz von λ
( n)
( n−1)
,
a y + a y + ... + a y + a y =
n
n−1
1 0 0
n
( n−1)
⇒ a λ + a λ + ... + a λ+
a =
n
n−1
1 0 0
⇒ jedes Polynom n-ten Grades hat genau n Nullstellen λ k , die entweder reell
oder paarweise konjugiert komplex sind. Zu jedem λ k gehört eine
Fundamentallösung: y e
k
k x
= λ
2
,,
+ 1
,
+ 0 = 0
Beispiel DGL 2. Ordnung: a y a y a y
(Euler-Ansatz)
2
⇒ charakteristische Gleichung: a λ + a λ+
a =
2
1 0 0
Lösung dieser Quadratischen Gleichung unterscheidet 3 Fälle:
Fall 1: λ1 ≠λ2 ∈R ⇒ allgemeine Lösung: yh = C1⋅ e + C2⋅e λ1⋅x λ2⋅x
λ⋅x
ax ⋅ 1 cos 2 sin
Fall 2: λ1 = λ2 = λ∈R
⇒ allgemeine Lösung: yh = C1+ C2⋅x ⋅e
Fall 3: λ12 , = a± jb∈C ⇒ allgemeine Lösung: y = e ⋅ C ⋅ bx+ C ⋅ bx
Wenn a0 = 0 (kein y in DGL) λ = 0,
λ = ? y = C + C ⋅e
1 2
Mathe-Formeln Seite 20 Differentialgleichungen
h
h
1 2
2. Schritt: Lösung der inhomogenen DGL mit "Störansatz"
Man ermittelt eine allgemeine Form für yp , die der Form der Störfunktion r(x) angepaßt ist,
und führt einen sinnvollen Koeffizientenvergleich durch. Dabei sind zwei Fälle zu unterscheiden:
Normalfall und Resonanzfall. Besteht die Störfunktion aus zwei oder mehreren
additiven Anteilen r1 (x) und r2 (x), so ermittelt man zwei unterschiedliche partikuläre
Lösungen yp1 und yp2 und addiert sie. Anschließend muß man den Ansatz n mal ableiten und
in die DGL einsetzen. Nach Vereinfachung führt man den Koeffizientenvergleich durch.
Störfunktion r(x) Ansatz yp ohne Resonanz
a A
x n
a + a x+ ... + a x
0 1
a e kx ⋅
⋅
a⋅cos mx
a⋅sinmx a ⋅ cos mx + a ⋅sin
mx
1 2
kx ⋅
a⋅e ⋅cos
mx
kx ⋅
a⋅e ⋅sin
mx
n
kx ⋅ kx ⋅
a ⋅e⋅ cos mx + a ⋅e⋅sin mx
1 2
n
A + A x+ ... + A x
0 1
Ae kx ⋅
⋅
A ⋅ cos mx + A ⋅sinmx
1 2
n
n
λ2⋅x
kx ⋅ kx ⋅
A ⋅e⋅ cos mx + A ⋅e⋅sin mx
1 2

Achtung: Resonanzfall!
Im Resonanzfall muß ein modifizierter Ansatz durchgeführt werden. Resonanz liegt vor, wenn
die (oder ein Teil der) Störfunktion einer Fundamentallösung der DGL entspricht oder wenn
eine der folgenden Situationen vorliegt:
Störfunktion r(x) Ansatz yp mit Resonanz
a0 x⋅A0 a + a x+ ... + a x
0 1
a) = 0 einfacher Eigenwert
b) = 0 s-facher Eigenwert
n
kx ⋅ kx ⋅
a ⋅e⋅ cos mx + a ⋅e⋅sin mx
1 2
a) = k jm einfache Eigenwerte
b) = k jm s-fache Eigenwerte
n
,, ,
Beispiel: y −6y − 16y = 3+ 2x
n 0 1 ... n
n 0 1 ... n
x⋅ A + A x+ + A x
s
x ⋅ A + A x+ + A x
1 2
1 2
kx ⋅ kx ⋅
x⋅ A ⋅e ⋅ cos mx + A ⋅e ⋅sinmx
s k⋅x k⋅x x ⋅ A ⋅e ⋅ cos mx + A ⋅e ⋅sinmx
2
1. Schritt: char. Gl. λ −6λ− 16= 0 ⇒ λ = − 2, λ = 8
2. Schritt: rx = 3+ 2x ⇒ keine Resonanz
1 2
−2
⇒ y = C ⋅ e + C ⋅e
, ,,
⇒ y = A + Ax, y = A , y =
p 0 1 p 1 p 0
in DGL: −6A −16A − 16Ax = 3+ 2x
1 0 1
Koeffizientenvergleich:
1
x : − 16 A1
= 2
0
x : −6A − 16A = 3
1 0
9 1
⇒ yp =− − x
64 8
−2x
8x
9 1
3. Schritt: y = yh + yp = C1⋅ e + C2⋅e − − x
64 8
Mathe-Formeln Seite 21 Differentialgleichungen
h
1
x 8x
2
1 9
⇒ A1 = − , A2
= −
8 64

Komplexer Ansatz für die partikuläre Lösung
1 2
kx ⋅
p=
⋅ 1⋅ cos
= Re p= Rep kx ⋅
+ 2⋅
sin = ⋅ ⋅ cos kx ⋅ jmx = ⋅ ⋅
+ Φ
kx ⋅ jmx
p
+ ϕ
= ⋅ ⋅
+ ϕ
kx ⋅ kx ⋅
Störfunktionen der Form: r x = e ⋅ a ⋅ cos mx + a ⋅ sinmx = a ⋅e⋅ cos mx + Φ
zugehöriger Ansatz: y x e A mx A mx A e mx
komplexe Darstellung: r x r x mit r x a e e
y x y x mit y x A e e
Ableiten von yp x und einsetzen in die zugehörige komplexe DGL führt zu einer komplexen
Bestimmungsgleichung für A und .
Beispiel:
,, ,
−x
y + 4y + 3y = 8e ⋅cos
2 x (Eigenwerte -1,-3; keine Resonanz!)
−x −x j x j x
rx e x e e
2 = ⋅ = ⋅
= e
2 −1
8 cos 2 8 8
− x j x j j x
Ansatz: yp x Ae e
2 + ϕ
= ⋅
ϕ
= Ae ⋅e
2 −1
y x
jϕ j x
Ae e
2 −1
= ⋅
⋅ 2j−1 Ableiten: ,
p
,,
p
jϕ j x j j x
2 −1 2 ϕ
= ⋅ ⋅ − = ⋅
2 −1
2 1
⋅−3−4
y x Ae e j Ae e j
in DGL:
,, ,
−x j2x y + 4y + 3y = 8e ⋅ e
2j−1 x
= 8e
⇒ Ae
ϕ
⋅e 2 −1 ⋅ −3− 4j+ 4⋅ 2j− 1 + 3
2 −1 = 8e
2
e
−1
6.6 Euler´sche DGL
Mathe-Formeln Seite 22 Differentialgleichungen
:
4 4 8 4 2
3π
j
4 8
j j x j x j x
jϕ jϕ
⇒ Ae ⋅ − + j = ⇒ Ae ⋅ ⋅ e =
⇒
3π
−j
jϕ
8 4 Ae = ⋅e 4 2
⇒ A = 2,
3π
ϕ = −
4
⇒ y =
3π
−j
4 2j−1x 2⋅e ⋅ e =
3π
j 2x−
−
⋅ ⋅
x
4
2 e e
p
2 2
−x
⇒ y = Re y= ⋅e ⋅cos x−
p p
n ( n)
2 ,, ,
DGL´s der Form: a x y + ... + a x y + a xy + a y = r x y = f x !
n
2
3π
4
1 0
t
y
y y
Substitution: x = e y = y = t t
e
e
−
, ,,
;
;
2
Einsetzen in DGL ergibt eine DGL mit konstanten Koeffizienten für y(t)!
yt =...
Rücksubstitution: über: t =lnx ergibt Lösung: y = f(x)!
(ersetze alle eat durch xa !)

6.7 Anfangs- Rand- und Eigenwertprobleme
Anfangswertproblem
Merkmal: mehrere Bedingungen an der gleichen Stelle x0 :
,
Bsp. DGL 2. Ordnung: 2 Anfangsbedingungen yx = y; y x = y
0 0 0 1
Randwertproblem
Merkmal: mehrere Bedingungen an unterschiedlichen Stellen a, b:
,,
Bsp.: y + y =0 allg. Lösung: yx = C1cos x+ C2sin x
a) y= 0 0 ⇒ 0= C1cos0+ C2sin 0 ⇒ C1
= 0
π π π
y 1 1 C cos C sin C
2
2 2
1 2 2
= ⇒ = + ⇒ =
⇒ y = sin x
P
b) y= 0 0 ⇒ 0= C1cos0+ C2sin 0 ⇒ C1
= 0
y= π 1 ⇒ 1= C1cosπ+ C2sin π ⇒ C1
= −1
Widerspruch! keine Lösung für dieses RWP!
c) y= 0 0 ⇒ 0= C1cos0+ C2sin 0 ⇒ C1
= 0
y= π 0 ⇒ 0= C1cosπ+ C2sin π ⇒ C1
= 0
Eigenwertproblem
,, 2
Bsp. schwingende Saite: y + ω y =
kein Widerspruch! C 2 ist frei wählbar!
allg. Lösung für dieses RWP: yP = C2⋅sin x
0 allg. Lösung: y = C cos ωx + C sin ωx
y= 0 0 ⇒ 0= C1⋅ 1+ C2⋅0 ⇒ C1
= 0
C sinωl yl = 0 ⇒ 0= C1cos ωl+ C2sin ωl
Mathe-Formeln Seite 23 Differentialgleichungen
1
1 2
mit C1 = 0 ⇒ 0= 2⋅
nichttrivial lösbar falls: sinωl=0 ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅
⇒
ω l n π
yP = C2⋅sinωx n π
ω
l
⇒ yn ⇒ C2 = beliebig
n⋅π
= Cn⋅sin
⋅x
l
∞
n⋅π
Gesamtschwingungsbild: yx = ∑Cn⋅sin ⋅x
l n=
1

6.8 Anwendung: Schwingungs - DGL
6.8.1 Freie Schwingungen
DGL´s der Form: ax + bx + cx=0
b
c
2 2
δ
Mit den Abkürzungen: δ = ; ω0 = ; ωd = ω0 − δ ; D=
2a
a
ω
2
2 2
ergibt sich: x+ 2δx+ ω0x = 0 mit den Lösungen: λ12 , δ δ ω0
=− ± −
Fall 1: δ = 0 ⇔ D= 0
ungedämpfte Schwingung
λ12 , =± j⋅ω0⇒ x t = C1cos ω0t + C2sin ω0t
Fall 2: 0< δ< ω ⇔ 0< D< 1
schwache Dämpfung
0
−δt
λ12 , =− δ± j⋅ωd ⇒ x t = e ⋅ C1cos ωd t + C2sin ωd
t
Fall 3: δ = ω ⇔ D= 1
Grenzfall
λ , δ =− ⇒ = + ⋅ −
0
δ
12 xt C1 Ct 2 e t
Fall 4: δ> ω ⇔ D> 1
starke Dämpfung
0
2 2
λ12 , δ δ ω0
1 2
=− ± − ⇒ = +
xt Ce Ce
6.8.2 Erzwungene Schwingungen
λ t λ t
1 2
2 2
DGL´s der Form: x+ δx+ ω x = ω x⋅cos ω t
2 0 0 E E
p= p⋅cosωE −ϕ
mit Lösung: x t x t
Allgemeiner Fall: δ > 0 ⇔ D>
0
Fall 1: ω ω ϕ π
E < 0 ⇒ 0<
<
2
unterkritisch
Fall 2: ωE > ω0
⇒
π
< ϕ< π
2
überkritisch
Fall 3: ω ω ϕ π
E = 0 ⇒ =
2
⇒ xp=
2
ω ⋅ 0 xE
2 2
2
2 2
ω − ω + 4δ
ω
;
2δωE
tanϕ
= 2 2
ω0 −ωE
0 E E
ω
x
E
δ
Mit den Abkürzungen: u= ; D= ; V =
ω
ω
x
ergibt sich: V
=
0 0
1
1− u + 4D
u
2 2
2 2
2Du
; tanϕ = 2
1−u
Mathe-Formeln Seite 24 Differentialgleichungen
p
E
0
V ... Amplitudengang
... Phasengang

6.9 DGL - Systeme
6.9.1 Normalform einer DGL n-ter Ordnung
Jede DGL n-ter Ordnung läßt sich in ein System von DGLs 1. Ordnung umwandeln.
Man führt dazu Zustandsgrößen ein, und erhält ein System der Zustandsgleichungen:
Geg: y x= f xyy , , ,..., y
( n) , ( n−1)
y = y1
,
y =
,
y = y
,,
y =
,
y = y
,,,
y =
,
y = y
1 2
2 3
3 4
: : :
( n)
,
y = y = f x, y , y ,..., y
n 1 2 n
Bsp. x − 3x+ 2x = t ⇒ x = − 2x+ 3x+
t
x = x
x
x = x = x
⇔ x
x = x = x
x
x = x = − x + x + t
=
−
⋅
1
1
0 1 0
1
2
2
0 0 1
2
3
3
2 3 0
3
2 1 3 2
In kompakter Matrixschreibweise: x = A⋅ x+ r t
Normalform
x
x
x t
+
1 0
2 0
Mathe-Formeln Seite 25 Differentialgleichungen
3
6.9.2 Systeme linearer DGL 1.Ordnung mit konstanten Koeffizienten
h p
DGL´s der Form: x = A⋅ x+ r t haben die Lösung: xt = x t + x t
1. Schritt: Lösung des homogenen Systems
1.) x = A⋅x 2.) x = c⋅ e ; x = λc⋅e
λt λt
0 nichttrivial lösbar für
− λ = 0 charakt. Gleichung n Eigenwerte
3.) λc= A⋅c ⇔ A−λE ⋅ c=
4.) det A E
5.) λ1,..., λn
einsetzen in (3) c (i)
6.)
7.)
() i () i λit
x = c e Fundamentallösungsvektoren
( 1)
( 2)
( n)
x= t K1x + K2 x + ... + Knx Dieses Schema funktioniert für einfache reelle Eigenwerte!

Bsp: x1 = 2x1+
x2
x2 = 3x1+ 4x2
⇒ = ⋅ = x A x mit
⇒ det A− λE=
0!
2 1
A ⇒ A−λE⋅ c = 0!
3 4
2−λ 1 2
⇒
= λ − 6λ+ 5= 0
3 4−λ
⇒ λ1 = 5; λ2
= 1 (Eigenwerte)
3 1 1
mit λ1 = 5 ⇒ 0
3 1 2
−
−⋅
=
:
c
c
1 1 1
mit λ2 = 1 ⇒ 0
3 3 2
⋅
=
:
c
c
⇒ =
1 1
5t
t
xt K1 e + K2 e
3 −1
Wahl: c1 = 1 c2 = 3 ⇒ = c () 1 1
3
( )
Wahl: c1 = 1 c2 = -1 ⇒ c =
−
2 1
1
Neben reellen, kann A auch einfache Paare konjugiert Komplexer Eigenwerte besitzen:
Zu 1,2 = a jb erhält man komplexe Fundamentallösungsvektoren:
sind dann die reellen Fundamentallösungsvektoren.
() 1 ( 2)
x = Re x ; x = Im x
Beispiel:
⇔
− = − λ
1 λ 4
x1 = x1+ 4x2 x1
1 4
x2 =− x1+ x2
x2
1 1
= −
⋅ x
x
⇔ x= A⋅x x = ce
( a± jb) t
Mathe-Formeln Seite 26 Differentialgleichungen
1
2
2
det A E = λ − 2λ+ 5= 0 ⇒ λ12
, = 1± 2 j
−1 1−λ
Einsetzen von λ1 = 1+ 2 j in LGS: −
− − ⋅
= ⇒ = 2 j 4 c1
2
j
0 c
1 2 j c2
−1
j
( j) t 2
1+ 2 t
Komplexer Lösungsvektor: x= ce = ⋅e ⋅ cos 2t+ j⋅sin 2t
−1
sin t jcos t sin t cos t
t− + t t
x = e
e
je
−cos t− jsin t cos t sin t
= −
−
+
2 2 2 2 2 2 2
2
2 2
2 −
2
Lösung als Linearkombination:
t
() 1
( 2) x t e K t K t
xt 1= − 2 1sin 2 + 2 2cos
2
= Kx 1 + K2 x ⇔
t
x t = e −K cos 2t −K
sin 2t
Stabilität von DGL-Systemen:
Ein DGL-System x = A⋅ x heißt:
2 1 2
a) stabil, wenn alle Lösungsfunktionen beschränkt sind,
b) asymtotisch stabil, wenn gilt: Re

2. Schritt: Lösung des inhomogenen Systems
Zur Lösung der inhomogenen DGL x = A⋅ x+ r t wird ein geeigneter Störansatz gemäß der
Form der Störfunktion r(t) gemacht:
p1t
t
Fall 1.) Störfunktion von der Form: rt
=
α
: e
p (i) vom Grad m
p t
n
a) = 0, und = 0 kein Eigenwert! (keine Resonanz)
q
1 t
⇒ =
x p : alle q (i) vom Grad = m!
q t
n
b) 0, und = kein Eigenwert! (keine Resonanz)
q
1 t
⇒ =
αt
x p : e
alle q (i) vom Grad = m!
q t
n
Fall 2.) Störfunktion von der Form: rt
() 1
= a cos βt ( 2)
+ a sin βt
Voraussetzung: λ =± β j kein Eigenwert! (keine Resonanz)
⇒ x
() 1
= d cos βt ( 2)
+ d sin βt
=
p
Bsp:
t
x x e
t
t
⋅ −
+ −
2 1 3
3 4 3 5
1. homogene Lösung siehe oben: xh= t K e K e
2. inhomogene Lösung: Ansatz mit
1 5 1
1 + 2
3 −1
x
p
=
t t
a a t
a a a t
e x
b b t b b b t e
0 + 1
− −
−t 1 0 1 −t
⇒ p =
(Kettenregel!)
0 + 1 1− 0 − 1
einsetzen in DGL und :e t −
⇒
⇒
=
⋅ 2 1
3 4
− −
+
− −
+ − a1 a0 a1t a0 a1t 3t
b1 b0 b1t b0 b1t 3t+ 5
3a0 − a1+ b0 + 3a1+
b1 t
3t
=
3a − b + 5b + 3a + 5b
t 3t+ 5
Koeffizientenvergleich ergibt: a 0; a 1; b 1; b 0 x
Mathe-Formeln Seite 27 Differentialgleichungen
0 1 0 1 1
t t
0 = 1 = 0 = 1 = ⇒ p = e
1
−
t t t t
= h + p = e
1 1
5
−
1 + 2
Allgemeine Lösung: x x x K e K e
3 −1
1
+

7. Potenz- und Fourier-Reihen
7.1 Allgemeine Konvergenzkriterien
7.1.1 Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen
Für alternierende Reihen gilt:bilden die Koeffizienten a k eine monoton fallende Nullfolge,
so ist die Reihe konvergent.
7.1.2 Quotienten- und Wurzelkriterium
q
ak
+ lim
k a
1 qW = lim k a
k→∞
Q =
→∞
7.2 Potenzreihen
k
7.2.1 Allgemeine Form der Potenzreihe
k
q < 1 Konvergenz
q > 1 Divergenz
q = 1 keine Aussage möglich !
∞
k
∑akx− x0 k=
0
2
= a0 + a1x− x0+ a2x− x0
+ ... ( x0 ist Entwicklungspunkt ! )
7.2.2 Konvergenzradien von Potenzreihen
r
a
lim
k a
= →∞
k
k + 1
7.2.3 Taylor-Reihe
bzw. r = lim
k→∞
k a
1
Die Funktion f(x) sei in der Umgebung der Stelle x 0 beliebig oft differenzierbar, dann gilt:
f x
∞ ( k)
′′
f x0
k
′
f x0
2
= ∑ ⋅ x− x0 = f x0 + f x0 ⋅ x− x0
+ ⋅ x− x0
+ ...
k!
2!
k=
0
Mathe-Formeln Seite 28 Potenz- und Fourier-Reihen
k

7.2.4 Rechenregeln für Potenzreihen
Potenzreihen dürfen innerhalb ihres Konvergenzbereiches beliebig oft gliedweise
differenziert und integriert werden. Der Konvergenzbereich ändert sich dadurch nicht.
Potenzreihen mit gleichem Entwicklungspunkt dürfen in ihrem gemeinsamen Konvergenzbereich
addiert, subtrahiert und multipliziert werden. Der neue Konvergenzbereich ist
der kleinste von den ursprünglichen ( r = min(r 1 , r 2 ) ) !
ux
Den Quotienten zweier Potenzreihen f x = bildet man nach folgendem Schema:
vx
Umformung: f x ⋅ v x = u x , mit allgemeinem f(x) das Produkt f x ⋅ v x ausrechnen
und anschließender Koeffizientenvergleich mit u(x).
Dabei grenzen die Nullstellen des Nenners den Konvergenzbereich ein!
Bei einfachen Funktionen erhält man die Potenzreihe oft durch geeignete Substitution und
anschließendes Einsetzen in bekannte Potenzreihen.
Vorsicht bei Substitutionen mit Winkelfunktionen!!!
Berechnung nicht-elementarer Integrale: häufig durch Substitution ersetzte Potenzreihe
gliedweise integrieren und Integrationsgrenzen einsetzen, z.B.:
x
2
0
−t
e dt
mit der Reihe für e x und der Substitution z = -t 2 ergibt sich:
4 6
2
− t
2 t t
e = 1−
t + − + ... durch Integration und Einsetzen der Integrationsgrenzen:
2! 3!
x
−t
x x x
e dt = x−
+
⋅ − ⋅ +
3 5 7
2
...
3 2! 5 3! 7
0
ux
Berechnung von Grenzwerten unbestimmter Ausdrücke: z.B.: lim
x→0vx
entscheidend sind nach der Potenzreihenentwicklung für u(x) und v(x) die Koeffizienten der
niedrigsten Potenzen!
7.2.5 Fehlerabschätzung, Genauigkeit der Reihenentwicklung bis zum n-ten Glied
Für alternierende Reihen gilt nach Leibniz: Fehler < a n < "Fehlergrenze"
(der Unterschied zwischen Reihengrenzwert und Teilsummengrenzwert ist kleiner als das
erste vernachlässigte Glied!)
Durch Lösung der Ungleichung a n < "Fehlergrenze" erhält man die
Anzahl der Glieder, die notwendig sind, um die Reihensumme mit einer bestimmten
Genauigkeit zu berechnen.
Mathe-Formeln Seite 29 Potenz- und Fourier-Reihen

7.2.6 Spezielle Potenzreihen
1
1+
x
2
x
2+
x
=
e
x
−
2
=
2
∞
k
∑
k=
0
k
... r = 1
2
2 4 6
= − 1 x = 1−
x + x − x +−
∞
∑
k=
0
∞
∑
k=
0
−x −2x
e = e =
k
−1
( k+
1)
2
2 3 4
( k+
1)
x x x x
⋅ x = − + − +−...
2 4 8 16
r = 2
k
− k x x x
⋅ x = − + −
k
⋅k
⋅ +−
2 3
1
1 ... 3
2 ! 2 8 2 3!
r =∞
∞
∑
k=
0
k k
3
−1 ⋅2
k 4 2 2 3
⋅ x = 1− 2x+
x − x +−...
k!
2!
3!
r =∞
∑ r=∞
( 2k 1)
3 5
x k x x x x
sin = −1
= − + ...
( 2k 1)
5
2 2 2k + 1 ! 2 8⋅ 3! 2 ⋅5! −+
∞
+
+
k=
0
4 5 2 5 25 2 125 3
+ x = + x− x + x −+ ...
4 64 512
r = 1
4 3 4 5
2⋅sin x⋅ cos x = 2x−
x + x −+ ...
3 15
r=∞
sin x
2 5 3 5 4 101 5 101 6
x x x x x x ...
1−
x 6 6 120 120
= + + + + + + r =1
cos x x x x
= − x + − + −+ ...
x
e
1
3 4 5
3 6 30
x
e
2 1 3 19
= 1+
x+ x + x + x + x + x + ...
cos x
3 2 10 90
ln 1+
x
2
1−x
r=∞
2 3 4 5 6 r = π
1 2 4 3 3 4 23 5 11 6
= x− x + x − x + x − x +−...
2 3 4 15 12
Mathe-Formeln Seite 30 Potenz- und Fourier-Reihen
2
r =1
1+
x 2 3 2 5
ln = 2x+
x + x + ...
1−
x 3 5
r =1

7.3 Fourier-Reihen
7.3.1 Fourier-Reihen für 2-periodische Funktionen
Jede in - < x < definierte, stückweise stetige Funktion f(x) läßt sich darstellen als
konvergente trigonometrische Reihe der Form:
∞
a0
f x = + ∑ak
cosk x+ bk sink
x
2
k=
1
1
mit: a = f x ⋅ cos k x dx k = 0123 , , , ,...
k
π
− π π
1
−
b = f x ⋅ sin k x dx k = 123 , , ,...
k
π
π π
1
speziell: a = f x dx
0
π
− π π
( Das Absolutglied a 0
ist der Mittelwert / Gleichanteil /
2
Offstet der periodischen Funktion f(x). )
Die Fourier-Reihe konvergiert für jedes x gegen:
a) f(x) an jeder Stetigkeitsstelle
b)
1
2
fx0+ + fx0− an jeder Sprungstelle x0 Da die Integranden 2-periodisch sind, kann auch jedes andere Intervall der Länge 2 als
Integrationsintervall verwendet werden.
7.3.2 Spezialfälle 2-periodischer Funktionen
a) f(x) ist eine gerade Funktion ( f(x) = f(-x) ):
π
2
ak = f x ⋅ cos k xdx π
k = 0123 , , , ,... bk = 0 k = 1, 2, 3,...
0
∞
a0
⇒ f x = + ∑ak
cos k x
2 =
k
1
b) f(x) ist eine ungerade Funktion ( f(x) = -f(-x) ):
ak = 0 k = 0,, 1 2,,... 3
π
2
bk = f x ⋅ sin k xdx π
k = 123 , , ,...
∞
∑
k 1
⇒ f x = bksin k x
=
0
Mathe-Formeln Seite 31 Potenz- und Fourier-Reihen

7.3.3 Fourier-Reihen für T-periodische Funktionen
Allgemein läßt sich eine T-periodische Funktionen mit T =
durch:
∞
a0
fx= + ∑ ancosnωx+ bnsinnωx 2
mit: a
b
und: a
n
n
0
n=
1
T
−T
2
2
2
= f x ⋅ cos nω x dx n = 123 , , ,...
T
T
−T
2
2
2
= f x ⋅ sin nω x dx n = 123 , , ,...
T
2
=
T
T
−
2
T
2
f x dx
7.3.4 Spezialfälle T-periodischer Funktionen
2 π
π
, bzw ω =
ω 2
T darstellen
a) f(x) ist eine gerade Funktion ( f(x) = f(-x) ):
T
2
4
an
= f x ⋅ cos nωxdx n = 0123 , , , ,...
T
bn = 0 n=
1, 2, 3,...
0
∞
a0
⇒ f x = + ∑ancos
nωx 2 =
n 1
b) f(x) ist eine ungerade Funktion ( f(x) = -f(-x) ):
an = 0 n=
0123 , , , ,...
T
2
4
bn
= f x ⋅ sin nωxdx T
n = 123 , , ,...
∞
∑
n 1
⇒ f x = bnsin nωx =
0
Mathe-Formeln Seite 32 Potenz- und Fourier-Reihen

7.3.5 Komplexe Form der Fourier-Reihen
Über die Eulersche Formel lassen sich sin- und cos-Funktion darstellen als:
jnx jnx
cosnx= e+ e − 1
2
j jnx jnx
sin nx =− e −e −
2
Damit läßt sich eine beliebige reelle Fourier-Reihe mit der Periode 2 entwickeln zu:
∞
a0
fx= + ∑ancosnx+
bnsinnx 2
Dabei gilt:
n=
1
jnx
= c + c ⋅ e + c ⋅e
∞
∑
f x = c ⋅e
c
0
weiter gilt:
0
n
n=−∞
∞
∑ n
∞
∑
n=
1 n=
1
jnx
−n
−jnx
a0
1
* 1
= ; c = a − jb ; c− = c = a + jb
2
2
2
n n n n n n n
cn + c−n *
= cn + cn = 2 Re cn = an
c − c = c
*
− c = 2 jIm c = −jb
n −n
n n n n
Komplexe Fourier-Reihe mit Periode 2
∞
∑
f= x cn⋅e n=−∞
π
−
jnx
jnx
cn = f x ⋅e dx
−
1
2π π
Komplexe Fourier-Reihe mit Periode T
∞
∑
f= t cn⋅e c
n
jnωt n=−∞
T
2
−T
2
jnωt = f t ⋅e dt
T
− 1
π
ω = 2
T
a = 2 Re c
b =−2
Im c
n n
n n
Mathe-Formeln Seite 33 Potenz- und Fourier-Reihen
⇒

7.3.6 Zusammenhang zwischen komplexer und reeller Darstellung
Es gilt:
∞
∞
∞
a0
a0
fx= + ∑ancosnωx+ bnsinnωx= + ∑An⋅ cosnωx+
ϕn=
∑cn⋅e
2 n=
1
2 n=
1
n=−∞
mit: An =
2 2
an + bn = 2 cn
und
bn
ϕn =− arctan = arc cn
an
Weiter gilt:
−jnx
jnx * jnx jnx
jnx
c−n⋅ e + cn⋅ e = cn⋅ e + cn⋅ e = 2 Recn⋅e
1
= 2 Re an − jbn⋅ cosnx+ jsinnx 2
= a cos nx + b sin nx
7.3.7 Fourier-Transformation
n n
Im Gegensatz zur Fourier-Reihe, die eine periodische Funktion als Summe von
harmonischen Schwingungen mit einem diskreten Frequenzspektrum darstellt, stellt das
Fourier-Integral die Entwicklung einer nichtperiodischen Funktion in ein kontinuierliches
Spektrum mit stetig variierender Frequenz dar.
Dabei nennt man den Übergang von der einen zur anderen Form Fourier-Transformation.
Formeln:
∞
−∞
∞
−∞
jωt F ω = f t ⋅e dt
−
1
jωt f t = F ω ⋅e
dω
2π
("Fourier-Integral")
dabei ist f(t) die Zeitfunktion und F() ist die Spektraldichte oder "Fourier-Transformierte".
In der Technik wird häufig statt der Kreisfrequenz die Frequenz f = ω
2 π
eingesetzt.
Dadurch ergibt sich eine andere Darstellungsform:
2π
−∞
∞
j2πf t
−∞
∞
j f t
S f = s t ⋅e dt
−
st = S f ⋅edf
Mathe-Formeln Seite 34 Potenz- und Fourier-Reihen
jnωx

8. Laplacetransformation
8.1 Einführungsbemerkungen und Definition
Im Gegensatz zur Fouriertransformation, die eine zweiseitige Transformation darstellt und
bei der die Zeitfunktionen im Bereich - < t < definiert sein können, stellt die Laplacetransformation
eine einseitige Transformation dar, bei der nur Zeitfunktionen für t ≥ 0
zugelassen sind. Damit auch anwachsende Funktionen transformiert weden können, wird
zusätzlich ein konvergenzerzeugender Faktor e t −α eingeführt. Die Laplacetransformation wird
dann durch eine Fouriertransformation dieser erweiterten Funktion f * (t) definiert:
mit: f t
* 0
=
αt
f t ⋅e für t < 0
für t ≥0
−
∞
2
t=−∞
* * − j π ft − α+ j2π f t
ergibt sich: f t = f t ⋅ e dt = f t ⋅e
dt
Durch Einführung der komplexen (Kreis-)Frequenz p= α+ j2 π f = α+ jω
ergibt sich:
∞
*
−pt
f t = f t ⋅ e dt = F p = f t
0 t=
Mathe-Formeln Seite 35 Laplacetransformation
∞
t=
0
(Laplace-Integral)
Hiermit ist die Laplacetransformation definiert. Dabei ist zu beachten, daß:
p C ist und Re{p} = > 0 (statt "p" wird oft auch "s" verwendet!)
die Funktion f (t) definiert ist als: f t
=
= ⋅σ 0 für t < 0
f t für t ≥0
oder als: f t f t t
(Der Teil σ t wird oft weggelassen, man muß ihn sich aber immer dazudenken! Wenn
ein Verschiebeanteil vorhanden ist muß σ t−T auf jeden Fall geschrieben werden!)
Dabei ist σ t die Einheitssprungfunktion und definiert als: σ t
=
0 für t < 0
1 für t ≥0
Die Einheitssprungfunktion wird zur Darstellung von abschnittsweise definierten Funktionen
verwendet, z.B.:
f t = σ t −σ t−Ti
Der Einheitsimpuls oder Dirac-Impuls (t) ist die Ableitung der Einheitssprungfunktion.
δ t = σ t
Verschiedene Vorgehensweisen zur Laplace-Transformation und -Rücktransformation:
f t F p
F p f t
1.) Korrespondenzentabellen 1.) Korrespondenzentabellen
2.) Sätze zur Laplacetransformation 2.) Sätze: vor allem Faltung und PBZ
3.) Laplace-Integral 3.) Integral (für uns nicht lösbar)

8.2 Sätze zur Laplacetransformation
(1) Linearität + Additionssatz a ⋅ f t + a ⋅ f t
f t
F p
a1⋅ F1 p + a2⋅F2 p
1 1 2 2
(2) Ähnlichkeitssatz fat; a >0
Mathe-Formeln Seite 36 Laplacetransformation
1
a
p
F
a
⋅
⋅
−ap
(3) Verschiebungssatz f t−a ⋅σ t− a ; a > 0 e F p
(4) Dämpfungssatz
−at
e ⋅ f t
F p+ a
(5) 1. Differentiationssatz f ’ t
p⋅F p − f 0+
(6) 2. Differentiationssatz −t ⋅ f t
t
(7) Integrationssatz f d
n ( n
F ) p
0 τ τ
1
⋅F p
p
1 2
f t = p⋅Fp (8) Faltungssatz f t * f t
F p ⋅F
p
1 2
(9) 1. Endwertsatz lim lim
t→∞ p→0
(10) 2. Endwertsatz lim f t = lim p⋅F p
t→ p→∞
0
8.2.1 Korrespondenzen zum 1. Differentiationssatz
f t
F p
f ’ t
p⋅F p − f0+
f ’’ 2
’
t
p ⋅Fp− p⋅ f0+ − f0+
f
’’’
3 2
’ ’’
t
p ⋅F p − p ⋅ f 0+ − p⋅ f 0+ − f 0+
... ... ...
( n
f ) n n−1 n−2 ’
n−1
t p ⋅F p − p ⋅ f 0+ − p ⋅ f 0+ −− f 0+
8.2.2 Rücktransformation mit Hilfe der Partialbruchzerlegung
Eine komplizierte gebrochenrationale Funktion im Frequenzbereich läßt sich nicht so ohne
weiteres in den Zeitbereich zurücktransformieren. Um eine Rücktransformation durchführen
zu können, ist es erforderlich die Funktion in Teilfunktionen zu zerlegen (PBZ). Diese werden
dann einzeln über Tabellen und Sätze zurücktransformiert und am Schluß alle addiert.

8.2.3 Faltung und Faltungssatz
Definition: Unter der Faltung zweier Funktionen f1 (t) und f2 (t) versteht man die Operation:
f1 t f2 ∞
* t = f1 τ ⋅ f2t−τdτ τ=−∞
Das Ergebnis der Faltung ist eine Funktion in Abhängigkeit von t.
Bestimmung des Terms f t −τ
1.) Spiegelung von f2 an der y-Achse
τ
es entsteht f2 −τ
2.) Verschiebung von f 2 −τ
2
aus f
2 τ
2 −τ
um t in -Richtung ergibt f t
dabei gilt:
t > 0: Verschiebung nach rechts!
t < 0: Verschiebung nach links!
Bei stückweise definierten Funktionen
sind Fallunterscheidungen bezüglich der
Integrationsgrenzen zu machen!
in zwei Schritten:
Weiter gilt: die Faltung ist kommutativ f t * f t = f t * f t
1 2 2 1
Aufgrund dieser Kommutativität ist es ratsam, zu überlegen welche der beiden Funktionen
man verschiebt. Meistens lassen sich e-Funktionen mit Verschiebeanteil relativ leicht
integrieren, hingegen ist es oft sehr schwierig, trigonometrische Funktionen mit
Phasenverschiebung zu integrieren.
1 2
* = ∞
σ− − ⋅ −t−τ ⋅ −
τ=−∞
0 = 0
= t
−tτ −t
1⋅e⋅ e dτ = 1−e
⋅ ⋅ = −
0
T
−tτ −t
T
1 e e dτ e e1 0
für
für
für
t < 0
0≤
t < T
t ≥T
−t Beispiel: f t = e ⋅ σ t ; f t = σ t −σ t −T
f t f t τ σ τ T e σ t τ dτ
2 1
Faltungssatz:
Die Multiplikation im p-Bereich entspricht der Faltung im t-Bereich (und umgekehrt).
F1 p ⋅F2 p f1 t f2 ∞
* t = f1 τ ⋅ f2t−τdτ τ=−∞
Mathe-Formeln Seite 37 Laplacetransformation

8.3 Wichtige Korrespondenzen
F p
f t
F p
f t
1) 1 δ t 18)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
1
p
1 2
p
1 1
p n+
a
2 2
p + a
p
2 2
p + a
a
2 2
p −a
p
2 2
p −a
1
p−a 1
pp−a
1 2
1 ⋅σ t 19)
t ⋅σ t 20)
n
t
n!
21)
sin at 22)
cos at 23)
sinh at 24)
cosh at 25)
e
e at
at −1
a
p−a t e at
⋅
p
p−a
1
1+ ap
1
p 1+
a p
2 1+at eat
26)
27)
28)
29)
1
a e
t
⋅ a
−
1− −
e
1
1+
ap
p
1+
ap
2
2
1
p−a p−b
1 3
a
1 2
a
⋅t⋅e −
30)
t
a 31)
t
a
32)
t
− a−te a 33)
e −e
a−b at bt
34)
p
p−a p−b
1
1+ ap 1+
bp
p
1+ ap 1+
bp
a
p− b + a
ae −be
a−b at bt
t t
− −
b
a e −e
a−b t t
− −
a
b ae −be
ab a−b
2 2
bt
e ⋅sin at
p−b p− b + a
2 2
bt
e ⋅cos at
Mathe-Formeln Seite 38 Laplacetransformation
1
p
1
p+ a
p + a
ab
p
p
+ b
p + a p + b
2 2 2 2
2 2 2 2
2
p
2 2 2 2 p + a p + b
3
p
2 2 2 2 p + a p + b
3
a
2 2
p a
2 +
ap
2 2
p a
2 +
2
ap
2 2
p a
2 +
3
p
2 2
p a
2
+
1
2
p + 2a
p+ 1
2 2
a + b
p−a p−b p−c 1
π t
−at
e
πt
a⋅sin bt−b⋅sin at
2 2
a −b
cos bt−cos at
2 2
a −b
a⋅sin at−b⋅sin bt
2 2
a −b
2 2
a ⋅cos at−b ⋅cos
bt
2 2
a −b
1sin
at−at⋅cos at
2
t
at
2 ⋅sin
1
sin at+ at⋅cos at
2
at
cos at−
⋅sin
2
−
1
b
−at
⋅e ⋅sin
bt
at
c− b e + a− c e + b−a e
a−b a−c b−c at bt ct

8.4 Ergänzungen
8.4.1 Laplacetransformation eines Rechteckimpulses
f t
T
für t Ti
1
0<
<
=
= σ t −σt−Ti 0
sonst
1− −
e
p
Verschiebt man diesen Impuls um T so erhält man nach dem Verschiebungssatz:
f t T −
T
1−
e
p
−Tp
i
⋅e
−Tp
8.4.2 Laplacetransformation periodischer Funktionen
Die Funktion f0 (t) sei auf 0 < t < T definiert, außerhalb dieses Intervalls sei f0 (t)=0.
Durch periodische Fortsetzung für t > 0 entsteht die Funktion f(t) mit f(t+T)=f(t).
Für die zugehörige Laplacetransformierten gilt nun:
f0 t F0 p
f t F p 0
1 ⋅ −
1−
e Tp
Beispiel: periodischer Rechteckimpuls
A für t Ti
f 0<
≤
t =
ft + T= f t
0 für T < t ≤T
A e
F= p ⋅
p e
− 1
1−
i
−Tp
i
−Tp
8.4.3 Sprungfunktionen mit Verschiebeanteil
2
ACHTUNG: Funktionen wie z.B. f t = t ⋅σ t−1
lassen sich nicht direkt mit Hilfe
des Verschiebungssatzes transformieren (weil einmal t und einmal t-1 als
Funktionsargument steht)!
Hier geht man z.B. folgendermaßen vor:
1.) Verschiebung der Funktion f(t) im t-Bereich, so daß die Sprungfunktion zu σ t wird:
Mathe-Formeln Seite 39 Laplacetransformation
Tp i
* 2 2
f t = t + 1 ⋅ σ t = t + 2t + 1 ⋅σ
t
2.) Transformation von f*(t): F *= 2 2 1
p + +
3 2
p p p
3.) Zurückschieben der Funktion im p-Bereich durch Anwendung des Verschiebungssatzes:
−p * −p
2 2 1
F p = e ⋅ F p = e ⋅ + +
3 2
p p p
Man kann diese Funktion natürlich auch direkt über das Laplace-Integral transformieren,
häufig ist aber die Anwendung von Sätzen und Korrespondenzentabellen schneller!

8.5 Anwendung: Lösung von DGL und DGL-Systemen
8.5.1 Allgemeines Lösungsverfahren
1.) Ausgangspunkt ist eine lineare DGL mit konstanten Koeffizienten.
2.) Die DGL mittels Laplacetransformation in eine algebraische Gleichung umformen.
3.) Lösung der algebraischen Gleichung im p-Bereich (Frequenzbereich).
4.) Rücktransformation dieser Lösungsfunktion in den t-Bereich ergibt die Lösung der DGL.
8.5.2 Lineare DGL 1. Ordnung
,
Ausgangs-DGL: y + ay = g t Anfangsbedingung: y(0)
G p y + 0
=
Laplacetransformierte: pYp ⋅ − y0 + aYp ⋅ = Gp
Lösung im p-Bereich: Y p
8.5.3 Lineare DGL 2. Ordnung
p+ a
,, ,
Ausgangs-DGL: y + ay + by = g t
Anfangsbedingungen: y(0), y'(0)
,
G p y p a y
+ 0 ⋅ + + 0
=
2
,
Laplacetransformierte: p ⋅Y p − p⋅y 0 − y 0 + a⋅ p⋅Y p − y 0 + b⋅ Y p = G p
Lösung im p-Bereich: Y p
2
p + a p+ b
8.5.4 Zusätzliche Bemerkungen
1.) Die Lösung von DGL mit der Laplacetransformation ist vor allem dann vorteilhaft, wenn
man stückweise stetige Störfunktionen hat.
2.) Bei dieser Vorgehensweise werden die Anfangsbedingungen automatisch mit berücksichtigt.
Sind die Anfangswerte unbekannt, oder nicht an der Stelle t = 0 gegeben, so schreibt
man statt der Terme y(0) bzw. y'(0) die Konstanten C1 bzw. C2 und erhält damit die allgemeine
Lösung der DGL. Durch einsetzen der Anfangsbedingungen erhält man nun die
Bestimmungsgleichungen für die Koeffizienten und damit die spezielle Lösung des AWP.
Häufig ergibt sich aber mit dem Verschiebungssatz eine einfachere Lösungsmöglichkeit!
3.) Betrachtet man die Lösung der Bildfunktion (Gleichung im p-Bereich), so findet sich in
deren Nenner das charakteristische Polynom der DGL; die Nennernullstellen sind deren
Eigenwerte!
4.) Außerdem braucht man sich bei dieser Methode keine Gedanken über Resonanz machen,
da auch diese automatisch mitberücksichtigt wird.
8.5.5 Lösung von DGL-Systemen
Prinzip: 1.) DGL´s transformieren.
2.) Lösung des entstehenden LGS und damit Bestimmung der Bildfunktionen.
3.) Rücktransformation aller Bildfunktionen
oder Rücktransformation nur einer Bildfunktion und Bestimmung der anderen
Lösungsfunktionen über die DGL.
Mathe-Formeln Seite 40 Laplacetransformation

8.5.6 Beispiel:
Bestimmung von x(t), y(t) und z(t) aus folgendem DGL-System mit Anfangsbedingungen:
Transformation:
x =
y = 2x z ,
,
x 0 = 0
y
0 = 0
z = − y+ z , z 0 = 5
pX p − 0=
pY p − 0 = 2 X p
Z p
pZ p − 5 = − Y p + Z p
Mathe-Formeln Seite 41 Laplacetransformation
⇒
⇒
⇒
pX
− X + pY
− Z =
=
⋅
⋅p
Y p Z
+
2
0
0
2
+ − 1 = 5
_________________________________________________________
2
p Y − 2Z = 0
Y + p− 1 Z = 5 ⋅ −p
_________________________________________________________
2
−p p−1 − 2 Z = −5p
2 2
⇒ =
− + =
− + =
=
+ ⋅ − + + +
2
2
2
5p
5p
5p
A Bp + C
Z p 2
3 2
2 2
p p 1 2 p p 2 p 1p 2p 2 p 1 p − 2p+ 2
2 2
PBZ: 5p = A p − 2p+ 2 + B p p+ 1 + C p+
1
p=− 1: 5= 5A ⇒ A=
1
p= p= 0: 1: 0= 2⋅ 1+ C
5= 1+ 2B+ 2⋅−2 ⇒
⇒
C = −2
B=
4
⇒ =
+ +
−
− + =
+ + ⋅
1 4p 2 1
Z p
p 1 p 2 p 2 p 1
p−
p − p+
+
4
2
1
2
2
2 1 1
Z p
p
=
p+
p p
+ ⋅
1 −
+ ⋅ ⋅
1 − + − +
4
1 1 1
4 2 2
1 1 2 1 1
Rücktransformation:
−t
t t
zt = e + 4⋅e⋅ cos t+ 2⋅e⋅sin
t
aus DGL:
−t t t −t
t t t t
y = z− z= e + 4⋅e ⋅ cos t + 2⋅e ⋅sin t− − e + 4⋅ e ⋅cos t−e ⋅ sin t + 2⋅
e ⋅ sin t+ e ⋅cos
t
−t
t t
yt = 2⋅ e + 4⋅e⋅sin t−2⋅e⋅cos t
+
1 1 −t
t t t t
x = ⋅ y = −2⋅ e + 4⋅ e ⋅ sin t+ e ⋅cos t −2⋅ e ⋅cos t−e ⋅sin
t
2 2
−t
t t
xt =− e + 3⋅e⋅ sin t+ e⋅cos t
(beim hinteren Term "4"
ausklammern und Nenner
quadratisch ergänzen!)
(den mittleren Term auf
"cos-Form" bringen und
den "Rest" wieder dazuzählen.)

9. Vektoranalysis
9.1 Differentialrechnung bei Funktionen mehrerer Variabler
9.1.1 Partielle Differentiation
Eine Funktion mehrerer Variabler wird partiell differenziert, indem man jeweils eine Variable
als veränderliche Variable und die anderen als Konstanten betrachtet. Am Beispiel einer
Funktion mit zwei Variablen sind dann:
∂ f
∂ f
fxx, y=
= fx
und fyx, y=
= fy
∂x
∂y
nach der
die partiellen Ableitungen (Ableitungsfunktionen) der Funktion z = f x, y
Variablen x bzw. y, wobei die andere Variable (hier y bzw. x) als Konstante betrachtet wird.
Bei der Berechnung sind die üblichen Ableitungsregeln zu beachten!
Die partielle Ableitung einer Funktion wird in der Regel an einem bestimmten Punkt
P0 x0, y0
entsprechenden Richtung. Man schreibt dann:
benötigt und entspricht dann dem Tangens des Steigungswinkels der Kurve in der
∂ f ∂ f
fx x0, y0 = fx P0
= x0, y0
= = tan α
∂x
∂x
x0, y0
∂ f ∂ f
fy x0, y0 = fy P0
= x0, y0
= = tan β
∂y
∂y
x0, y0
wobei α den Richtungswinkel in der y,z-Ebene und β den Richtungswinkel in der x,z-Ebene
darstellt.
Den Wert der pariellen Ableitung erhält man durch einsetzen der Koordinaten des Punktes.
9.1.2 Tangentialebene und totales Differential
Die Gleichung der Tangentialebene einer Funktion z = f x, y
mit z = f x , y
berechnet sich zu:
0 x 0, 0 0 y
0, 0 0
0 0 0
z = z + f x y ⋅ x− x + f x y ⋅ y− y
in einem Punkt P0x0, y0, z0
in
Die Tangentialebene entspricht einer linearisierten Näherung der Funktion z = f x, y
einem bestimmten Punkt P0x0, y0, z0.
Unter dem totalen Differential dz einer Funktion z = f x, y
versteht man den Zuwachs längs der Tagentialebene:
dz = f x , y dx+ f x , y dy
x 0 0 y 0 0
zu den Zuwächsen dx und dy
totales Differential an der Stelle (x 0 , y 0 )
f
dz
x dx
∂ ∂ f
= + dy = f x dx + f y dy
∂ ∂y
totales Differential an der beliebigen Stelle (x, y)
Mathe-Formeln Seite 42 Vektoranalysis

Beispiel:
Partielle Ableitungen der Funktion z = f x, y = x + x y
2
f = 4x+ y ⇒ f P = 4⋅ 3+ − 1 = 13
x x
f = 2x y ⇒ f P = 2⋅3⋅ − 1 = −6
y y
Totales Differential: dz dx dy
9.1.3 Kettenregel für Funktionen von 2 Variablen
2 2 2 0
0
2
im Punkt P03/−1 3/ − 1= 13 −6
Hängen die Variablen x und y der Funktion z = f x, y
man eine Abhängigkeit der z-Werte von diesem Parameter:
z= zt = f xt, yt
von einem Parameter t ab, so erhält
Formales Dividieren des totalen Differentials dz durch dt liefert die Kettenregel für
Funktionen von 2 Variablen:
dz
dt
∂ f dx ∂ f dy
= ⋅ + ⋅
∂xdt
∂ydt
9.1.4 Höhere partielle Ableitungen und Satz von Schwarz
und fx y
ebenfalls wieder Funktionen von 2
Bilden die partiellen Ableitungen fx x, y
y ,
Variablen, so heißen deren partielle Ableitungen dann partielle Ableitungen 2. bzw. (noch)
höherer Ordnung.
In der Index-Schreibweise ergeben sich hier vier partielle Ableitungen der Form:
xx xx xy xy yx
yx yy
f = f ; f = f ; f = f ; f = f
In der Differentialschreibweise erhält man hier (Reihenfolge beachten!):
f
xy = ∂
∂
∂ x
∂ f ∂ f ∂ ∂ f ∂ f ∂ ∂ f ∂ f ∂
∂ x
∂ x ∂ y ∂ x ∂y∂x ∂x
∂y
∂x∂y ∂y
=
=
=
2
; ; ;
2
2
f
und f
∂y∂x yx = ∂
Mathe-Formeln Seite 43 Vektoranalysis
yy
∂ f ∂ f
∂y
∂y
= 2
2 2 2
2
f
heißen gemischte partielle Ableitungen.
∂x∂y Nach dem Satz von Schwarz sind gemischte partielle Ableitungen unabhängig von ihrer
Reihenfolge, falls sie stetig sind.
Beispiel: f = f f = f = f
; (falls die Funktionen stetig sind!)
xy yx xxy xyx yxx

9.2 Darstellungsformen von Kurven
In der Ebene Im Raum
Explizite Form: y = f x
z = fx, y
Implizite Form: Fxy , = 0 Fxyz , , =0
xt
=
yt
xt
rt =
yt
zt
Parameterdarstellung: x = x t ; y = y t x = x t ; y = y t ; z = z t
Vektorielle Darstellung:
9.3 Tangentenvektor
rt
xt
dx dy dz
rt yt xt i yt j zt k i j
dt dt dt
zt
k
=
= ⋅ + ⋅ + ⋅
= ⋅ + ⋅ + ⋅
9.4 Gradient
Bei einer Funktion zt = f rt = f xt, yt ist die Ableitung von z(t) nach t gleich der
Steigungsänderung von z(t) längs r(t). Die Berechnung erfolgt über das totale Differential und
die Kettenregel:
dz
dt
∂ f
∂x
Dabei heißt grad f
dx
dt
∂ f
∂y
dy
dt
f
x x
∂ ∂ f
y fx x fy y
∂ ∂y
= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ =
=
f x
f y
=
∂ f
∂ x
∂ f
∂ y
Für Höhenlinien gilt: fx, y= const und
⇒ grad f
⊥ r t
Mathe-Formeln Seite 44 Vektoranalysis
f
f
x
y
x
y ⋅
= ⋅
Gradient (Gradientenvektor) von z = fx, y.
dz
dt
= 0=
grad f ⋅r
t
grad f r t
und ist in jedem Punkt P 0 senkrecht zur Höhenlinie
Daraus ergibt sich: Der Vektor grad f hat stets die Richtung des stärksten Anstiegs von
z = f x, y
fx, y= const .

9.5 Vektorfelder und Potentialfelder
9.5.1 Skalar- und Vektorfelder
Wird jedem Punkt Pxy , (, z) R R
so spricht man von einem Skalarfeld. Die Zahl u= f x, y, z
Wird jedem Punkt
so spricht man von einem
9.5.2 Potentialfelder
∈
∈ 2 3 eine reelle Zahl zugeordnet,
2
Pxy , R
ein Vektor
3
Pxyz , , ∈R
Ein stetiges Vektorfeld F x, y(, z)
wenn ein Potential u= f x, y(, z)
heißt Potential.
F x, y
Fxy ,
=
Fx, y
Fx, y, z
, , Fx, y, z
Fx, y, z
1
2 1
=
2
3
Fxyz
Mathe-Formeln Seite 45 Vektoranalysis
ebenen
räumlichen
Vektorfeld.
Fx,
y(, z)
1
= Fx,
y(, z)
2
heißt Potentialfeld,
Fx, y(, z)
3
existiert, für das gilt: F x, y(, z) grad u
∂ f
∂ f ∂ f
; F f ; F f
∂x
∂y
∂z
= .
Daraus folgt: F = f = = = = =
1 x 2 y 3 z
zugeordnet,
Integrabilitätsbedingungen: F ist ein Potentialfeld, falls im:
ebenen Vektorfeld räumlichen Vektorfeld
∂F1
∂F2
fxy
= = = fyx
∂y
∂x
∂F1
∂F2
∂F1
∂F3
f xy = = = f yx
fxz
= = = fzx
∂y∂x
∂z
∂x
∂F2
∂F3
fyz
= = = fzy
∂z
∂y
Die Potentialfunktion f x, y(, z)
f x, y
=
erhält man durch Integration über die Feldkoordinaten:
Fx, y, zdx + g y, z
, +
1
1
fx, y, z=
F x, y, z dy g x, z
, +
2
+ 2
F x, y, zdz + g x, y 3
3
F x y dx g y
1 1
F x y dy g x
2 2

Beispiel:
Gegeben ist ein Vektorfeld F =
F
F
F
=
1
2
3
xy+ z x x
x + z
y+ x =
2 2 sin cos
2
2
sin
Mathe-Formeln Seite 46 Vektoranalysis
∂f
∂x
∂f
∂y
∂f
∂z
Handelt es sich um ein Potentialfeld? Wenn ja, wie lautet die Potentialfunktion?
1.) Die Integrabilitätsbedingungen ergeben:
∂ F1
∂ F2
= 2x= ;
∂ y ∂ x
∂ F1
∂ F3
= 2sin x cos x = ;
∂ z
∂ x
∂ F2
∂ F3
= 1=
∂ z ∂ y
d.h. es handelt sich um ein Potentialfeld.
2.) Zur Bestimmung der Potentialfunktion geht man hier am einfachsten so vor:
es gilt:
2 ∂ f
F2= x + z = ⇒
∂y
f x, y, z =
2
x + z dy+ g x, z
2
= x y+ zy + g x, z
(1)
∂ f ! ∂gxz
,
weiter gilt: F1= 2xy+ 2zsin x cos x = = 2xy+
(aus (1))
∂x
∂x
∂gxz
, ⇒ = 2 zsin x cos
x
(2)
∂x
2 ∂ f ! ∂gxz
,
und: F3= y+ sin x = = y+
∂z
∂z
∂gxz
, 2
⇒ = sin x
∂z
2
= = ⋅ +
gxz , !
′
= 2zsin x cos
x + h x = 2zsin
x cos
x
∂ x
′
h x h x c
2
jetzt wird aus (3): gxz , sin xdz zsin x hx
und aus (4), (2):
aus (1), (4) und (5) folgt schließlich:
∂
(aus (1))
⇒ = 0 ⇒ =
(5)
2 2
f x, y, z = x y + zy + z ⋅ sin x + c
(3)
(4)

9.6 Linienintegrale (Arbeits-/Kurvenintegrale)
9.6.1 Definition des Linienintegrals
Es sei Fxyz , , ein Vektorfeld, rt eine Raumkurve C (mit t1 ≤t ≤ t2)
und rt der
Tangentenvektor an diese Kurve, dann ist das Linienintegral des Vektorfeldes F längs der
Kurve C definiert als:
t2
t2
C C
W= F r t dr= F dx+ F dy+ F dz = F ⋅ x+ F ⋅ y + F ⋅ z dt = F t ⋅rdt
9.6.2 Bemerkungen zum Linienintegral
1 2 3 1 2 3
t1
1.) Es gilt:
dr
r =
dt
⇒
dx xdt
dr = dy
ydt r dt
dz
zdt
=
= ⋅
2.) Ist C geschlossen, also rt
= rt , so schreibt man das Umlaufintegral C
1 2
+
= +
K ⋅ F dr = K⋅ F dr
Mathe-Formeln Seite 47 Vektoranalysis
t1
Fdr
3.) Wird C in umgekehrter Richtung durchlaufen (Schreibweise: -C),
−C C
dann gilt: Fdr=− Fdr
4.) Weiter gilt:
C
F1
F2 dr
C
F1dr C
F2dr ;
C1 C2 Fdr+ C1 C2
Fdr=
Fdr
+
C C
5.) Das Linienintegral hängt im allgemeinen stets vom gewählten Weg ab!!!
9.6.3 Wegunabhängiges Linienintegral im Potentialfeld
Gegeben ist ein Vektorfeld Fxyz , , und ein Skalarfeld fx, y, z.
Das Linienintegral
t
C
Fdr= F⋅rdt t
2
ist wegunabhängig, wenn:
1
1.) Fdr das totale Differential du der Funktion u= fx, y, z
ist:
du = F dr = F1dx + F2dy + F3dz = f x dx + f y dy + f z dz
2.) F als Gradient einer Potentialfunktion u= fx, y, z
darstellbar ist:
F f
F = F f grad u
F
f
=
=
1 1
2 2
3 3
3.) die Integrabilitätsbedingungen erfüllt sind, d.h. des Vektorfeld ein Potentialfeld ist.
Folgerungen der Wegunabhängigkeit:
1.) Es gilt: Fdr=0,
falls keine Singularität im innern des Integrationsweges liegt!
2.) Das Linienintegral läßt sich über die Potentialdifferenz zweier Punkte berechnen:
P
2
c Fdr = fP2− fP1 P
1

Beispiele:
1.) Gegeben: xy
Fxyz , , = 2
x + yz
xz
nun ist:
Frt
=
t⋅ −t
t t
t
t + − ⋅t
t t
t⋅t
t
=
2
1 −
2 2
2 3
1 2 −
2
3
und
2
und C: r t t
t
t
= 1− 2
1≤ ≤2
Mathe-Formeln Seite 48 Vektoranalysis
t
1
rt = −1
2t
2
C
⇒ Fdr= Frt ⋅ rtdt 2 2 3 3
= 1⋅ t−t−1⋅ 2t − t + 2tt ⋅ dt=
10, 65
1
1
2.) Wichtig ist für diese Vorgehensweise, daß die Kurve in Parameterform oder in
vektorieller Darstellung gegeben und der Wertebereich des Parameters angegeben ist.
Ist die Kurve anders definiert, so muß ein Parameter eingeführt werden, z.B.:
Gegebene Kurve C: Gerade zwischen A(1/0) und B(0/1)
⇒ =
xt
rt
yt
werden, daß zur Zeit t : r t A
dies ist erfüllt für: rt
mit Parameter t1 ≤t ≤ t2
, nun muß x(t) und y(t) so bestimmt
1
0
1 = = und zur Zeit t2 r= t B=
1
wird;
1−t
= 0≤t≤1 t
3.) Ein magnetisches Feld um einen geraden stromdurchflossenen Leiter auf der z-Achse
1
hat die Form: Hx, y, z=
−y; x;
0
2 2
x + y
Das Linienintegral eines Kreises um den Leiter wird mit C: cos
t
r
t = sin
t
0
0≤t ≤2π
und:
Hrt
=
−sin
t
cos
t
0
,
rt
=
−sin
t
cos t
0
zu:
:
0
2π
2 2
Hdr= sin t + cos t dt=
2π
wenn C den Leiter in z-Richtung umschließt (Singularität)!
Für jede andere geschlossene Kurve, die den Leiter nicht umschließt gilt:
0
Hdr=0
4.) Das elektrische Feld um eine Punktladung hat die Form: 1
E = K⋅
2 2 2
x + y + z
3
*
1
Die Potentialfunktion lautet: − ϕ P = ϕ
P = −K⋅ 2 2 2 x + y + z
3
2 1
Damit ergibt sich eine Spannung als Potentialdifferenz: U = ϕ P −ϕ
P
x
y
z

10.1 Kombinatorik
10. Wahrscheinlichkeitsrechnung
10.1.1 Geordnete Stichproben ohne Zurücklegen
Die Anzahl N der möglichen Variationen von k aus n Elementen ist:
(Variationen ohne Wiederholung)
n!
N = = n k n−k !
Sonderfall k = n:
Anzahl der Permutationen n verschiedener Elemente:
N = n!
10.1.2 Ungeordnete Stichproben ohne Zurücklegen
Die Anzahl N der möglichen Kombinationen von k aus n Elementen ist:
(Kombinationen ohne Wiederholung)
k Elemente
n n n n n n n k
k
N =
k k k n k
k
= = =
⋅ −
⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − +
! 1 2... 1
;
! ! ! 123 ⋅ ⋅ ⋅... ⋅
n
k =
Für die Anzahl N der Permutationen von n Elementen mit 1, 2, ... Gruppen von n1 , n2 , ...
gleichen Elementen gilt:
n!
N =
n ! ⋅n ! ⋅...
1 2
10.1.3 Geordnete Stichproben mit Zurücklegen
Es werden k von n Elementen gezogen; Anzahl N der möglichen Anordnungen:
(Variationen mit Wiederholung)
N n n n n k
= ⋅ ⋅ ⋅ ... =
10.1.4 Ungeordnete Stichproben mit Zurücklegen
Es werden k von n Elementen gezogen; Anzahl N der möglichen Anordnungen:
(Kombinationen mit Wiederholung)
N =
n+ k−1
k
10.1.5 Überlegung mit Baumdiagramm
n
n−k Sehr schnell geht so eine Überlegung, wenn man sich ein Baumdiagramm erstellt, und dann
die Zahl der Äste pro Ebene miteinander multipliziert! Dies ist natürlich nur bei einer relativ
kleinen Ereignismenge möglich.
Mathe-Formeln Seite 49 Wahrscheinlichkeitsrechnung

10.2 Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten
10.2.1 Gleichwahrscheinlichkeit
Es gilt:
A
pA = Ω
und
Ω −A
pA = = − pA
Ω
und: p Ω = 1; p ∅ = 0; 0≤ p A ≤1
10.2.2 Additionssatz
1 Ω ... Ereignismenge
pAB= pA+ pB− pAB mit: pAB= pAB oder mit Gegenereignis für drei Ereignisse
pABC= 1−
pABC
Wenn sich die Ereignisse gegenseitig ausschließen (disjunkte Ereignisse!), gilt: pAB =0
10.2.3 Multiplikationssatz
pAB /
pA
Wahrscheinlichkeit von A, wenn B schon eingetreten ist: pA/ B
Wahrscheinlichkeit von B, wenn A schon eingetreten ist: pB A
Außerdem gilt: pAB= pA⋅ pB/ A= pB⋅pA/ B
pAB
= =
pB
= =
Zwei Ereignisse A, B mit pA ≠∅ und pB ≠∅ heißen unabhängig, falls:
/ =
/ =
pAB= pA⋅pB oder pA B pA
pB A pB
10.2.4 Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
Gegeben seien die Ereignisse A1 , A2 , ... , An mit:
A1A2... An
=Ω und Ai Aj
=∅ für i≠ j
Dann gilt für ein beliebiges Ereignis B ⊂Ω:
1 1
n n n
∑ k
k
k=
1
= 1 2 ... n
p B = p A ⋅ p B/ A + ... + p A ⋅ p B/ A = p A ⋅p
B/ A
Disjunkte Zerlegung: B A B A B A B
Mathe-Formeln Seite 50 Wahrscheinlichkeitsrechnung
AB
B
AB
A
Ω

10.2.5 Zusammengesetzte Zufallsexperimente
Bei einem zusammengesetzten Zufallsexperiment erhält man
1.) die Wahrscheinlichkeit für Elementarereignisse, indem man die Wahrscheinlichkeiten
längs des zugehörigen Pfades im Baumdiagramm multipliziert (Pfadregel).
2.) die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis A, indem man die Wahrscheinlichkeiten aller
zu A gehörenden Elementarereignisse addiert (Summenregel).
10.2.6 Satz von Bayes
pA pB/ A ⋅
=
pB
pA/ B
Zerlegung von Ω in Ω=A1 A2
mit A1 = A und A2 A =
/ pA ⋅ pB / A
pA ⋅ pB / A+ pA ⋅pB / A
⇒ pB = pA⋅ pB/ A+ pA ⋅pB/
A
⇒ pA B=
10.2.7 Binomialverteilungen
Wahrscheinlichkeit, bei n Versuchen mit den Einzelwahrscheinlichkeiten p
- genau k mal Erfolg zu haben:
n−k k
B
pA
n
k
= ⋅ ⋅ − = ≤ ≤
k
p 1 p f k; n; p 0 k n
f k; n; p = f n−k; n; 1−
p
B B
- höchstens k mal Erfolg zu haben (kein mal, ein mal, zwei mal, ... , k mal):
k
∑
i 0
px≤ k = fBinp ; ;
=
- mindestens k mal Erfolg zu haben:
n
∑
i k
k−1
∑
i 0
px≥ k = fBinp ; ;
=
px≥ k = 1− px≤ k− 1 = 1−
px< k = fBinp ; ;
=
- mindestens k mal und höchstens m mal Erfolg zu haben (k < m):
m
∑
i k
pk≤ x≤ m = fBinp ; ;
=
Mathe-Formeln Seite 51 Wahrscheinlichkeitsrechnung

Besondere Werte trigonometrischer Funktionen
-330° -315° -300° -270° -240° -225° -210° -180° -150° -135° -120° -90° -60° -45° -30° 0°
15° 20° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°
π
12
π
9
π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6
π
7π
6
5π
4
4π
3
3π
2
5π
3
7π
4
11π
6
2π
0,2617 0,3490 0,5235 0,7853 1,0471 1,5707 2,0943 2,3561 2,6179
3,1415
3,6651 3,9269 4,1887 4,7123 5,2359 5,4977 5,7595 6,2831
− 11π
6
− 7π
4
− 5π
3
− 3π
2
− 4π
3
− 5π
4
− 7π
6 −π − 5π
6
− 3π
4
− 2π
3
− π
2
− π
3
− π
4
− π
6
0
sin 0,2588 0,3420
1
2
1
2 2
1
2 3 1
1
2 3
1
2 2
1
2
0 − 1
2
− 1
2
2
1
−
2 3 -1 − 1
2 3 − 1
2 2 − 1
2
0
cos 0,9659 0,9396 1
2 3
1
2 2
1
2
0 − 1
2
− 1
2
2
1
−
2 3 -1 − 1
2
1
3 −
2
2
1
−
2
0
1
2
1
2 2
1
2 3 1
tan 0,2679 0,3639
1
3
1 3 - − 3 -1 − 1
3
0
1
3
1 3 - − 3 -1 − 1
3
0
cot 3,7320 2,7474 3 1
1
3
0 − 1
3
-1 − 3 - 3 1
1
3
0 − 1
3
-1 − 3 -
1
2
− 5π
2
2 = 0, 7071
−2π
1
2
1997 by Frank Flatten
3 = 0, 8660 3 = 1, 7320
− 3π
2
−π
− π
2
0
π
2
1
= 0, 5773 sin= x cos x−
3
π
2
π
3π
2π 5π
2
2
cos= x sin x+
π
2
sin x
tan
x =
cos x
α⋅π b=
180°
180°⋅b α =
π