Geregelte Gleichstrommaschine (Aufgaben und Lösungen)
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Lehrstuhl für Elektrische Antriebssysteme, TU München<br />
Elektrische Antriebs– <strong>und</strong> Umrichtertechnik<br />
Gr<strong>und</strong>lagen der elektrischen Antriebe<br />
Übung 5<br />
Blatt 2<br />
Übung: Drehzahlregelung der GNM mit Sollwertrampe<br />
Eine nennerregte GNM soll mit einer Drehzahlregelung mit unterlagertem Stromregelkreis<br />
ausgerüstet werden.<br />
Daten:<br />
GNM: Ankerwiderstand: rA = 0, 1<br />
Ankerzeitkonstante: TA = 20 ms<br />
Erregung: ψ = 1<br />
Last: Widerstandsmoment: mW = 0, 3<br />
Trägheitszeitkonstante: TΘN = 0, 5 s<br />
Umrichter: mittlere Totzeit: Tt = 1, 67 ms<br />
Verstärkung: VStr = 1<br />
Drehzahlregler: Verstärkung: VRn = 75<br />
Fragen:<br />
1. Legen Sie den Stromregler als P I–Regler nach dem Betragsoptimum (BO) aus! Ist diese<br />
Auslegung die bestmögliche?<br />
2. Zeichnen Sie den vollständigen Signalflußplan mit den Eingangsgrößen n ∗ <strong>und</strong> mW sowie<br />
der Drehzahl n als Ausgangsgröße!<br />
3. Wie groß ist die stationäre Regelabweichung nd∞ = n ∗ − n, wenn der Drehzahlsollwert<br />
linear mit der Zeit ansteigt?<br />
n ∗ = 0, 1 ·<br />
t<br />
1 s<br />
Bestimmen Sie nd∞ formel– <strong>und</strong> zahlenmäßig unter der Annahme<br />
3.1 einer idealen EMK–Aufschaltung, d.h. unter Vernachlässigung der Einwirkung der<br />
induzierten Gegenspannung eA,<br />
3.2 einer Regelung ohne EMK–Aufschaltung (d.h. unter Berücksichtigung des Einflusses<br />
von eA)!<br />
Hinweis: Rechnen Sie dabei ausgehend vom Integrator für die Drehzahl n zurück bis<br />
zum Eingang nd = n ∗ − n des Drehzahlreglers!<br />
Bitte die Lösung der <strong>Aufgaben</strong> zuerst selbständig versuchen ...
Lehrstuhl für Elektrische Antriebssysteme, TU München<br />
Elektrische Antriebs– <strong>und</strong> Umrichtertechnik<br />
Gr<strong>und</strong>lagen der elektrischen Antriebe<br />
Lösung:<br />
*<br />
n<br />
Übung 5<br />
Blatt 3<br />
1. Der Umrichter wird als P T1–Glied angenähert. Damit weist die Strecke zur Stromregelung<br />
ein P T2–Verhalten auf mit einer großen Zeitkonstante T1 = TA, einer kleinen<br />
Zeitkonstante Tσ = Tt <strong>und</strong> der Verstärkung VS = VStr/rA = 1/rA = 10.<br />
Die Nachstellzeit des Reglers bestimmt sich damit zu TRi = TA = 20 ms <strong>und</strong> die Reglerverstärkung<br />
zu VRi = T1/(2TσVS) = TArA/(2Tt) = 0, 60. Die Übertragungsfunktionen<br />
der Strecke GSi <strong>und</strong> des Reglers GRi sind damit:<br />
GSi(s) =<br />
1<br />
1 + sTσ<br />
· 1<br />
rA<br />
1<br />
·<br />
1 + sTA<br />
GRi(s) =<br />
1 + sTRi<br />
VRi · = 0, 60 ·<br />
sTRi<br />
1 + s 20 ms<br />
s 20 ms<br />
Die Ersatzzeitkonstante des gesamten Stromregelkreises ist Ters i = 2Tt = 3, 33 ms.<br />
Die obige Optimierung des Stromreglers nach BO garantiert ein gutes Führungsverhalten.<br />
Hier tritt jedoch mit eA auch eine Störgröße auf, die ausgeregelt werden muß. Daher<br />
wäre eine Reglerauslegung noch SO günstiger (<strong>und</strong> wegen T1/Tσ = TA/Tt = 12 > 4<br />
auch zulässig). Allerdings ändert sich die Drehzahl (<strong>und</strong> damit auch eA) aufgr<strong>und</strong> der<br />
Trägheitszeitkonstante TΘN ≫ TA vergleichsweise langsam, wodurch der Unterschied<br />
zwischen beiden Auslegungen hier kaum auffällt.<br />
2. Signalflußplan (Einfluß der induzierten Gegenspannung eA <strong>und</strong> P T1–Näherung für den<br />
Umrichter grau eingezeichnet).<br />
mW n d<br />
V Rn<br />
*<br />
i A<br />
i Ad<br />
1+sTRi<br />
VRi <br />
sT<br />
Ri<br />
*<br />
u A<br />
–sTt<br />
VStre VStr<br />
<br />
1+ sT<br />
t<br />
u A<br />
e A<br />
1<br />
<br />
rA<br />
i A<br />
1<br />
<br />
1+sTA<br />
3.1 Ohne Einfluß von eA (der Index ∞ bezeichnet die stationären Größen):<br />
<br />
m B<br />
1<br />
<br />
sTN<br />
• Drehzahl n steigt linear an ⇒ Beschleunigungsmoment mB∞ ist konstant.<br />
Mit Nennfluß ψ = 1 ist der Ankerstrom iA∞ = mB∞ + mW ebenfalls konstant.<br />
• Soll–Ankerspannung u ∗ A∞ als Ausgang des P I–Stromreglers ist daher konstant.<br />
⇒ Eingang des Reglers iAd∞ ist Null; Umformung ergibt i ∗ A∞ = iA∞.<br />
• Die Drehzahldifferenz nd∞ ergibt sich schließlich zu:<br />
nd∞ = i∗ A∞<br />
VRn<br />
= 1<br />
(mB∞ + mW )<br />
VRn<br />
n
Da die Drehzahländerung von Soll– <strong>und</strong> Istwert gleich ist, ergibt sich das Beschleunigungsmoment<br />
mB∞ aus der Bewegungs–DGL zu:<br />
mB∞ = TΘN<br />
dn<br />
dt<br />
= TΘN<br />
dn ∗<br />
dt = 0, 5 s · 0, 1 s−1 = 0, 05<br />
Die Differenzdrehzahl nd∞ ist somit auch zahlenmäßig bestimmbar.<br />
nd∞ = 1<br />
3.2 Wegen der Abschätzung<br />
VRn<br />
TΘSt = rATΘN<br />
ψ<br />
(mB∞ + mW ) = 1<br />
(0, 05 + 0, 3) = 0, 00467<br />
75<br />
= 50 ms ≫ Ters i = 2Tt = 3, 34 ms<br />
kann auf eine EMK–Aufschaltung verzichtet werden.<br />
Dann darf der Einfluß von eA auf die stationäre Drehzahldifferenz nicht mehr vernachlässigt<br />
werden:<br />
• iA∞ = mB∞ + mW ist wie in Aufgabe 3.1 konstant.<br />
• Die Ankerspannung ist dann mit eA = n = mB∞t/TΘN − nd<br />
uA = eA + rA iA∞ = n + rA (mB∞ + mW )<br />
= mB∞<br />
TΘN<br />
t − nd + rA (mB∞ + mW )<br />
• Damit steigt der Ausgang u ∗ A des P I–Stromreglers mit der Drehzahl.<br />
⇒ Der Eingang des Reglers iAd ist konstant.<br />
• Aus der DGL des Stromreglers im Laplace– bzw. im Zeitbereich<br />
u ∗ A(s)<br />
iAd(s)<br />
= VRi<br />
1 + s TRi<br />
s TRi<br />
•−◦<br />
du ∗ A(t)<br />
dt<br />
VRi<br />
diAd(t)<br />
= iAd(t) + VRi<br />
TRi<br />
dt<br />
ergibt sich die Stromdifferenz iAd∞ <strong>und</strong> der Stromsollwert i ∗ A∞ wie folgt<br />
(da iAd∞ konstant ist, wird diAd∞/dt zu Null; gleiches gilt auch für nd):<br />
iAd∞ = TRi<br />
·<br />
VRi<br />
du∗A TRi<br />
= ·<br />
dt VRi<br />
mB∞<br />
TΘN<br />
i ∗ <br />
A∞ = iAd∞ + iA∞ = mB∞ 1 + TRi<br />
<br />
+ mW<br />
VRiTΘN<br />
• Damit ist die Differenzdrehzahl<br />
nd∞ = 1<br />
<br />
VRn<br />
<br />
= 1<br />
75<br />
mB∞<br />
<br />
0, 05 ·<br />
<br />
1 + TRi<br />
<br />
VRi TΘN<br />
<br />
0, 020 s<br />
1 +<br />
0, 60 · 0, 5 s<br />
+ mW<br />
<br />
+ 0, 3<br />
Zum Vergleich mit dem Ergebnis ohne Berücksichtigung von eA:<br />
<br />
= 0, 00471<br />
Aus uA = konstant folgt iAd∞ = 0 <strong>und</strong> i ∗ A∞ = iA∞. Damit vereinfacht sich die Formel<br />
für die Differenzdrehzahl zu dem unter 3.1 erhaltenen Ergebnis.