Rechenübungen zu Leistungselektronik
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Ausarbeitung der Beispiele aus<br />
<strong>Rechenübungen</strong> <strong>zu</strong><br />
<strong>Leistungselektronik</strong><br />
Teil A - Netzgeführte Stromrichter
Die hier angeführten Berechnungen könnten fehlerhaft sein.
Beispiele aus „<strong>Rechenübungen</strong> <strong>zu</strong> <strong>Leistungselektronik</strong>“ Teil A - Netzgeführte Stromrichter<br />
Inhalt<br />
Beispiel 1 ...............................................................................................................................3<br />
Beispiel 2 ...............................................................................................................................3<br />
Beispiel 3 ...............................................................................................................................4<br />
Beispiel 4 ...............................................................................................................................5<br />
Beispiel 5 ...............................................................................................................................6<br />
Beispiel 6 ...............................................................................................................................8<br />
Beispiel 7 ...............................................................................................................................8<br />
Beispiel 8 ...............................................................................................................................8<br />
Beispiel 9 .............................................................................................................................10<br />
Beispiel 10 ...........................................................................................................................12<br />
Beispiel 11 ...........................................................................................................................12<br />
Beispiel 12 ...........................................................................................................................13<br />
Beispiel 13 ...........................................................................................................................13<br />
Beispiel 14 ...........................................................................................................................14<br />
Beispiel 15 ...........................................................................................................................15<br />
Beispiel 16 ...........................................................................................................................17<br />
Beispiel 17 ...........................................................................................................................18<br />
Beispiel 18 ...........................................................................................................................19<br />
Beispiel 19 ...........................................................................................................................20<br />
Beispiel 20 ...........................................................................................................................21<br />
- 2 -
Beispiele aus „<strong>Rechenübungen</strong> <strong>zu</strong> <strong>Leistungselektronik</strong>“ Teil A - Netzgeführte Stromrichter<br />
Beispiel 1<br />
Angabe:<br />
Ein gesteuerter netzgeführter Stromrichter mit einem Udi0=207 V speist eine RL-Last (ohmscher<br />
Anteil R=8 Ω) bei einem Steuerwinkel von α=60°.<br />
Wie groß ist der Ausgangsgleichstrom?<br />
Lösung:<br />
( ) ( )<br />
I Udi0<br />
⋅ cos α 207 V ⋅ cos 60°<br />
=<br />
=<br />
= 12, 9 A<br />
R<br />
8 Ω<br />
Beispiel 2<br />
Angabe:<br />
Eine M3-Schaltung am 230 V/400 V-Netz speist eine Gleichstrommaschine mit einer<br />
Klemmenspannung von UM=200 V. Es wird ein Stromrichtertrafo in Yy-Schaltung mit einem<br />
Überset<strong>zu</strong>ngsverhältnis von 1:1 verwendet.<br />
Wie groß ist der Steuerwinkel des Stromrichters?<br />
Lösung:<br />
$U = 2 ⋅ U = 2 ⋅ 230 V = 325 V<br />
j0 1<br />
3 3 3 3<br />
Udi0 = U$ ⋅<br />
⋅<br />
j0<br />
⋅ = 325 V ⋅ = 268, 8 V<br />
2⋅<br />
π 2⋅<br />
π<br />
U = U ⋅ ( α)<br />
= U<br />
diα di0 M<br />
cos<br />
⎛ U ⎞ M ⎛ 200 V ⎞<br />
α = arccos⎜ ⎟ = arccos⎜<br />
⎟ = 42°<br />
⎝U<br />
⎠ ⎝ 268, 8 V⎠<br />
di0<br />
U 1<br />
- 3 -<br />
U j0<br />
U M
Beispiele aus „<strong>Rechenübungen</strong> <strong>zu</strong> <strong>Leistungselektronik</strong>“ Teil A - Netzgeführte Stromrichter<br />
Beispiel 3<br />
Angabe:<br />
Ein Batterieladegerät in M2-Schaltung am 230 V-Netz (Netzspannungstoleranz ±20%) soll<br />
eine 60 V-Batterie aufladen.<br />
Wie groß ist das Überset<strong>zu</strong>ngsverhältnis ü=wprim/wsek des Trafos <strong>zu</strong> wählen, wenn möglichst<br />
gutes Netzverhalten (d.h. hoher cos ϕ1) angestrebt werden soll?<br />
Lösung:<br />
$U j0 = 2 ⋅ Uj0<br />
=<br />
U1<br />
2 ⋅<br />
ü<br />
2 2 2 U<br />
Udi0 = Uj0<br />
⋅ =<br />
ü<br />
⋅ $<br />
⋅<br />
π π<br />
U = U ⋅ ( α)<br />
= U<br />
diα di0 B cos<br />
1<br />
Da lt. Angabe möglichst gutes Netzverhalten erzielt werden soll, wird hier ϕ1 und somit α<br />
gleich Null gesetzt.<br />
2 2 U1<br />
Udi0 = UB<br />
=<br />
ü<br />
⋅<br />
⋅<br />
π<br />
ü U1<br />
2⋅ 2<br />
= ⋅<br />
π<br />
U B<br />
U 1<br />
U j0<br />
Aufgrund der Netzspannungstoleranz ergeben sich nun für das Überset<strong>zu</strong>ngsverhältnis des<br />
Trafos drei Werte:<br />
U1=230 V ü=3,45<br />
U1=276 V ü=4,14<br />
U1=184 V ü=2,76<br />
Daraus ist nun jener Wert aus<strong>zu</strong>wählen, der für den gesamten Bereich der Netzspannung<br />
korrekte Werte für cos ϕ1 ergibt.<br />
U<br />
π<br />
cos( ϕ1)<br />
= = ü⋅ ⋅<br />
U 0 1 2⋅ 2<br />
U<br />
B<br />
B<br />
di U<br />
ü U1=184 V U1=230 V U1=276 V<br />
2,76 1 0,8 0,66<br />
3,45 1,25 1 0,83<br />
4,14 1,5 1,2 1<br />
- 4 -<br />
U B
Beispiele aus „<strong>Rechenübungen</strong> <strong>zu</strong> <strong>Leistungselektronik</strong>“ Teil A - Netzgeführte Stromrichter<br />
Aus obiger Tabelle ist <strong>zu</strong> entnehmen, daß nur für ü=2,76 im gesamten Netzspannungsbereich<br />
korrekte Werte für cos ϕ1 berechnet werden.<br />
Andere Möglichkeit: ü so wählen, daß bei minimaler Netzspannung gerade αmax erreicht<br />
wird.<br />
Beispiel 4<br />
Angabe:<br />
Ein 250 V-GS-Generator speist über eine M3-Schaltung (Yy-Stromrichtertrafo mit ü=1:1)<br />
eine Leistung von 6 kW ins 230 V/400 V-Netz.<br />
a) Wie groß sind Mittelwert bzw. Effektivwert der Ströme in den Thyristoren?<br />
b) Wie groß ist die Schonzeit der Thyristoren?<br />
c) Wie groß ist die aus dem Netz entnommene Grundschwingungs-Blindleistung? (ind. oder<br />
kap.?)<br />
d) Wie groß ist der totale Leistungsfaktor?<br />
Lösung:<br />
a)<br />
b)<br />
P = U ⋅I<br />
I<br />
d<br />
diα d<br />
P 6 kW<br />
= = = 24 A<br />
U 250 V<br />
diα<br />
Id 24 A<br />
IT,<br />
avg = = = 8 A<br />
3 3<br />
IT,<br />
rms =<br />
Id 24 A<br />
= = 13, 9 A<br />
3 3<br />
U = U ⋅<br />
diα di0<br />
cos<br />
( )<br />
α<br />
U 1<br />
- 5 -<br />
U j0<br />
U diα
Beispiele aus „<strong>Rechenübungen</strong> <strong>zu</strong> <strong>Leistungselektronik</strong>“ Teil A - Netzgeführte Stromrichter<br />
c)<br />
d)<br />
3 3 3 6<br />
Udi0 = U$ ⋅ ⋅<br />
j0<br />
⋅ = U1<br />
⋅<br />
2⋅<br />
π 2⋅<br />
π<br />
$U = 2 ⋅U<br />
j0 1<br />
⎛U<br />
diα<br />
⎞ ⎛ Udiα<br />
2⋅<br />
π ⎞ ⎛ 250 V 2⋅<br />
π ⎞<br />
α = arccos⎜ ⎟ = arccos⎜ ⋅ ⎟ = arccos⎜<br />
⋅ ⎟ = 158°=<br />
ϕ<br />
⎝ U ⎠ ⎝ U 3 ⋅ 6 ⎠ ⎝ 230 V 3 ⋅ 6 ⎠<br />
t<br />
c<br />
di0<br />
1<br />
1 1 ⎛ ⎞<br />
⎛ ° ⎞<br />
= ⋅ ⋅⎜ − ⎟ = ⋅ ⋅⎜ − ⎟ = ms<br />
f 2 ⎝ ° ⎠ Hz ⎝ ° ⎠<br />
1 α 1 1 158<br />
1 12 ,<br />
180 50 2 180<br />
N<br />
3 3<br />
IN, 1,<br />
rms = ⋅ Id = ⋅ 24 A = 16, 21A<br />
2 ⋅ π 2 ⋅ π<br />
( ϕ ) ( )<br />
Q1 = 3 ⋅U1 ⋅IN, 1, rms ⋅ sin 1 = 3 ⋅230 V ⋅16, 21 A ⋅ sin 158° = 2, 42 kVA ind.<br />
IN, rms =<br />
2<br />
⋅ Id =<br />
3<br />
2<br />
⋅ 24 A = 19, 6 A<br />
3<br />
P<br />
λ = =<br />
S<br />
P<br />
3 ⋅U ⋅I<br />
=<br />
6 kW<br />
= 0, 768<br />
3 ⋅ 230 V ⋅16<br />
9 A<br />
Beispiel 5<br />
Angabe:<br />
1 N, rms<br />
,<br />
Wie sieht der Zeitverlauf der Netzströme bei einem Stromrichter in M3-Schaltung aus:<br />
a) Bei Yy-Schaltung des Trafos?<br />
b) Bei Dy-Schaltung des Trafos?<br />
Lösung:<br />
a) b)<br />
i L3<br />
i L2<br />
i L1<br />
Siehe Seite 7.<br />
i S3<br />
i S2<br />
i S1<br />
I d<br />
- 6 -<br />
i L3<br />
i L2<br />
i L1<br />
i P3<br />
i P2<br />
i P1<br />
1<br />
i S3<br />
i S2<br />
i S1<br />
I d
Beispiele aus „<strong>Rechenübungen</strong> <strong>zu</strong> <strong>Leistungselektronik</strong>“ Teil A - Netzgeführte Stromrichter<br />
i S1<br />
i S2<br />
i S3<br />
i P1<br />
i P2<br />
i P3<br />
i L1<br />
i L2<br />
i L3<br />
Dy-Schaltung Yy-Schaltung<br />
2π π π 2π<br />
π 0 π<br />
3 3 3 3<br />
- 7 -<br />
2π π π 2π<br />
π 0 π<br />
3 3 3 3<br />
t<br />
t<br />
t<br />
t<br />
t<br />
t<br />
t<br />
t<br />
t<br />
Ventilströme<br />
Netzströme Primärströme
Beispiele aus „<strong>Rechenübungen</strong> <strong>zu</strong> <strong>Leistungselektronik</strong>“ Teil A - Netzgeführte Stromrichter<br />
Beispiel 6<br />
Angabe:<br />
Eine M2-Schaltung am 230 V-Netz (Trafo mit ü=1:1) hat einen größtmöglichen Aussteuerbereich<br />
von αmax=150° bei einem maximalen Ausgangsgleichstrom von Imax=50 A.<br />
Wie groß sind die größtmöglichen Leistungen im Gleich- bzw. Wechselrichterbetrieb?<br />
Lösung:<br />
$U = 2 ⋅ U = 2 ⋅ 230 V = 325 V<br />
j0 1<br />
2 2<br />
Udi0 = U$ j0<br />
⋅ = 325 V ⋅ = 207 V<br />
π π<br />
P U I ( ) V A ( )<br />
GR = di0<br />
⋅ max ⋅ cos α min = 207 ⋅50 ⋅ cos 0° = 10, 35 kW<br />
P U I ( ) V A ( )<br />
WR = di0<br />
⋅ max ⋅ cos α max = 207 ⋅50 ⋅ cos 150° = 8, 96 kW<br />
Beispiel 7<br />
Angabe:<br />
Bei einem Stromrichter mit Kommutierungsinduktivitäten (reale Kommutierung):<br />
a) Die Kippgefahr sinkt/bleibt unbeeinflußt/steigt wenn der Laststrom steigt?<br />
b) Die Gefahr des Kippens steigt/sinkt bei steigender Netzspannung?<br />
Lösung:<br />
a)<br />
Mit steigendem Laststrom steigt die Freiwerdezeit und sinkt die <strong>zu</strong>r Verfügung stehende<br />
Schonzeit, somit steigt auch die Kippgefahr.<br />
b)<br />
Steigende Netzspannung bewirkt schnelleres Ausräumen der Ladungsträger bzw. es steigt<br />
die <strong>zu</strong>m Kommutieren nötige Spannungs-Zeit-Fläche mit der Netzspannung, also sinkt die<br />
Kippgefahr.<br />
Beispiel 8<br />
Angabe:<br />
Ein gesteuerter M3-Stromrichter speist in eine RL-Last eine Leistung von 20 kW bei einem<br />
Steuerwinkel von α=45° am 230 V/400 V-Netz.<br />
a) Wie groß ist der Wert der in Stern geschalteten Kompensationskondensatoren am Netz<br />
wenn die Steuerblindleistung (Grundschwingungsgehalt!) vollständig kompensiert werden<br />
soll?<br />
b) Wie groß ist der Wert der in Dreieck geschalteten Kompensationskondensatoren am<br />
Netz wenn auf cos ϕ1=0,85 kompensiert werden soll?<br />
- 8 -
Beispiele aus „<strong>Rechenübungen</strong> <strong>zu</strong> <strong>Leistungselektronik</strong>“ Teil A - Netzgeführte Stromrichter<br />
Lösung:<br />
a)<br />
b)<br />
( α)<br />
( )<br />
Q1 = P ⋅ tan = 20 kW ⋅ tan 45° = 20 kVA = Q C<br />
Q C<br />
20 kVA<br />
C∗<br />
= 2 = 2<br />
= 401μF<br />
3 ⋅UC ⋅ω<br />
3 ⋅ 230 V ⋅ 2⋅ π ⋅50<br />
Hz<br />
( )<br />
( tan( α)<br />
tan( arccos ( , ) ) ) tan( ) tan arccos ( , )<br />
- 9 -<br />
( ( ) )<br />
Q1 = P ⋅ − 0 85 = 20 kW ⋅ 45° − 0 85 =<br />
C<br />
= 7, 61kVA<br />
= Q C<br />
QC<br />
7, 61kVA<br />
2 =<br />
2<br />
= 50, 4 μF<br />
3 ⋅UC ⋅ ω 3 ⋅ 400 V ⋅ 2 ⋅ π ⋅ 50 Hz<br />
Δ =<br />
( )<br />
U 1<br />
U 1<br />
U j0<br />
U j0<br />
U diα<br />
U diα
Beispiele aus „<strong>Rechenübungen</strong> <strong>zu</strong> <strong>Leistungselektronik</strong>“ Teil A - Netzgeführte Stromrichter<br />
Beispiel 9<br />
Angabe:<br />
Eine ungesteuerte M3-Schaltung speist eine rein ohmsche Last (keine Glättung!) mit<br />
R=5 Ω. Der Yy-Stromrichtertrafo (Netzspannung 230 V/400 V) hat ein Überset<strong>zu</strong>ngsverhältnis<br />
von ü=wprim/wsek=3.<br />
a) Wie groß ist die in R umgesetzte Leistung?<br />
b) Wie groß ist die Spitzenstrombelastung der Gleichrichterdioden?<br />
c) Wie sieht der Zeitverlauf der Netzströme aus?<br />
Lösung:<br />
a)<br />
1 1<br />
Uj0 = ⋅ U1 = ⋅ 230 V = 76, 7 V<br />
3 3<br />
U$ = 2 ⋅ U = 2 ⋅ 76, 7 V = 108, 4 V<br />
j0 j0<br />
5⋅π 6<br />
2 1 2 2<br />
1 3 3<br />
U U ( t) rms = 2 ⋅ j0 ⋅ ⋅ dt = Uj0 ⋅ + 8304 69 V<br />
3<br />
2 8<br />
⋅ ⎛ ⎞<br />
$ ⎜ ⎟ ⋅π<br />
∫ sin $ = ,<br />
⎝ ⋅ π ⎠<br />
π<br />
6<br />
2 2<br />
rms 8304, 69 V<br />
U 1<br />
U<br />
PR<br />
= = = 1661 , kW<br />
R 5 Ω<br />
b)<br />
U$<br />
j0<br />
108, 4 V<br />
iD,<br />
pk = = = 217 , A<br />
R 5 Ω<br />
c)<br />
Siehe Seite 11.<br />
2 2<br />
- 10 -<br />
U j0<br />
U di0
Beispiele aus „<strong>Rechenübungen</strong> <strong>zu</strong> <strong>Leistungselektronik</strong>“ Teil A - Netzgeführte Stromrichter<br />
- 11 -
Beispiele aus „<strong>Rechenübungen</strong> <strong>zu</strong> <strong>Leistungselektronik</strong>“ Teil A - Netzgeführte Stromrichter<br />
Beispiel 10<br />
Angabe:<br />
Ein Stromrichter hat im ungesteuerten Betrieb eine Kommutierungsüberlappung von<br />
u0=15°. Wie lange dauert die Kommutierung an der Wechselrichtertrittgrenze, wenn ein<br />
maximaler Steuerwinkel von αmax=160° gegeben ist (Der Laststrom bleibt unverändert)?<br />
Lösung:<br />
( α 1) − ( α1 + u1) = ( α 2 ) − ( α 2 + u2<br />
)<br />
arccos cos( ) cos( ) cos(<br />
)<br />
cos cos cos cos<br />
( )<br />
u = α − α + α + u − α =<br />
2 2 1 1 1 2<br />
( ( ) ( ) ( ) )<br />
= arccos cos 160° − cos 0° + cos 0°+ 15° − 160°= 6, 85°<br />
u<br />
Kommutierungszeit =<br />
° f Hz<br />
⋅ =<br />
°<br />
° ⋅ =<br />
2 1 6, 85 1<br />
360 360 50<br />
Beispiel 11<br />
Angabe:<br />
N<br />
- 12 -<br />
380 μs<br />
Bei einem gesteuerten Stromrichter mit Udi0=269V wird bei einem Laststrom von 10 A eine<br />
Ausgangsgleichspannung von Udα=160 V gemessen. Verdoppelt man den Laststrom, so<br />
geht die Ausgangsspannung auf 150 V <strong>zu</strong>rück.<br />
Wie groß ist der Steuerwinkel des Stromrichters?<br />
Lösung:<br />
Der hier beobachtete Spannungseinbruch bei Stromerhöhung folgt dem 2. Dällenbachschen<br />
Gesetz, dem<strong>zu</strong>folge der Spannungsabfall proportional <strong>zu</strong>m Strom ist.<br />
Es sind aus der Angabe zwei Punkte der entsprechenden Geraden bekannt, der Schnittpunkt<br />
dieser Geraden mit der Achse I=0 kann also leicht ermittelt werden.<br />
U = U + k ⋅I<br />
diα diα0<br />
Udi<br />
V<br />
k = =<br />
I A<br />
− Δ α 10<br />
= −1Ω<br />
Δ 10<br />
( Ω)<br />
Udiα0 = Udiα − k ⋅ I = 160 V − − 1 ⋅ 10 A = 170 V<br />
U = U ⋅cos(<br />
α)<br />
diα0 di0<br />
⎛U<br />
diα0<br />
⎞ ⎛ 170 V ⎞<br />
α = arccos⎜ ⎟ = arccos ⎜ ⎟ = 50, 8°<br />
⎝ U ⎠ ⎝ 269 V⎠<br />
di0
Beispiele aus „<strong>Rechenübungen</strong> <strong>zu</strong> <strong>Leistungselektronik</strong>“ Teil A - Netzgeführte Stromrichter<br />
Beispiel 12<br />
Angabe:<br />
Gegeben ist ein 6-pulsiger Stromrichter (z.B. eine B6-Schaltung) mit Kommutierungsinduktivitäten<br />
von LK=1 mH (Netzfrequenz 50 Hz).<br />
Um welchen Wert sinkt die Ausgangsspannung, wenn der Laststrom um 100 A ansteigt?<br />
Lösung:<br />
Aus dem 2. Dällenbachschen Gesetz folgt:<br />
L I p<br />
D x f L I p Hz mH A V<br />
=<br />
ω ⋅ ⋅ ⋅<br />
= ⋅ ⋅ Δ ⋅ = 50 ⋅1 ⋅100 ⋅ 6 = 30<br />
2⋅<br />
π<br />
Beispiel 13<br />
Angabe:<br />
Ein gesteuerter M2-Stromrichter speist eine RL-Last mit idealer Glättung, deren ohmscher<br />
Anteil R=4 Ω ist. Der Stromrichtertrafo, der ein Überset<strong>zu</strong>ngsverhältnis von ü=wprim/wsek=1<br />
hat (wsek ist die Windungszahl einer Sekundärwicklung), liegt primär am 230 V-Netz und hat<br />
eine Streuinduktivität zwischen Primär- und Sekundärwicklung von Lσ=10 mH.<br />
Wie groß ist der Laststrom wenn der Steuerwinkel α=60° beträgt?<br />
Lösung:<br />
Die vorhandene Streuinduktivität äußert sich im Dällenbach-Abfall Dx.<br />
U − D = I ⋅R<br />
diα0 x d<br />
U = U ⋅cos<br />
diα0 di0<br />
( α)<br />
2 2 2<br />
Udi0 = U$ ⋅<br />
j0<br />
⋅ = U1<br />
⋅<br />
π π<br />
$U j0 = U1<br />
⋅ 2<br />
D<br />
x<br />
U 1<br />
ω ⋅L ⋅Id ⋅p<br />
= = f ⋅L ⋅Id ⋅p<br />
2⋅<br />
π<br />
L σ<br />
U j0<br />
L σ<br />
- 13 -<br />
U diα0 -D x
Beispiele aus „<strong>Rechenübungen</strong> <strong>zu</strong> <strong>Leistungselektronik</strong>“ Teil A - Netzgeführte Stromrichter<br />
2⋅ 2<br />
U ( )<br />
1 ⋅cos α ⋅ − f ⋅L ⋅Id ⋅ p = Id ⋅R<br />
π<br />
U ( )<br />
V ( )<br />
Id<br />
R p f L<br />
Hz mH<br />
=<br />
1 ⋅ cos α ⋅2 ⋅ 2 230 ⋅ cos 60° ⋅2 ⋅ 2<br />
=<br />
π ⋅ + ⋅ ⋅ π ⋅ 4 Ω + 2⋅ 50 ⋅10<br />
Beispiel 14<br />
Angabe:<br />
( )<br />
( )<br />
- 14 -<br />
= 20, 7 A<br />
Eine ungesteuerte B6-Schaltung wird ohne eigene Kommutierungsinduktivitäten an ein<br />
230 V/400 V-Netz mit einer Kurzschlußleistung von SK=1 MW (ohmscher Teil der Netzimpedanz<br />
vernachlässigt).<br />
Welcher maximale Ausgangsgleichstrom kann der Brücke entnommen werden unter<br />
Berücksichtigung der Norm VDE160, d.h. daß die maximal <strong>zu</strong>lässige Netzspannungsverzerrung<br />
am Anschlußpunkt des Stromrichters 20% der Netzspannungsamplitude betragen<br />
darf?<br />
Lösung:<br />
Spannungseinbruch am Thyristor:<br />
3<br />
ΔU = ⋅U$ ⋅ sin ( α + u) = 0, 2⋅<br />
U$<br />
2<br />
Ungesteuerte Brücke ⇒ α=0<br />
3<br />
⋅U$ 0 ⋅ sin ( ) = 0, 2⋅<br />
$<br />
j umax Uj0<br />
2<br />
⎛ 2 ⎞<br />
umax = arcsin ⎜ ⎟ = 13, 35°<br />
⎝ 5 ⋅ 3 ⎠<br />
X<br />
N<br />
j0 j0<br />
( 400 V)<br />
2<br />
UN<br />
= = = 160 mΩ<br />
S 1MW<br />
K<br />
2<br />
U di0
Beispiele aus „<strong>Rechenübungen</strong> <strong>zu</strong> <strong>Leistungselektronik</strong>“ Teil A - Netzgeführte Stromrichter<br />
2 ⋅ ω ⋅L ⋅I<br />
= − −<br />
⋅U$<br />
cos cos max<br />
3 j0<br />
( α) ( α u )<br />
2⋅<br />
XN ⋅I<br />
= 1−<br />
( u )<br />
3 ⋅U$<br />
cos max<br />
j0<br />
$U j0 = 2 ⋅ U1 = 2 ⋅ 230 V = 325 V<br />
I =<br />
3 U$<br />
j0<br />
⋅ ⋅ ( 1−<br />
cos( umax)<br />
) =<br />
2 X<br />
3 325 V<br />
⋅ ⋅ ( 1− cos ( 13, 35° ) ) = 47, 57 A<br />
2 160 mΩ<br />
Beispiel 15<br />
Angabe:<br />
N<br />
Ein Stromrichter im M6-Schaltung speist in einen Gleichstromantrieb einen Strom von<br />
I=30 A. Der Yyy-Stromrichtertrafo hat ein Überset<strong>zu</strong>ngsverhältnis von ü=wprim/wsek=1 (wsek ist<br />
die Windungszahl einer Sekundärwicklung).<br />
a) Wie sieht der Zeitverlauf der Netzströme aus?<br />
b) Wie groß sind Mittelwert und Effektivwert der Ventilströme?<br />
c) Wie groß ist der Effektivwert der Netzströme?<br />
Lösung:<br />
a)<br />
Siehe Seite 16.<br />
b)<br />
Id 30 A<br />
IT,<br />
avg = = =<br />
6 6<br />
1 2 3 4 5 6<br />
5 A<br />
- 15 -
Beispiele aus „<strong>Rechenübungen</strong> <strong>zu</strong> <strong>Leistungselektronik</strong>“ Teil A - Netzgeführte Stromrichter<br />
c)<br />
I<br />
T, rms<br />
I<br />
I<br />
i V1<br />
i V3<br />
i V5<br />
i V2<br />
i V4<br />
i V6<br />
i R<br />
i S<br />
i T<br />
Id 30 A<br />
= = = 12, 2 A<br />
6 6<br />
2 2<br />
IN, rms = Id ⋅ = 30 A ⋅ = 1414 , A<br />
3 3<br />
π<br />
2π π<br />
0<br />
π 2π<br />
π<br />
3 3 3 3<br />
- 16 -<br />
Ventilströme<br />
Netzströme
Beispiele aus „<strong>Rechenübungen</strong> <strong>zu</strong> <strong>Leistungselektronik</strong>“ Teil A - Netzgeführte Stromrichter<br />
Beispiel 16<br />
Angabe:<br />
Gegeben sind zwei über eine Saugdrossel parallelgeschaltete ungesteuerte M3-Stromrichter.<br />
a) Zeichnen Sie den Verlauf der Saugdrosselspannung.<br />
b) Skizzieren Sie den Wechselanteil (Rippel) des Saugdrosselstromes (es kann vorausgesetzt<br />
werden, daß dieser Strom stets größer Null ist, d.h. daß er nicht lückt).<br />
c) Berechnen Sie die Amplitude (Spitze-Spitze-Wert) des Wechselstromanteiles in der<br />
Saugdrossel. Auf der Sekundärseite des Stromrichtertrafos gilt: Uj0,rms=200 V (50 Hz).<br />
Induktivität der Saugdrossel (Gesamtwert): L=10 mH. Anmerkung: Es genügt eine<br />
näherungsweise Berechnung („graphische Integration“).<br />
Lösung:<br />
a) und b)<br />
Siehe Seite 18.<br />
c)<br />
ΔI U$<br />
j0<br />
200 V ⋅ 2<br />
= ⋅ 0, 262 =<br />
⋅ 0, 262 = 23, 6<br />
ω ⋅L<br />
2⋅ π<br />
⋅50 Hz ⋅10<br />
mH<br />
- 17 -<br />
A
Beispiele aus „<strong>Rechenübungen</strong> <strong>zu</strong> <strong>Leistungselektronik</strong>“ Teil A - Netzgeführte Stromrichter<br />
Beispiel 17<br />
Angabe:<br />
Eine direkt ans 230 V/400 V-Netz geschaltete vollgesteuerte B6-Schaltung speist in eine<br />
RL-Last mit idealer Glättung (ohmscher Anteil R=8 Ω) eine Leistung von 20 kW.<br />
a) Berechnen Sie den Effektivwert des Netzstromes.<br />
b) Berechnen Sie den Grundschwingungsverschiebungsfaktor am Netz.<br />
c) Berechnen Sie die Verluste je Thyristor. Es kann angenommen werden, daß jeder<br />
Thyristor eine Flußspannung von 1,5 V (stromunabhängig!) hat.<br />
Lösung:<br />
U diα<br />
- 18 -
Beispiele aus „<strong>Rechenübungen</strong> <strong>zu</strong> <strong>Leistungselektronik</strong>“ Teil A - Netzgeführte Stromrichter<br />
a)<br />
P 20 kW<br />
Id<br />
= = = 50 A<br />
R 8 Ω<br />
Stromverlauf im Netz:<br />
b)<br />
IN, rms = Id<br />
⋅<br />
3<br />
IN, rms = Id ⋅<br />
2<br />
= 50 A ⋅<br />
3<br />
2<br />
= 40, 82 A<br />
3<br />
2 2 2<br />
U<br />
diα<br />
P 20 kW<br />
= = = 400 V = Udi0<br />
⋅ cos α<br />
I 50 A<br />
d<br />
( )<br />
3 3 3 3<br />
Udi0 = U$ ⋅<br />
⋅<br />
j0<br />
⋅ = 325 V ⋅ = 537, 5 V<br />
π π<br />
$U = 2 ⋅ U = 2 ⋅ 230 V = 325 V<br />
j0 1<br />
cos<br />
U<br />
U<br />
400 V<br />
537, 5 V<br />
diα<br />
( α) = = = 0, 744 = cos(<br />
ϕ )<br />
di0<br />
c)<br />
Mittelwert des Thyristorstromes:<br />
Id 50 A<br />
IT,<br />
avg = = = 16, 7 A<br />
3 3<br />
PT = IT, avg ⋅ UT0 = 16, 7 A ⋅ 15 , V = 25 W<br />
Beispiel 18<br />
Angabe:<br />
Durch einen MOSFET fließen sinusförmige Strompulse (180°-Halbschwingungen) der Breite<br />
5 µs und mit einer Amplitude von Ipk=20 A. Die Wiederholfrequenz der Pulse beträgt 4 kHz.<br />
Berechnen Sie unter der Annahme, daß der FET einen ON-Widerstand von RDS,on=0,3 Ω<br />
hat, die in ihm auftretenden Leitverluste.<br />
- 19 -<br />
1
Beispiele aus „<strong>Rechenübungen</strong> <strong>zu</strong> <strong>Leistungselektronik</strong>“ Teil A - Netzgeführte Stromrichter<br />
Lösung:<br />
I<br />
s I<br />
t<br />
s dt<br />
5 s<br />
2 5 s<br />
1<br />
1 Ipk 2 t<br />
=<br />
pk<br />
1<br />
dt<br />
25 μ 5 25 s 2<br />
5 s<br />
⋅<br />
μ<br />
μ<br />
⎛ π ⋅ ⎞<br />
⎛ ⎛ ⋅ π ⋅ ⎞⎞<br />
∫ sin ⎜ ⎟ ⋅ = ⋅ ⋅ ⎜ − ⎜ ⎟⎟<br />
⋅ =<br />
⎝ μ ⎠ μ ∫ cos<br />
⎝ ⎝ μ ⎠⎠<br />
2 2 2<br />
0 μs<br />
5 μs<br />
- 20 -<br />
0 μs<br />
( 20 )<br />
2<br />
Ipk<br />
⎛ 5 μs<br />
⎛ 2 ⋅ π ⋅ t⎞<br />
⎞<br />
= ⋅⎜ t − ⋅sin⎜<br />
⎟⎟<br />
50 μs ⎝ 2⋅<br />
π ⎝ 5 μs<br />
⎠⎠<br />
0 μs<br />
2<br />
Ipk = =<br />
10<br />
A<br />
10<br />
= 40 A<br />
P<br />
2<br />
= I ⋅ R ,<br />
2<br />
= 40 A ⋅ 0, 3 Ω = 12 W<br />
leit DS on<br />
Beispiel 19<br />
Angabe:<br />
Eine halbgesteuerte zweipulsige Brücke (B2HK) speist direkt aus dem 230 V/400 V-Netz<br />
die Feldwicklung einer fremderregten GS-Maschine. Der Erregerstrom der Maschine soll<br />
1,5 A betragen, die Feldwicklung hat einen ohmschen Anteil von 90 Ω, ihr induktiver Anteil<br />
ist so groß, daß ideale Glättung vorausgesetzt werden kann.<br />
a) Wie groß ist der Steuerwinkel?<br />
b) Wie groß ist der Grundschwingungsverschiebungsfaktor?<br />
c) Wie groß ist der Effektivwert des Netzstromes?<br />
d) Wie groß ist der totale Leistungsfaktor?<br />
Lösung:<br />
U 1<br />
2<br />
U diα<br />
2
Beispiele aus „<strong>Rechenübungen</strong> <strong>zu</strong> <strong>Leistungselektronik</strong>“ Teil A - Netzgeführte Stromrichter<br />
a)<br />
b)<br />
c)<br />
d)<br />
Udiα = Id ⋅ R = A ⋅ = V = Udi<br />
⋅ + 1 cos<br />
15 , 90 Ω 135<br />
0<br />
2<br />
2 2<br />
Udi0 = U$ j0<br />
⋅ = 325 V ⋅ = 207 V<br />
π π<br />
$U = 2 ⋅ U = 2 ⋅ 230 V = 325 V<br />
j0 1<br />
- 21 -<br />
( α)<br />
⎛ α ⎞ ⎛<br />
⎞<br />
α = arccos⎜2 ⋅ − 1⎟ = arccos ⎜2<br />
⋅ − ⎟ = , °<br />
⎝ ⎠ ⎝<br />
⎠<br />
135<br />
Udi<br />
V<br />
1 72 3<br />
U<br />
207 V<br />
ϕ<br />
1<br />
di0<br />
α 72, 3°<br />
= = = 3615 , °<br />
2 2<br />
( ) ( )<br />
cos ϕ1 = cos 3615 , ° = 0, 808<br />
°−<br />
,<br />
IN, rms = Id ⋅<br />
, A , A<br />
° = ⋅<br />
180 α 180°− 72 3°<br />
15<br />
= 116<br />
180<br />
180°<br />
P U α ⋅I<br />
λ = =<br />
S U ⋅I<br />
Beispiel 20<br />
Angabe:<br />
1<br />
di d<br />
N, rms<br />
135 V ⋅15<br />
, A<br />
=<br />
= 0, 76<br />
230 V ⋅116<br />
, A<br />
Eine halbgesteuerte zweipulsige Brücke (B2HK) speist direkt aus dem 230 V/400 V-Netz<br />
eine Leistung von 3 kW in eine permanenterregte GS-Maschine mit einer Klemmenspannung<br />
von UA=150 V. Die Induktivität im Ankerkreis betrage LA=400 mH, der Ankerwiderstand<br />
sei vernachlässigt.<br />
a) Wie groß ist der Steuerwinkel?<br />
b) Wie groß ist der relative Momentrippel (Spitze-Spitze-Wert)?<br />
Lösung:<br />
U 1<br />
U A
Beispiele aus „<strong>Rechenübungen</strong> <strong>zu</strong> <strong>Leistungselektronik</strong>“ Teil A - Netzgeführte Stromrichter<br />
a)<br />
( )<br />
UA = Udi<br />
⋅ + 1 cos α<br />
0<br />
2<br />
2 2<br />
Udi0 = U$ j0<br />
⋅ = 325 V ⋅ = 207 V<br />
π π<br />
$U = 2 ⋅ U = 2 ⋅ 230 V = 325 V<br />
j0 1<br />
⎛ ⎞ ⎛<br />
⎞<br />
α = arccos⎜2 ⋅ − 1⎟ = arccos ⎜2<br />
⋅ − ⎟ = , °<br />
⎝ ⎠ ⎝<br />
⎠<br />
150<br />
UA<br />
V<br />
1 63 3<br />
U<br />
207 V<br />
di0<br />
b)<br />
Bei Gleichstrommaschinen ist das Drehmoment proportional <strong>zu</strong>m Maschinenstrom und<br />
somit der Momentrippel proportional dem Stromrippel, deren Relativwerte sind gleich.<br />
Näherungsweise Berechnung:<br />
1<br />
ΔI = ⋅ uL ⋅ dt<br />
L ∫<br />
T<br />
T<br />
α<br />
x<br />
A<br />
Tx + Tα<br />
α<br />
=<br />
ms<br />
° f Hz<br />
⋅<br />
°<br />
=<br />
⋅ ° ⋅<br />
1 63, 3 1<br />
= 3, 5<br />
180 2 180 2⋅ 50<br />
⎛ U<br />
arcsin ⎜<br />
⎝U$<br />
j<br />
=<br />
180°<br />
N<br />
A<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ 1<br />
⋅<br />
2 ⋅ f<br />
N<br />
⎛ 150 V ⎞<br />
arcsin⎜<br />
⎟<br />
⎝ 325 V⎠<br />
1<br />
=<br />
⋅ = 15 , ms<br />
180°<br />
2 ⋅ 50 Hz<br />
⎛ Tx<br />
⎞ ⎛ 15 , ms⎞<br />
uL ⋅ dt = UA ⋅ ⎜ T + ⎟ = 150 V ⋅ ⎜3,<br />
5 ms + ⎟ = 637, 5 mVs<br />
⎝ 2 ⎠ ⎝<br />
2 ⎠<br />
∫ α<br />
Tx + Tα<br />
1 1<br />
ΔI = ⋅ uL ⋅ dt = ⋅ mVs = A<br />
L ∫<br />
637, 5 159 ,<br />
400 mH<br />
I<br />
d<br />
ΔI<br />
A<br />
Tx + Tα<br />
P 3 kW<br />
= = = 20 A<br />
U 150 V<br />
rel<br />
A<br />
ΔI<br />
159 , A<br />
= = = 0, 08 = $ 8% = $<br />
ΔM<br />
I 20 A<br />
d<br />
- 22 -